相似相似三角形全部知识点总结附带经典习题和答案.

1、拔高相似三角形习题集适合人群：老师备课，以及优秀同学拔高使用。一、基础知识（不局限于此）(一 ).比例1.第四比例项、比例中项、比例线段；2.比例性质：（ 1）基本性质：acadbcabb2acbdbc（ 2）合比定理：aca bcdbdbd（ 3）等比定理：acmacma .(b dn 0)bdnbdnbP3.黄金分割：如图，若PA2PB AB ，则点P 为线段 AB 的黄金分割点AB4平行线分线段成比例定理(二 )相似1.定义 :我们把具有相同形状的图形称为相似形.2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等 .3.相似三角形的判定（ 1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，

2、所构成的三角形与原三角形相似。（ 2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。（ 3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。（ 4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。4. 相似三角形的性质（ 1）对应边的比相等，对应角相等.（ 2）相似三角形的周长比等于相似比.（ 3）相似三角形的面积比等于相似比的平方.（ 4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比.5.三角形中位线定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线性质:三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

3、6.梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线.梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半.7.相似三角形的应用:、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）；、利用三角形相似，求线段的长等3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。如求河的宽度、求建筑物的高度等。(三 )位似 :位似 :如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形。这个点叫做位似中心 .这时的相似比又称为位似比 . 位似性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比二、经典例题例 1.如图在 43 4 的

4、正方形方格中，ABC和 DEF的顶点都在长为1 的小正方形顶点上（ 1）填空： ABC=_， BC=_（ 2）判定 ABC与 DEF是否相似？ 考点透视 本例主要是考查相似的判定及从图中获取信息的能力. 参考答案 135°， 22能判断ABC与 DEF相似， ABC=DEF=?135°，ABBC=2DEEF【点评】注意从图中提取有效信息，再用两对应边的比相等且它们两夹角相等来判断例 2. 如图所示， D、E 两点分别在 ABC两条边上，且 DE与 BC不平行，请填上一个你认为适合的条件 _，使得 ADE ABC 考点透视 本例主要是考查相似的判定 参考答案 1= B 或 2

5、=C，或 ADAEABAC点评：结合判定方法补充条件例 3. 如图，王华晚上由路灯A 下的 B 处走到 C 处时，测得影子CD?的长为 1 米，继续往前走2米到达 E处时，测得影子EF 的长为 2 米，已知王华的身高是1.5 米，那么路灯 A 的高度等于（）A 4.5 米B 6米C 7.2 米D 8米 考点透视 本例主要是考查相似的应用参考答案 B例 4.如图， ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高 AD=80mm， ?要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC上，其余两个顶点分别在 AB、AC上， ?这个正方形零件的边长是多少？ 考点透视 本例主要是考查相似的实际应用 参考

6、答案 48mm【点评】解决有关三角形的内接正方形（或矩形）的计算问题，?一般运用相似三角形“对应高之比等于相似比”这一性质来解答例 5. 如图所示，在 ABC中， AB=AC=1，点 D、 E 在直线 BC上运动，设 BD=x，CE=y（ 1）如果 BAC=30°， DAE=105°，试确定 y 与 x 之间的函数关系式；（ 2）如果 BAC的度数为 ， DAE的度数为 ，当 、 满足怎样的关系式时， （ 1）中 y 与 x?之间的函数关系式还成立，试说明理由 考点透视 本例主要是考查相似与函数的综合运用. 参考答案 解 : 在 ABC 中， AB=AC=1， BAC=30

7、°， ABC=? ACB=75°， ABD= ACE=105°又 DAE=105°， DAB+ CAE=75° ?又 DAB+? ADB= ABC=75°， CAE= ADB， ADB EAC， ABBD,即1x ， y=1ECACy1x当 1满足 -=90 °， y= 1仍成立2x此时 DAB+ CAE= - ， DAB+ ADB= - ， CAE= ADB又 ABD= ACE， ADB EAC， y= 1 x【点评】确定两线段间的函数关系，可利用线段成比例、找相等关系转化为函数关系例 6.一般的室外放映的电影胶片上每一个

