上海高二数学下册--15—组合

1、高二数学春季班（教师版）教师日期学生课程编号课型同步复习课课题组合教学目标1 .掌握组合数的运算，了解组合数的意义，会根据题意列出组合数等式；2 .对于常见的组合数相关求和问题要清楚；3 .会用组合数来解决实际问题，合理分类，注意区分组合数和排列的区别.教学重点1 .组合数的运算与求和；2 .组合数的实际应用和具体解题思想方法，对于常见组合解题策略的认识.教学安排版块时长1知识梳理102例题解析603巩固训练304师生总结205课后练习30知识梳理1、组合数：从n个不同元素中取出 m( m <n)个元素的所有组合的个数， 叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符合 Cm表示.组合数

2、公式为Cmnpnmpmmn!m!(n -m)!n(n -1)(n -2)|l(n - m 1)m!(m, nw N*, m < n),规定C0=Cnn =1.组合数公式有两种形式,(1)乘积形式；(2)阶乘形式.前者多用于数字计算，后者多用于证明恒等式。2、组合数的性质：性质一：M=3川等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标此性质作用：当 m>口时，计算Cm可变为计算C：R,能够使运算简化.22015C 2016_2015_ 1例如 C2016 = C2016= C2016 =2016. C：=C；= x=y 或 x + y=n.性质二、cnm1=cm+cmj等式特点：下标相同

3、而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与 原组合数上标较大的相同的一个组合数.此性质作用：恒等变形，简化运算.在今后学习“二项式定理”时，我们会看到它的 主要应用.证明过程：Cm+Cm，=n+nm!(n-m)! (m-1)! n - (m-1)!n!(n -m 1) n!m (n -m 1 m)n!m!(n -m 1)! m!(n 1 - m)!(n 1)!m!( n 1) - m!=*1.3、组合问题常见解题方法：(1)注意“至少”、“最多”、“含”等词；(2)区分“分配”与“分组”：“分组问题”的特征是组与组之间只要元素个数相同是不 可区分的，即指把物件分成组，是无顺序可言

4、的；而“分配”问题即使元素个数相同， 但因人不同，仍然是可区分的，或者是指把物件分给不同的人 (或团体)，是有顺序的, 解分配问题必须先分组后排列，若平均分m组，则分法=取法/m!(3)隔板分组法：常常用于解决一类相同元素分给不同对象的分配问题(4)分排问题直排处理；(5) “小集团”排列问题中先集体后局部处理；(6)定序问题除法处理：即先不考虑顺序限制，排列后在除以定序元素的全排列.例题解析、组合数及其运算性质例1解方程(1)(2)E CFPx33C71-C7 =C8【难度】【答案】(1) 4; (2) 14【解析】(1) C-+C5攵=3Px/10C=；1P：书，10x 3 x 2 x 1

5、 x x -1 ) x 3 x 2 x 11 2 3 4 510，xx-1 )=12 , . . x =4或 x =-3 (舍)。n 1 ! n!n!8! n - 6 ! «曰- =两边同时乘以-可得7! n -6 ! 7! n -7 ! 8! n -8 !n!8(n+1)8(n6)=(n6m7 懈彳# n=14,或 n=-1 (舍)【例2】计算下列各式的值：c 0- c1- C 2- c 3- C 4- C5/ c、c 2- c 2- c2- C 2- c 2- c5(1)C5C5C5C5C5 C5 ；(2)C2C3C4C5C6C7 . C；+2C：+3C3 + nC【难度】【答案

6、】(1) 32; (2) 56 (3) n，2n【解析】(1)略(2)略(3)法一：利用组合数性质 C =nC：；原式可化为：0 c1 c2 cn_1n _1n CnCn,'Cnj,'Cn 1= n 2法二：将原式第一项补上一个0C0,然后利用倒序相加法也可得到结果。【例3】已知Cnm+Cm#+P1m =6,求n、m的值.【难度】【答案】m = n = 2【例4】已知C： <C：的解集是.【难度】【答案】1,2,3,4)【例5】(1)求 7C3 WC4 的值;(2)设 m, nW N*, n>m,求证:(m+1) Cm + (m+2) Cm+ + (m+3) Cm+

