2019上海中考数学专题：二次函数中平移及参考答案

1、课程主题：二次函数中平移题型学习目标 1、二次函数平移题型的思路分析 2、平移题型延中的解法总结课前热身：24.在平面直角坐标系xOy中(如图10),已知抛物线解析式y =-x2+bx + c经过点A (2一 ，51, 0)和点B(0, 5),顶点为点C点D在其对称轴上且位于点C下万，将线段DC绕点D顺时2针方向旋转90。，点C落在抛物线上的点P处.(1)求抛物线的表达式；(2)求线段CD的长度；(3)将抛物线平移，使其顶点C移到原点。的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y 轴上，且以Q n E、M为顶点的四边形面积为8,求点M的坐标.24. (1)0； x队尸=-：/+队一+广，i-b

2、+c=0b=2得：=5,解喇戋腿析助二+5c 22(刀由。)得抛物2蜥点式为丁 = 一:长一工敌顶袅坐标为：d对称轴为直线工=2,于是，可设0(2,附I,如下图:k工JQ1 41与由题意得8 =办尸=三，明彳导尸(兰孙或，代入抛物线解析式丁 = 乙/ + 2工十二j2222福 “口 丫工/13 V 5酬编 59公、得：T-WJ +2lT-wJ 2J 解得：呵=，%=3 C舍)，所以用=(3)平移抛物名锹C点与原点。重合,9艮国务抛锲戋向左平移2个单位，然后向下平移3个单位j故点平移后得到点现2.一2)1则QE心轴，时点在丁轴上，.QM'JDE,以。,D. E-甘为顶点的四边形为平行四边

3、形或梯形,设DE与#轴相较于H20),可得次=2贝*鳏=；(OM+DE)Off =如必 + 1卜2 = 8qQM = g, ，点M的坐标为M电勺或M-1hJkf r, zJrft I）p ,戈因，知识精讲：2018青浦24.(本题满分12分，第(1)、(2)、(3)小题，每小题4分)已知：如图8,在平面直角坐标系xOy中，抛物线y = ax将 A （3, 0）代入 y =ax +bx +3,得 9a + 3b+ 3=0, （1 分）解得 a=1 , b = T . （1 分）.抛物线的解析式为y = x2-4x+3. （1分）（2）过点C作CMLx轴，CNLy轴，垂足分别为 M N.22y =

4、x -4x+3 = =（x-2） -1, C （2, T） . （1 分）+bx+3的图像与x轴交于点A (3, 0),与y轴交于点B,顶点C在直线x = 2上，将抛物线沿射线AC的方向平移，当顶点 C恰好落在y轴上的点D处时，点B落在点E处.(1)求这个抛物线的解析式；(2)求平移过程中线段BC所扫过的面积；求点F的坐标.(3)已知点F在x轴上，点G在坐标平面内，且以点C、E、F、G为顶点的四边形是矩形，解：（1）二.顶点C在直线x=2上，x=-8=2, .= -4a. 一 （1分）2a . CM =MA=1, Z MAC45J0 , . / ODA45° ,（1分） .OD=OA

5、=3. 抛物线y=x24x+3与y轴交于点B,B （0, 3）, .BD=6. （1 分） 抛物线在平移的过程中，线段 BC所扫过的面积为平行四边形 BCDE勺面积, 1 .S BCDE 2s bcd =2尺一xBDCN=6m2=12. （1 分）2（3）联结CE四边形BCDE是平行四边形，.点O是对角线CE与BD的交点，即 OE = OC =、5.（i ）当CE为矩形的一边时，过点C作CF1 _LCE ,交x轴于点E ,设点 F/ a,0 ）,在 RLOCF1 中，OF；=OC2 +CF；,即 a2 =（a2）2+5 ,解得 a=- , 二点 F/-,0 ） （1 分）225同理，得点F2（

6、- 5,0） （1分）2（ii ）当CE为矩形的对角线时，以点O为圆心，OC长为半径画弧分别交x轴于点 F3、F4,可得 OF3=OF4 =OC =75,得点 F3（用,0）、F4（-T5,0） （2 分）综上所述：满足条件的点有 Fi（5，0）, F2（-|,0 ） , F3（75,0 ） ） , FX-F,。）.青浦：24.（本题满分12分，其中第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y = -x2平移后经过点A （-1,0）、B （4, 0）,且平移后的抛物线与y轴交于点C （如图）.（1）求平移后的抛物线的表达式；（2）如果点D在线段CB