8、图片的规格为：3.5cm3 3.5cm，放映的荧屏的规格为2m3 2m，若放映机的光源距胶片 20cm时，问荧屏应拉在离镜头多远的地方，放映的图象刚好布满整个荧屏？解析：胶片上的图象和荧屏上的图象是位似的，镜头就相当于位似中心，因此本题可以转化为位似问题解答 考点透视 本例主要是考查位似的性质 . 参考答案 80 m7【点评】位似图形是特殊位置上的相似图形，因此位似图形具有相似图形的所有性质三适时训练（一）精心选一选1梯形两底分别为m、n，过梯形的对角线的交点，引平行于底边的直线被两腰所截得的线段长为（）（ A ） m n（B ）2mn（ C） mn（ D） m nmnm nm n2mn2如图

9、，在正三角形ABC 中， D， E 分别在 AC， AB 上，且 AD 1， AE BE，则（）AC 3（ A ） AED BED（ B ） AED CBD （ C） AED ABD（ D） BAD BCD题 23 P 是 Rt ABC 斜边 BC满足这样条件的直线共有（题 4上异于 B、 C 的一点，过点）P 作直线截题 5ABC，使截得的三角形与ABC 相似，（A）1 条（B）2 条（C）3 条4如图， ABD ACD ，图中相似三角形的对数是（D）4 条）（ A）2（B）3（C）4（D）55如图， ABCD 是正方形， E 是 CD 的中点， P 是 BC 边上的一点， 下列条件中， 不

10、能推出 ABP 与 ECP相似的是（）（ A ） APB EPC （ B） APE90°（ C） P 是 BC 的中点（ D ）BP BC2 36如图， ABC 中， AD BC 于 D，且有下列条件：（ 1） B DAC 90°；（ 2） B DAC；（ 3） CD AC ；（ 4） AB2BD 2 BCADAB其中一定能够判定ABC 是直角三角形的共有（A ）3 个（B）2 个（C）1 个）（D）0 个7如图，将论中错误的是（题ADE6绕正方形）ABCD顶点题 7A 顺时针旋转90°，得题 8ABF ，连结EF交AB于H ，则下列结（A）AE AF（B）EFA

11、F2 1（C）AF2FH 2 FE8如图，在矩形ABCD 中，点 E 是 AD 上任意一点，则有（ D） FB FC HB EC ）（ A ） ABE 的周长 CDE 的周长 BCE 的周长（ B ） ABE 的面积 CDE 的面积 BCE 的面积（ C） ABE DEC （ D） ABE EBC9如图，在 ABCD 中， E 为 AD 上一点， DE CE 23，连结 AE、 BE、 BD ，且 AE、 BD 交于点 F ，则 SDEFSEBF SABF 等于（）（ A ） 4 1025（ B） 4 925（C）235（D）25 25题 9题 10题 1110如图，直线 ab， AF FB

12、3 5，BC CD 3 1，则 AE EC 为（）（A ）512（B）95（C）12 5（ D） 3211如图，在 ABC 中， M 是 AC 边中点， E 是 AB 上一点，且 AE1AB ，连结 EM 并延长，交 BC 的延长线于 D，此时 BC CD 为（4）（A ）21（B ）3 2（C） 31（D ）5 212如图，矩形纸片 ABCD 的长 AD 9cm，宽 AB 3cm，将其折叠，使点 D 与点 B 重合，那么折叠后DE 的长和折痕 EF 的长分别为（）（ A ） 4 cm、 10 cm（ B） 5 cm、 10 cm（ C） 4 cm、 2 3 cm（D ） 5 cm、 2 3

13、cm题 12（二）细心填一填13已知线段a 6 cm， b 2 cm，则 a、 b、 ab 的第四比例项是_cm， a b 与a b 的比例中项是 _cm14若 ab bc a c m2，则 m _cab15如图，在 ABC 中，AB AC 27，D 在 AC 上，且 BD BC18，DE BC 交 AB 于 E，则 DE _16如图， ABCD 中，E 是 AB 中点， F 在 AD 上，且 AF1FD ，EF 交 AC 于 G，则 AG AC _217如图，题 16AB CD ，图中共有题 17_ 对相似三角形题1818如图，已知ABC， P 是AB 上一点，连结CP，要使ACP ABC，