7、2+nCm 1 + (n+1) Cm=(m+1) Cm+2【难度】【答案】(1) 0 (2)见解析 7C3 -4C4 =7父7 6 5 4-4 =0.4 3 2 1(2)当n=m时，结论显然成立，当 nm时(k 1)Cm(k 1) k!m!(kfm)!二)3(m 1)!(k 1尸(m 1)!= (m+1)CM, k =m+1,m + 2,lll, n.m 1 m 2 m2又因为 Ck1，Ck1 =Ck2,mm2 m2所以(k+1)Ck =(m+1)(Ck% -Ck+ ),k =m+1,m+2 ,HI,n.因此(m 1)Cmm (m 2)Cm1 (m 3)Cm?川(n 1)Cm=(m 1)Cm

8、(m 2)Cm.1 (m 3)C、J|(n 1)Cnm=(m -1)Cm； (m DKCm； Cm；) (Cm； -Cm；) 川(Cm； - Cm,2)=(m DC%2【巩固训练】1.组合数C5-C9-n5或162.计算C38+C31、的值.【解析】466m » 一一，注息到 Cn中的隐含条件：n > m , mCN, nCN ,有3n >38-n,3n >0,解得38 -n _0,21 n -3n,19,n2所以，C30C31 = C30c3i二 4663.下列等式中正确的是kkx k(1) kCn = nCn J.；C： 11(2)k 1(4) C：；Cnk士

9、c；：；n 1k-Ck. n 1 nA. (1)(2)C. (1)(3)【难度】【答案】BB.D.(2)(3)(2)(3)(4)r4.组合数Cn( n > r*1,r亡Z ）恒等于（）r 1 r4A Cn4.n 1r 1C. nrCnLB.D.n 1 r1C：n _ r 4-Cn 4r【难度】【答案】D二、常见组合问题解题策略1、组合的一般应用【例6】3个一样的白色小球和4个一样的黑色小球排成一排，有多少种不同的排法？【难度】【答案】35【解析】不妨先放置7个同样的白色小球，再从中换取4个放入黑色小球，所得的排列方式和 题中所描述的问题一样，故排列的总数为C4 =35 .【例7】古代“五

10、行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土， 土克水，水克火，火克金.”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两 种物质不相邻，则这样的排列方法有 种（结果用数值表示）.【难度】【答案】10【解析】不妨设5个位置为1, 2, 3, 4, 5, 3号位随意放入一个物质，有 C15种选法； 不妨设为火，则金，水都只能选择1号位或者5号位，共有C2种选择，剩下的木， 土都别无选择.方法数共有 C5 C2 =10 .【例8】马路上有12盏灯，为了节约用电，可以熄灭其中3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，那么熄灯方法共有 种.【难度】【答案】56【解析

11、】去掉两段的灯，中间有 10盏灯，在7盏亮着的灯中有8个空位，插入3盏熄灭的灯即C； =56【例9】在一次演唱会上共 10名演员，其中8人能能唱歌,5人会跳舞，现要演出一个2人唱 歌2人伴舞的节目，有多少选派方法.【难度】【答案】199【解析】10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行研究 只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有 C2C32种，只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员c5c3C2种，只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有 c'c"由分类计数原理共有 c；c：+c5c3c2+c；c;2种。2、分组及分堆问题【例10】6本不同的书，按下列要

12、求各有多少种不同的选法：(1)分为三份，每份2本；(2)分为三份，一份 1本，一份2本，一份3本；(3)分成3堆，有2堆各一本，另一堆 4本，有多少种不同的分堆方法?(4)摆在3层书架上，每层2本，有多少种不同的摆法？警2=15（种）.P3【难度】【答案】(1)6本书平均分成3份，用上述方法重复了 P3倍，故共有【本题是分组中的“均匀分组”问题.般地：将mn个元素均匀分成 n组(每组m个元素)，Cm Cm . Cm共有Cmn CmnRCm种方法】Pnn(2)这是“不均匀分组”问题，从6本书中，先取1本做1份，再在剩下的5本中取2本做一份，最后3本做一份，共有 C6C；C3 =60种方法.1 p