7、上，且CD= R ,求/ CAD勺正弦值；（3）点E在y轴上且位于点C的上方，点P在直线BC上，点Q在平移后的抛物线上，如（第24题图）（备用图）24.解：（1）设平移后的抛物线的解析式为2 ,y =-x +bx c .（1分）将 A （-1 , 0）、B （4, 0）,代入得-1 -b c =0,-16 4b c =0.（1分）解得:所以,b=3,c = 4.2y = x +3x +4 .（2） v y=x2+3x+4, 二点 C 的坐标为（0, 4） 设直线BC的解析式为y= kx+4,将B （4, y= - x+4.设点D的坐标为（m 4- m）., CD=72,2=2 m2,解得 m=

8、1 或 m=-10）,代入得 kx+4=0,（舍去），（1分）（1 分）.解得k=-1 ,点D的坐标为（1,3）.过点D作DMLAC,过点B作BNL AC,垂足分别为点 M N.（1分）V 1AC BN =1 AB OC ,后 BN =5父4 ,BN = 222020.1717. （1 分）.dm/idm . DMCD. DMV2. DM/ BN, . . = , . . = , . . DMBNCB BN4、2DM 5 1715、221sin/CAD=., AD 17.132215, 1717（1分）（1分）11（;3）设点Q的坐标为（n, -n2+3n+4）.如果四边形ECPQ1菱形，则n

9、>0, PQ/ y轴，PQPC点P的坐标为（n, -n+4）. PQ =_n2+3n+4+n4=4nn2, PC=V2n, （2 分）4n -n2 = 72n ,解得 n=4 应 或 n=0 （舍）. （1 分）.二点Q的坐标为（4应，5&-2） . （1分）徐汇：24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）如图，在平面直角坐标系xoy中，顶点为M的抛物线G: y=ax2+bx（a<0）经过点A和x轴上 的点 B, AO=OB=2, /AOB=120o.（1）求该抛物线的表达式；（2）联结AM求 SvAOM ；（3）将抛物线C1向上平移得到

10、抛物线 Q,抛物线G与x轴分别交于点E、F （点E在点F的 左侧），如果 MBFWAOMf似，求所有符合条件的抛物线 G的表达式.2.在RtVAHO中，OH2 +AH2=OA2, /. AH =722-12 =43.A（1,圾（1 分）;抛物线Ci : y = ax2 +bx经过点A B ,可得：Fa+2b =0解得:J 3 （1 分）la -b = - 3|2、3b 二3.这条抛物线的表达式为y = -x2 +3 x （1分）33（2）过M作MGLx轴垂足为G = y = x2 + 26x33顶点M是79j,得MG1分)L f /A. A(-1,寿)，M 1,火.3得：直线 AM为 y =2

11、'3x-31分)直线AM与x轴的交点N为fl,0 i21分)S.AOM1 -1 -ON MG ON AH1分) .在RtABGM 中，tan ZMBG=MG-= , . ./MBG=30. BG 3MO=M B. NMBF =150°,由抛物线的轴对称性得:NMBO =NMOB=150°. /AOB=1201 . . /AOM=150*NAOM=/MBF .当 AMBFf AAOMl 似时,2.3* OM 有：OA2 3BM-或BFOM BFOA BMBFBF_ 2BF = 2 或 BF =3:F (4,0),0)2分)设向上平移后的抛物线C2为：y，32一 x当

12、F (4,0)时，k =8-3，抛物线C2为:.3(1分)当5 ( 8,0)时，k316,327,抛物线C2: y-3 x22 3 x 16 327(1分)金山：24.已知抛物线y =x2+bx+c经过点A(0,6),点B(1,3),直线11 ： y = kx(k¥0),直线I2 ： y = -x -2 ,直线11经过抛物线y = x2 +bx +c的顶点P ,且11与I2相交于点C ,直线L与x 轴、y轴分别交于点D、E.若把抛物线上下平移，使抛物线的顶点在直线12上(此时抛物线 的顶点记为M ),再把抛物线左右平移，使抛物线的顶点在直线 11上(此时抛物线的顶点记为N).(1)求

