14年高考真题——理科数学(新课标II卷)（精编版）

1、14 年高考真题理科数学( 新课标 II卷)LT10. 设F 为抛物线 C :y23x的焦点，过 F 且倾斜角为 300 的直线交 C 于 A, B 两点，O 为坐标原点，则 OAB32的面积为（）4（A ）33（ B）93（C）63（ D）89411. 直三棱柱ABCA1B1C1 中，BCA900 ， M , N 分别是A1B1, A1C1 的中点，弦值为 ()BCCACC1 ，则 BM 与AN 所成的角的余10（A ）1（B）2（C） 30（D）5102212. 设函数 fxm3 sinx ，若存在 fx 的极值点 x0满足 x022fx0m2 ，则 m 的取值范围是 ()（A ）,66,

2、（B）,44,（C）,22,（ D）,14,二填空题： 本大题共四小题，每小题5分。1013. xa的展开式中，x7 的系数为 15，则a 。( 用数字填写答案 )14. 函数 fx 。sinx22sincosx的最大值为15. 已知偶函数 fx 在 0,单调递减，f20 。若 fx10 ，则 x 的取值范围是 。2014 年高考真题理科数学（解析版） 卷新课标II第 - 13 - 页 共 12 页16. 设点M x0 ,1，若在圆 O : x2y21上存在点 N ，使 得 OMN450 ，则x0 的取值范围是 。三. 解答题： 解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤。17（本小题满分 12

3、分）已知数列an满足a11，an 13an1 。证明 an1是等比数列， 并求an的通项2公式；证明：1113 。a1a2an218（本小题满分12 分）PEA如图，四棱锥PABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA平面 ABCD ，E 为DPD 的中点。证明：PB / 平面BCAEC ；设二面角 DAEC 为 600 ，AP1 ， AD3 ，求三棱锥EACD 的体积。19（本小题满分 12 分）某地区 2007 年至202020202020200708091011121312345672013 年农村居民家庭纯收入 y （单位：千元）的数据如右表。求 y 关于t 的线性回归方程；利用中的回归方

4、程，分析年份年份代号t2007 年至2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入 y2.93.33.64.44.85.25.9人均纯收入的变化情况，并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入。（附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：ntibi 1ntyiy2， a?yb?t ）titi 120（本小题满分12 分）设:x2y2F1 , F2 分别是椭圆Ca2b21 ab0 的左右焦点， M 是C 上一点且MF2 与x 轴垂直，直线 MF1 与C 的另一个交点为 N 。若直4线MN 的斜率为3 ，求C 的离心率；若直线 MN 在y 轴上的截距为 2，且| MN|5|F1N|，求a

5、, b 。21（本小题满分共12 分）已知函数fx =exe x2 x 。讨论fx的单调性；设 gxf2x4bfx ， 当 x0 时，gx0 , 求b 的最大值；已知 1.414221.4143，估计 ln 2 的近似值（精确到0.001 ）。请考生在第（ 22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做， 则按所做的第一个题目计分， 作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。22（本小题满分 10 分）如图， P 是 O 外一点， PA 是切线， A 为切点，割线 PBC 与 O 相交于点B,C ，PC2PA ，D 为PC 的中点， AD的 延

6、 长线 交O 于 点 E 。 证明 ： BEEC； ADDE2PB 2 。23（本小题 10 分）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆 C 的极坐标方程为2cos02。求 C 的参数方程； 设点 D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l : y3x2 垂直， 根据中你得到的参数方程，确定D 的坐标。24（ 本 小 题 满 分10分 ） 设 函 数fx| x1 | xa |a a0。证明： fx2 ；若 f35 ，求a 的取值范围。2014 年普通高校招生全国统考数学试卷新课标II卷解答一 DAABACDDBDCC二 13 1 2 ；141；151,3