13、1(3)平均分堆要除以堆数的全排列数，不平均分堆则不除，故共有CC5=15 (种)P2(4)本题即为6本书放在6个位置上，共有P66 =720 (种).【例11】七个人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法？选出5个人再分成两组，一组 2人，另一组3人；选出6个人，分成两组，每组都是 3人；选出2人一组、3人一组，轮流挖土、运土.【难度】【答案】(1) 210; (2) 70; (3) 420【解析】可直接从7人中选出2人的方法有C2种，再由余下的5个人中选3人的方法有c5种，所以依分步计数原理，分组的方法有：C2c5=210种.也可先选取5人，再分为两组有C7c5C3=210种.选3

14、人为一组有C3种，再选3人为另一组有C4种，依分步计数原理，又每P2C3C：种分法只能算一种，所以不同的分法有厂=70手中.P22也可以先选再分组为633C7 c6 C3P2= 70#.由于分组后各组要担任不同的工作，这就将不编号的组变为编号的组，只需 乘以组数的全排列即可，分组的方法有C72C53P22 =420种.3、至多至少、含与不含、直接间接问题【例13】从集合P,Q, R,S与0,1, 2,3,4,5,6, 7,8, 9中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）.每排中字母Q和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是.（用数字作答）【难度】【答案】5832【解析】分三种情况：情况

15、1.不含Q、。的排列：C2 C： R4;情况2. 0、Q中只含一个元素Q的排列：C3 C；，P4;情况3,只含元素0的排列：C32 C9 ,P4 .综上符合题意的排法种数为 C； C2 E4 + C； C,2 P44+C32 C9 Pi4 =5832.当然也可以用间接法，C2 Ci2）E4 -C1 c9 P44 =5832 .【例14】将5名志愿者分配到 名志愿者的方案种数为（A. 540 B3个不同的奥运场馆参加接待工作, ）300 C .180 D每个场馆至少分配一.150【难度】【答案】D【解析】依题意，5个人分成3部分只有两种可能：1,1, 3或1,2,2.这是部分均匀编号分组问题，分

16、别有c5c4c；f33P22=60和c5c：c； P33P22=90种方案，因此总方案数为60 +90 =150种，选D.【例15】一个口袋内装有大小相同的 7个白球和1个黑球.从口袋内取出3个球，共有多少种取法？从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？【难度】【答案】（1） 56; （2） 21; （3） 35【解析】从口袋内的 8个球中取出3个球，取法种数是 c3=87*=56；3 2 1从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个, 取法种数是C2=Z地=21；2由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从 7

17、个白球中取出3个球， 取法种数是C7 =75 =35 .3 2 14、涂色问题【例16如图，一个地区分为 5个行政区域，现给它们着色，要求 相邻区域不得使用同一种颜色 .若有4种颜色可供选择，则不同的着 色方法共有 (用数字作答)【难度】【答案】72【解析】当4中颜色都是用时共有 48种方法，当仅适用3种颜色时颜色可有 C：种选法，先 涂第一区域，有3种，剩下两种颜色涂四个区域， 只能是一种颜色涂 2,4另外一种颜色涂3,5 共2种，故有C3父3 m2 =24 ,从而一共有48+24=72种【例17】用六种不同颜色把右图中 A、B、C、D四块区域分开，允 许同一颜色涂不同区域，但相邻区域不能是

18、同一种颜色，则共有 种不同涂法.【难度】【答案】4805、挡板法【例18】把12个相同的小球放入编号为 1,2,3, 4的盒子中，问每个盒子中至少有1个小球的 不同放法有多少种？【难度】【答案】165【解析】相当于在 12个小球中间11个空位里面插入3个板，即C1；=165【例19】不定方程x +x2 +x3 +x50 =100中不同的正整数解有 组，非负整数 解有 组.【难度】【答案】c99, c4：9；【解析】相当于把100个1分给50个未知数，采用挡板法，于是所有的方法数为c49；非负整数解的问题，等价于 (X +1 )+仇+1 )+(x3+1)+(%0+1)=150的非负 整数解问题，