13、抛物线y =x2+bx+c的解析式.(2)判断以点N为圆心，半径长为4的圆与直线12的位置关系，并说明理由.(3)设点F、H在直线11上(点H在点F的下方)，当AMHF与AOAB相似时，求点F、H 的坐标(直接写出结果).j, yx O""第24题6 = c24.解：1)把点 A(Q6)、B(1,3)代入 y=x2+bx + c得/，2 分)3=1 b cfb = -4解得，,(1分)：抛物线的解析式为y = x2-4x + 6. (1分)c = 6(2)由 y=x24x+6 得 y=(x22+2,.顶点 P 的坐标为 P(2,2 ),(1 分)把P(2,2 Y弋入11得2

14、 = 2k解得k=1 ,直线11解析式为y = x,设点 M 2m),代入 12 得 m = -4, . .得 M(2,-4),设点 N(n,Y),代入 11 得 n = -4, 得 N(-4,-4), 由于直线12与x轴、y轴分别交于点D、E易得 D(-2,0 1 E(0.-2),.OC='J-02 _1-0 2 小，2 , CE =可"1_0 2 7 2，2；OC=CE, 丁点C在直线y = x上，NCOE =45°, .NOEC=45 NOCE=180、45L45“ = 90'PNC_Ll2,（1 分）NC=，(-1+4，+(1+4 2 =3%；2 &

15、gt;4,(1 分)以点N为圆心，半径长为4的圆与直线L相离.(1分)(3)点 H、F 的坐标分别为 F(8,8 ' H (-10,-10 减 F(8,8卜 H (3,3)或 F(-5,-5卜 H (-10,-10).(对1个得2分，对2个得3分，对,3个得4分)杨浦：24.(本题满分12分，每小题各4分)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y= ax2+bx+c(a? 0)与y轴交于点C (0,2),1匕的顶点为D (1,mj),且tan? COD .3(1)求m的值及抛物线的表达式；(2)将此抛物线向上平移后与x轴正半轴交于点A,与y轴交于点B,且OA=OB若点A是由原 抛物线上的点E

16、平移所得，求点E的坐标；(3)在(2)的条件下，点P是抛物线对称轴上的一点(位于 x轴上方)，且/ APB=45° .求P 点的坐标.y 5 .4 一3 -2、1 -3 -2 -1O 1 2 3 4 x- 1- 2、- 3(第24题24.解：(1)作 DHLy 轴，垂足为 H, D (1,mj) ( m> 0) , . DH= m, HO=1. tan? COD 1OH-= 1 , . . m=3 (1 分)3， DH 3抛物线y = ax2+bx+c的顶点为D (1,3).又:抛物线y= ax2+ bx+c与y轴交于点C (0,2),Ja + b+ c= 3,b = 1, 2

17、a3a = - 1,?c = 2.(2 分)?b = 落c =2,2.抛物线的表达式为y= - x2+ 2x+ 2 . (1分)(2)二.将此抛物线向上平移,设平移后的抛物线表达式为y=-x2+ 2x+ 2+ k(k> 0)(1分)则它与y轴交点B (0,2+k).平移后的抛物线与x轴正半轴交于点A,且O/=OB.A点的坐标为(2+k,0) . .(1分)一一 2 一一一一 . 0 = - (2+ k)2+ 2(2+ k)+ 2+ k . . . k1 = - 2,k2 = 1.'k> 0 , k = 1.A (3,0),抛物线y= - x2+ 2x+ 2向上平移了 1个单

18、位.点A由点E向上平移了 1个单位所得，. E (3,-1 )(3)由(2)得 A (3,0) , B (0, 3 )，.二 AB= 372 .(1分)(1分).点P是抛物线对称轴上的一点(位于 x轴上方)，且/ APB45。，原顶点D (1,3), .设P (1,y),设对称轴与AB的交点为M与x轴的交点为H,则HI (1,0).A (3,0) , B (0, 3 ) , . ./OA=45° , . . / AMH45° .1yM (1,2 ) . . . BM = 72././BMR/AMH .ZBMP450 ./APB=45° , ./BME/ APB/B