14、只需添加条件_（只要写出一种合适的条件） 19如图， AD 是 ABC 的角平分线，DE AC， EF BC， AB15， AF 4，则 DE 的长等于 _题19题20题2120如图， ABC 中， AB AC， AD BC 于 D， AE EC， AD 18， BE 15，则 ABC 的面积是 _21如图，直角梯形 ABCD 中， AD BC， ACAB，AD 8， BC 10，则梯形 ABCD 面积是 _22如图，已知AD EFBC ，且 AE 2EB， AD 8 cm，AD 8 cm， BC 14 cm，则 S 梯形 AEFD S 梯形 BCFE _ ( 三 ) 认真答一答23.方格纸中

15、，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形请你在图示的10310 的方格纸中，画出两个相似但不全等的格点三角形，并加以证明（要求所画三角形是钝角三角形，并标明相应字母）24. 如图， ABC 中， CD AB 于 D， E 为 BC 中点，延长 AC、 DE 相交于点 F，求证 AC AF BCDF25.如图，在 ABC 中， AB AC，延长 BC 至 D ，使得 CD BC ，CE BD 交 AD 于 E，连结BE 交 AC于 F，求证 AFFC26. 已知：如图， F 是四边形 ABCD 对角线 AC 上一点， EF BC，FG AD求证：AE CG 1ABCD27.

16、 如图， BD 、CE 分别是 ABC 的两边上的高，过 D 作 DG BC 于 G，分别交 CE 及 BA 的延长线于 F 、H，求证：（ 1）DG 2 BG2 CG；（ 2） BG2 CGGF2 GH 28.如图， ABC CDB 90°， AC a，BC b（ 1）当 BD 与 a、 b 之间满足怎样的关系时，ABC CDB ？（ 2）过 A 作 BD 的垂线，与DB 的延长线交于点E，若 ABC CDB求证四边形AEDC 为矩形（自己完成图形）29. 如图，在矩形 ABCD 中， E 为 AD 的中点， EF EC 交 AB 于 F，连结 FC（ AB AE）（ 1） AEF

17、 与 EFC 是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；（ 2）设 AB k，是否存在这样的k 值，使得 AEF BFC，若存在，证明你的结论并求出kBC的值；若不存在，说明理由30. 如图，在 Rt ABC 中， C 90°， BC 6 cm， CA8 cm，动点 P 从点 C 出发，以每秒 2 cm 的速度沿 CA、 AB 运动到点 B，则从 C 点出发多少秒时，可使 SBCP 1 S ABC？431. 如图，小华家（点 A 处）和公路（ L）之间竖立着一块 35m?长且平 行于公路的巨型广告牌（ DE）广告牌挡住了小华的视线，请在图中画出视点A 的盲区，并将盲区内的

18、那段公路设为BC一辆以60km/h 匀速行驶的汽车经过公路段BC 的时间是3s，已知广告牌和公路的距离是40m，求小华家到公路的距离（精确到 1m）32. 某老师上完“三角形相似的判定”后，出了如下一道思考题：如图所示，梯形 ABCD中， AD BC，对角线 AC、 BD相交于 O，试问： AOB和 DOC是否相似？某学生对上题作如下解答：答： AOB DOC理由如下：在 AOB和 DOC中， AD BC， AODO ，OCOB AOB= DOC， AOB DOC请你回答，该学生的解答是否正确？如果正确，请在每一步后面写出根据；如果不正确，请简要说明理由33. 如图：四边形 ABCD中， A=

19、BCD=90°，过 C作对角线 BD的垂线交 BD、AD于点 E、 F，求证：CD 2DFDA ；如图：若过 BD上另一点 E 作 BD的垂线交 BA、BC延长线于 F、 G，又有什么结论呢？你会证明吗？AFD AFDEEBBGCC34. 阳光通过窗口照射到室内 ,在地面上留下 2.7m 宽的亮区 (如图所示 ),已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高 AB=1.8m, 求窗口底边离地面的高BC.35. （ 1）如图一，等边 ABC 中， D 是 AB 上的动点，以 CD 为一边，向上作等边 EDC，连结 AE 。求证： AE/BC ；（ 2）如图二，将 (1)中等边 AB

20、C 的形状改成以BC 为底边的等腰三角形。所作EDC 改成相似于ABC 。请问：是否仍有AE/BC ？证明你的结论。36. 如图，从 O外一点 A 作 O的切线 AB、AC，切点分别为 B、C，且 O直经BD=6，连结 CD、AO。（ 1）求证： CD AO；（ 2）设 CD=x，AO=y，求 y 与 x 之间的函数关系式， 并写出自变量 x 的取值范围；（ 3）若 AO+CD=11，求 AB的长。37. 已知：如图，在正方形 ABCD 中，AD = 1 ，P、Q 分别为 AD 、BC 上两点，且 AP=CQ ，连结 AQ 、BP 交于点 E，EF 平行 BC 交 PQ 于 F，AP、BQ 分