19、等价于 y =x +1, y +y2 +y3 +y50 =150的正整数解问题，一 共有C449组.6、几何计数【例20】以正方体的顶点为顶点的四面体共有（）A. 70 种 B. 64 种C. 58 种 D. 52 种【难度】【答案】58【解析】从正方体8个顶点中每次取四点， 理论上可构成C；个四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有C8 -12 = 58个.【例21】四面体的顶点和各棱中点共有 10个点，在其中取四个不共面的点，不同的取法共有【难度】【答案】141【解析】间接法；一共有 C：种，四点共面有三种情况，四点均在侧面上共有4MC（4种;三点在

20、一条棱上，第四个点在其对棱的中点，共有6种情况；四点均为中点，有 3种情况；故共有 Co -4C64 -6 -3 =141【例22】四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在 同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱多代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为、的 4个仓库存放这8种化工产品，那么有 种不同的安全存放的方法.【难度】【答案】48【解析】相交两棱所代表的物品不在同一仓库，设棱为 1,2,3,4,底边为5,6,7,8,显然不可能 有3中物品放在同一仓库，故每个仓库放 2种，不妨先将编号1,2,3,4的物品入仓，共有 P4 种，然后分两种情况讨论可

21、知如果编号为 1的仓库确定，则其它都唯一，而编号为1的仓库 只有两种放法，故共有 2 P44 = 48种【巩固训练】1.今有2个红土3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这 9个球排成一列，则一共 有 种不同的方法（用数字作答）.【难度】【答案】12602.将3种作物种植在如图的 作物，不同的种植方法共有【难度】【答案】42【解析】C；C；C3 =1260 ,解法同例65块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种种.【解析】由左到右共有 3M （2 M 2父2父22 ）=42种3 .把9个相同小球放入其编号为 1、2、3的三个箱子里，要求每个箱子放球的个数不小于其编号数，则不同

22、的放球方法共有 种.【难度】【答案】10【解析】挡板法，先取出 3个求，2号箱放1个，3号箱放两个，然后问题就相当于在6个球中间5个空里插入2块板即C；=104 .如图，点P1, P2,，Po分别是四面体的顶点或其棱的中点,则在同一平面内的四点组 （印P,pj,pk） （ 1<i < j <k M10）共有【难度】【答案】33【解析】先做出三个侧面上的在同一平面上的四点组成均过p点，3每个侧面上除P点都有五个点，故共有3c5 = 30 ,另外还包括所在三条棱上有3个，故共有33个5.设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳动一个单位,经过5次跳动质

23、点落在点（1,0）（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法种数为.【难度】【答案】10【解析】由题设知，质点向正方向跳动3次，负方向跳动2次，因此质点的运动方法种数为 C2=10种.6 .将4名大学生分配到 3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案 有 种（用数字作答）.【难度】【答案】36【解析】分两步完成：第一步将4名大学生按2,1,1分成三组，其分法有C：种； 第二步将分好的三组分配到3个乡镇，有P33种.所以满足条件的分配方案有_ 2 3C4F3 =36 种.7 .将7个不同的小球全部放入编号为 2和3的两个小盒子里，使得每个盒子里的球的个数不 小于盒子的编号，则不同的放球方法共有 种.【难度】【答案】91【解析】注意跟挡板法区别开来；编号为2的盒子可以放入球的个数为 2, 3, 4,于是不同的放球的方法数 =C2 +c7 +C4 =91 .组合数问题，首先要理解组合数的意义，注意和排列区分开来， 在具体的题目中知道是选用组合还是排列；另外就是对于组合数的运算及上下标隐含的大小关系要清楚，这有时会成为解题的关键点；对于常见的组合问题的解题策略要有一个清晰的认识，知道哪些问题是在考虑组合，对于有些题目要