19、=/B, .BMPozBPA.空二 BA. BP2 = BA?BM 372 ?/2 6BM BP(2 分)O BP2 = 1+ (y- 3)2= 6. = 3+ 瓜 y2 = 3-疾(舍).P(1,3+ .5)(1分)(1分)当堂一测:宝山：24.(本题满分12分，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分)如图9,已知：二次函数y=x2+bx的图像交x轴正半轴于点A,顶点为P, 一次函数12y =1x-3的图像父x轴于点B,父y轴于点C, / OCA勺正切值为-.23(1)求二次函数的解析式与顶点 P坐标；(2)将二次函数图像向下平移 m个单位，设平移后抛物线顶点为P',若，求m的值

20、.一12B x1924.(本题满分12分,每小题满分各6分)解：(1)二一次函数y=图像与y轴交于点C /.C (0,-3) 1分OA 2.RtAAOO, tan/OCA = OA21 分OC 3.A的坐标(2,0)1 分把A的坐标(2,0)代入y = x2 + bx得b = 21分二次函数解析式是y=x2-2x,顶点P坐标(1,-1) 2分(2)设点P坐标(1, -1- m ,根据题意可知m>0 1分1二.一次函数y = x3图像与x轴父于点B, a B (6, 0) 1分21 = 1AB=2 1分2 5设对称轴直线x=1交直线BC于点G,: G(1,-)2十=？5+ ?1=3 m 1

21、分222_ _ 3八 2=3 - m 1 分2(2)小0),点果抛物线松江：24.(本题满分12分，第(1)小题3分，第 题4分，第(3)小题5分)1 .如图，抛物线y x bx c经过点A ( - 2,2B (0, 4).(1)求这条抛物线的表达式；(2) P是抛物线对称轴上的点，联结 AR PB,如 /PBON BAO求点P的坐标；(3)将抛物线沿y轴向下平移m个单位，所得新与y轴交于点D,过点D作DEE/ x轴交新抛物线于点E,射线EO交新抛物线于点F,如果 EO=2OF,求m的值.24.解:（1）二,抛物线经过点A (- 2,0),点 B (0, 4)f-2 -2b +c =0c=4（

22、1 分），1 b = 1解得c = 4(1分).抛物线解析式为 y 二-1 x221分)(2) y = -lx2 + X+4 =-1(X -1 2 +9 2221分)，对称轴为直线x=1,过点P作PGLy轴，垂足为G过点 F作 FH!y 轴，垂足为 H,DEE/ FH EO=2QF分）(1分）.DE EO DO 2FH OF OH 1,FH=11分)55 点D在y轴的正半轴上，则 F |_1,_m I,，OH =m _ ,22DOOH4 -m二 5m 22 , . m=311分）99点D在y轴的负半轴上，则 F |1,9-m,2m=1分）DO m -4 2OH =m 9=1 m2，综上所述m的

23、值为3或5.【普陀24】在平面直角坐标系中，点 A(4,0)是抛物线y =ax15【答案】(1) y = x2+2x+2； C(1,3) (2) tan/CAB = (3) Q1(1,一)或、2(1,-1) 2【解析】(1) ;点A(4,0)是抛物线y =ax2+2x+c上的一点，代入得：16a + 8 + c = 0又二.抛物线向下平移6个单位以后经过点B(0,2),平移后的抛物线解析式为： y =ax2 +2x +c -6。代入得：c6=2,c=8，由得：a = 1,c = 8+2x+c上的一点，将此抛物线向 下平移6个单位以后经过点B(Q2),平移后的新抛物线的顶点记为 C,新抛物线的对称轴和线 段AB的交点记为P 0(1)求平移后得到的新抛物线的表达式，并求出点 C的坐标；(2)求/CAB的正切值；(3)如果点Q是新抛物线对称轴上的一点，且 4BCQ和4ACP相似，试求点Q的坐标。1 11 aAO 1x平移后得到的新抛物线的表达式：y = -x2 +2x + 2 ,顶点C(1,3)(2) AHO)、B(0,2)、C(1,3),易得 CB =",CA = 3V2,BA = 2/5 由勾股定理逆定理得 ABC是直角三角形，tan/CAB=£B=1CA 3(3)设抛物线对称轴与x轴相交于点H. _. _133 APHsMbO, ph =1AH =工