21、别为方程 x 2mxn0 的两根 .（ 1）求 m 的值（2）试用 AP、BQ 表示 EF（ 3）若 SPQE = 1 ，求 n 的值838. 如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12cm，OB=6cm，点 P从 O点开始沿 OA边向点 A 以 1cm/s 的速度移动： 点 Q从点 B 开始沿 BO边向点 O以 1cm/s 的速度移动， 如果 P、Q同时出发，用 t(s)表示移动的时间（0t6 ），那么：（1）设 POQ的面积为 y ，求 y 关于 t 的函数解析式。Y（2）当 POQ的面积最大时， POQ沿直线 PQ翻折B后得到 PCQ，试判断点 C 是否落在直线 AB上，Q并说明理由。（3

22、）当 t 为何值时， POQ与 AOB相似？O PAX39. 如图，矩形 PQMN 内接于 ABC，矩形周长为 24， AD BC 交 PN 于 E，且 BC 10， AE 16，求ABC 的面积40. 已知：如图， ABC 中， AB AC，AD 是中线， P 是 AD 上一点，过 C 作 CF AB，延长 BP 交 AC 于 E，交 CF 于 F求证： BP2PE 2 PF41.(09延庆一模 ) 在 Rt ABC中， C=90 ， BC=9， CA=12， ABC的平分线BD交 AC于点 D，DE DB交 AB于点 E， O是 BDE的外接圆，交BC于点 FA（ 1）求证 : AC是 O

23、的切线 ;（ 2）联结 EF，求 EF 的值 .EACODBF C42.(09 东城一模 ) 请阅读下列材料：（第 41 题）圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等即如右图1, 若弦 AB、 CD交于点 P则 PA· PB=PC· PD请你根据以上材料，解决下列问题 A .DPCBO（图 1）已知 O 的半径为2，P 是 O 内一点，且 OP=1，过点 P 任作一弦 AC ，过 A 、C 两点分别作 O 的切线m 和 n，作 PQ m 于点 Q，PRn 于点 R.（如图2）(1) 若 AC恰经过圆心 O, 请你在图3 中画出符合题意的图形，并计算：11PQ的值；P

24、R(2) 若 OPAC, 请你在图114 中画出符合题意的图形，并计算：的值；PQPR(3) 若 AC 是过点 P 的任一弦（图112） , 请你结合 (1)(2) 的结论 , 猜想：的值，并给出证明PQPRAQPPmPROOOC（图 3）（图 4）（图 2）n43.(09 昌平一模 ) . 已知 AOB 90 ， OM 是 AOB 的平分线将一个直角 RPS 的直角顶点 P 在射线 OM 上移动，点 P 不与点 O 重合 .（ 1）如图，当直角 RPS 的两边分别与射线 OA 、 OB 交于点 C 、 D 时，请判断 PC 与 PD 的数量关系，并证明你的结论；（ 2）如图，在（1）的条件下

25、，设CD 与 OP 的交点为点 G ，且 PG3 PD ，求 GD 的值；2OD（ 3）若直角 RPS 的一边与射线 OB 交于点 D ，另一边与直线 OA 、直线 OB 分别交于点 C 、 E ，且以 P 、 D 、 E 为顶点的三角形与 OCD 相似，请画出示意图；当 OD 1时，直接写出 OP 的长 .AMPCRGODBS44.(09昌平二模 ) 图 1 是边长分别为43 和 3 的两个等边三角形纸片ABC 和 C D E 叠放在一起（C 与C 重合）（ 1）固定 ABC ，将 C D E 绕点 C 顺时针旋转 30 得到 CDE ，连结 AD、 BE （如图 2）此时线段 BE 与 A