7、 ； 16 1,117. 解 ： 由an 13an1 得an 13an1，又 a13 ，21122222所以， an1 是首项为 3，公比为 3 的等比数列，故an133n221 ，因此an的通项公式为 an3n1；2由知 12，因为当 n1时， 3n12 3n1 ，所na3n1以 11。于是，111111311 3 。3n12 3n 1aaa33n 123n212n18. 解：连结 BD 交AC 于z点O , 连结 EO 。因为 ABCD 为矩PD形，所以 O 为BD 的中点。又 EE为的 PD 的中点，所以EO /PB 。AyBOEO平面 AEC ， PB平面 AEC ，Cx所以 PB /

8、 平面 AEC ；因为 PA平面 ABCD ，ABCD 为矩形，所以AB, AD , AP两两垂直。如图，以 A 为坐标原点， AB 的方向为 x 轴的正方向， | AP | 为单位长，建立空间直角坐标系Axyz ，则 D0,3,0， E0,3 2,1 2， AE0,32,1 2。设B m,0,0m 0，则Cm,3,0。设 nx, y, z 为平面 AEC 的法向量，则n AC0 ，即 mx3y0 。可取 n,1,3。3，nAE03 yz0m又m1,0,0即为平面 DAE 的法向量，由题设| cosm, n|1 2334m2= 1 ，解得 m3 。因为 E 为 PD 的中点，所以三22棱锥 E

9、ACD 的高为 1，其体积为11VE ACD3313 。23222819. 解：由题得 t17，i47 i 1，2.93.33.64.44.85.25.9727y4.3titi 128 ，7?77214tityiy14 ， btityiytit0.5，i 1i 1i 128a?yb?t2.3 ，故所求回归方程为y0.5t2.3 ；由知 b?0.50 ，故 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5 千元。将 2015 年的年份代号 t9 代入中的回归方程得 y6.8 。故预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入为 6.8 千元。20. 解：设F1

10、c,0, F2c,0，其中ca2b2 ，则由2题知 Mc,b 2 a，故 3kb，即2b23ac 。将b 2a 2c2 代aa24MF1a 2c入得 3ac2a 22c2 ，解得 c2 （舍去）或 c1 。故C 的2离心率为 1 ；由题意，原点 O 为F1F2 的中点，MF2 /y 轴，所111以直线MF1 与y 轴的交点 D 是线段MF1 的中点，故b2 a4 ，即b 24a 。由| MN|5|F N | 得| DF|2 | F N|，设N x, y，由题意可知 y0 ，则22 ycxcx即2y3c 2 ，代入方程 C19c219 a24a1得 4 a 2b 21。从而可得4a24a1，解得

11、 a7 ，b 24a28 。所以 a7 ， b27 。21. 解：由题f xexe x20 ，等号仅当 x0 时成立，所以 fx 在,单调递增；由题gxe2 xe 2x4b exe x8b4x，故g x2e2 x2e 2 x4b exe x8b42 exe x2exe x2b2。当b2 时，gx0 ，等号仅当 x0 时成立。故gx在,单调递增，因g 00， 故对x0 ， gx0 ； 当 b2 时， 若 x 满足2exe x2b2 即 0xln b1b22b时gx0 。而 g00 ，因此当 0xlnb1b22b时， gx0 。综上， b 的最大值为 2；由知gln2322b22 2b1 ln 2

12、 ，当b42 时，gln23426ln 20 ，故ln 28232120.6928；当b321 时，2lnb1b22bln2 ， gln2342322ln 20 ，故ln 2182280.693 。因此 ln 20.693 。22. 解：连结AB, AC ，由题 PAAD ， 故 PADPDA 。因 PABDCA ， PDADACDCA ， PADPABBAD ，所以 DACBAD ，从而 BEEC ，因此 BEEC ；由切割线定理得PA2PBPC ，而PC2 PA ，故PA2 PB 。因PAPDDC ，故DC2PB ，BDPB 。由相交弦定理得ADDEBDDC2 PB2 。23. 解：由题知 C 的普通方程为x1 2y21 0y1 ，可得 C 的参数方程x1cost （ t 为参ysin t数， 0t）；设 D1cost,sin t，由知 C 是以G1,0为圆心， 1为半径的上半圆。因为C 在点 D 处的