26、D 有怎样的数量关系？并证明你的结论；（ 2）设图 2 中 CE 的延长线交AB 于 F ，并将图 2 中的 CDE 在线段 CF 上沿着 CF 方向以每秒1 个单位的速度平移，平移后的CDE 设为 QRP （如图 3）设 QRP 移动（点 P、 Q 在线段 CF 上）的时间为 x 秒，若 QRP 与 AFC 重叠部 分的面积为y，求 y 与 x 之间的函数解析式，并写出自变量 x的取值范围；（ 3）若固定图1 中的 C D E ，将 ABC 沿 C E 方向平移， 使顶点 C 落在 C E 的中点处， 再以点 C 为中心顺时针旋转一定角度，设ACC3090 ，边 BC交DE 于点M，边 AC

27、交DC 于点N（如图 4）此时线段 C N E M 的值是否随的变化而变化？如果没有变化，请你求出CN EM 的值；如果有变化，请你说明理由AAARD'DFABD'EPNMCQC'CE'BE'BBC(C' )(C' )C图 1图 2图 3图 445.(09通州二模)如图：AB 是 O 的直径，AD 是弦，DAB22.5 ，延长AB 到点 C ，使得ACD2DAB(1)求证： CD 是 O 的切线；(2)若 AB2 2 ，求 BC 的长46.(09 房山二模 ) 已知：如图，AB 为 O 的直径， AD 为弦， DBC = A.（ 1）求证

28、：BC 是 O 的切线；C（ 2）若 OC AD ， OC 交 BD 于 E，BD=6 ， CE=4，求 AD 的长 .DEBAO47.(09朝阳二模 ) 在 ABC 中，点 D 在 AC 上，点 E 在 BC 上，且 DE AB ，将 CDE 绕点 C 按顺时针方向旋转得到CD E （使 BCE 180°），连接 AD 、 BE ，设直线 BE 与 AC 交于点 O.（ 1）如图，当AC=BC 时， AD : BE 的值为；（ 2）如图，当 AC=5 ， BC=4 时，求 AD : BE 的值；（ 3）在（ 2）的条件下，若 ACB=60° ，且 E 为 BC 的中点，求

29、 OAB 面积的最小值 .AADOE'D E'D'OBECD'BEC图图48.(09东城二模 ) 如图， 在直角梯形ABCD 中， AD/BC,D CBC,AB=10,AD=6,DC=8,BC=12, 点 E 在下底边 BC 上，点 F 在 AB上（）若 EF 平分直角梯形ABCD 的周长，设BE 的长为 x ，试用含 x 的代数式表示BEF 的面积；（）是否存在线段 EF 将直角梯形 ABCD 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE 的长；若不存在，请说明理由（）若线段EF 将直角梯形 ABCD 的周长分为：两部分，将 BEF的面积记为 S1,五边形 AF

30、ECD 的面积记为 S2 ,且 S1 : S2 k, 求出 k 的最大AD值FBEC49.(09 门头沟二模 ) 在矩形 ABCD 中，点 E 是 AD 边上一点，连结BE，且 BE 2AE， BD 是 EBC 的平分线点 P 从点 E 出发沿射线 ED 运动，过点 P 作 PQBD 交直线 BE 于点 Q3PQ ；（ 1）当点 P 在线段 ED 上时（如图） ，求证： BE PD +3（ 2）当点 P 在线段 ED 的延长线上时（如图） ，请你猜想 BE、 PD、 3 PQ 三者之间的数量关系（直3接写出结果，不需说明理由）；（ 3）当点 P 运动到线段 ED 的中点时（如图） ，连结 QC

31、，过点 P 作 PF QC，垂足为 F ，PF 交 BD 于点 G若 BC 12，求线段 PG 的长AEPDAEDPAEPDQQGBCBCBFC图 1图 2图 3Q50.( 同上 )如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A（ 4， 0），点 B（ 0， 3），点 P 从点 B 出发沿 BA 方向向点 A 匀速运动，速度为每秒1 个单位长度，点Q 从点 A 出发沿 AO 方向向点O 匀速运动，速度为每秒2个单位长度，连结PQ若设运动的时间为t秒（ 0 t 2）（ 1）求直线 AB 的解析式；（ 2）设 AQP 的面积为 y ，求 y 与 t 之间的函数关系式；（ 3）是否存在某一时刻t ，使线

32、段 PQ 恰好把 AOB 的周长和面积同时平分？若存在，请求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由；（ 4）连结 PO，并把 PQO 沿 QO 翻折，得到四边形PQP O ，那么是否存在某一时刻t ，使四边形 PQP O为菱形？若存在，请求出此时点Q 的坐标和菱形的边长；若不存在，请说明理由yBPOQAx参考答案（一）精心选一选1B 2.B 3.C 4.C5.C6.A7.C 8.B9.A 10.C 11.A 12.B（二）细心填一填13 【答案】8 ； 42 14【提示】分 a b c0 和 a b c0 两种情况【答案】± 1315【提示】由 ABC BCD ，列出比例式，求出CD

33、，再用 ABC AED【答案】 1016【提示】延长 FE 交 CB 延长线于 H 点，则 AF BH ，考虑 AFG CHG【答案】 1517【提示】分“”类和“”类两类【答案】 6 对18 【答案】 B ACP，或 ACB APC，或 AC2 AP2 AB19 【答案】 620【提示】作 EF BC 交 AD 于 F设 BE 交 AD 于 O 点，先求出 OD 长和 OB 长，最后用勾股定理求出BD 的长【答案】 14421 【提示】作 AEDC 交 BC 于 E 点，由 RtABERt CBA，依次算出 BE、 AB 的长，最后求出AE 的长，即可求出梯形面积【答案】 36( 三 ) 认

34、真答一答22【提示】延长 EA，与 CD 的延长线交于P 点，则 APD EPF BPC【答案】201323方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形请你在图示的103 10 的方格纸中，画出两个相似但不全等的格点三角形，并加以证明（要求所画三角形是钝角三角形，并标明相应字母）【提示】先任意画一个格点钝角三角形，然后三边都扩大相同的倍数，画出另一个格点钝角三角形24【提示】过F 点作 FG CB，只需再证GF DF 【答案】方法一：作FGBC 交 AB 延长线于点G BC GF ， ACAFBCGF又 BDC90°， BEEC ， BEDE BEGF，DF

35、 DE 1DF GFACAFGFBEBC DF方法二：作 EH AB 交 AC 于点 H ACAH，AFAHBC，BEDFDE BDC 90°， BEEC，BE DE ACBC AF DF25如图， 在 ABC 中，ABAC，延长 BC 至 D，使得 CD BC，CE BD 交 AD 于 E，连结 BE 交 AC 于 F，求证 AF FC【提示】先证BCF DBA，再证【答案】BC CD， EC BD，又 AB AC， BCF DBAFC1AC2 BE DE， FBC D BCF DBA FCBCABDB又BD 2BC， AB AC，FCBC1AC2BC2FC 1AC因此AFFC22

36、6已知：如图，F 是四边形ABCD 对角线 AC 上一点， EF BC，FG ADAECG求证：1ABCD【提示】利用ACAF FC 【答案】EFBC， FG AD，AE AF ， CG CF ABACCDCA AECG AFCF AC1AB CD AC CA AC27如图， BD、 CE 分别是 ABC 的两边上的高，过D 作 DGBC 于 G，分别交 CE 及 BA 的延长线于F 、H，求证：（ 1）DG2 BG2 CG；（2） BG2 CGGF2 GH【提示】（ 1）证 BCG DCG；（ 2）证 RtHBG RtCFG 【答案】（ 1） DG 为 RtBCD 斜边上的高，RtBDG R

37、t DCGCGDG，即 DG2BG2 CGDGBG（2）DG BC， ABC H 90°， CEAB ABC ECB 90°ABC H ABC ECB H ECB又 HGB FGC 90°，RtHBG RtCFG BG GH ，GFGC BG2 GCGF2 GH28如图， ABC CDB 90°， AC a，BC b（ 1）当 BD 与 a、 b 之间满足怎样的关系时，ABC CDB？（ 2）过 A 作 BD 的垂线，与DB 的延长线交于点E ，若 ABC CDB 求证四边形AEDC 为矩形（自己完成图形）【提示】利用三角形相似，推出BD b2a当 AC BC 时， ABC CDB 【答案】（ 1）ABC CDB 90°，BCBD即a b BD b2即当 BD b2时， ABC CDB bBDaa ABC CDB ， ACB CBD ACED又 D90°，ACD 90° E 90° 四边形 AEDC 为矩形29如图，在矩形ABCD 中， E 为 AD 的中点， EF EC 交 AB 于 F，连结 FC（ ABAE ）（ 1） AEF 与 EFC 是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；AB（ 2）设 k，是否存在这样的k 值，使得 AEF BFC ，若存在，证明你的结