第八章--向量代数和空间解析几何.(20201128231118)

1、第八章向量代数和空间解析几何第八章内容概要与重点难点提示本章由三个部分组成：（ 1）向量代数 包括向量的二要素（模和方向） 抽象向量和具体向量的线性运算法则 数量积、向量积和混合积的运算； （2）空间曲面（球面，旋转面，锥面，柱面和二次曲面）的图形与方程之间的对应，空间曲线与方程组之间的对应； （ 3）平面和直线的方程。重点向量运算（线性运算、点乘、叉乘）画出空间曲面曲线的图形求平面和直线的方程本章无特别难的难点考试内容要点讲解一、向量1、定义既有大小又有方向的量称为向量（或者矢量），记为 a 或者 AB ，比如位移、速度、加速度等，向量的二要素： （1）大小 也叫长度 ,、模或者范数，记为

2、a 或者 AB ；方向 向量箭头的指向或用方向角,来刻画。常用的向量有零向量 0 （模为零，方向任意）、单位向量 e （模为 1）、向径 OM (其中 M (x, y, z)为空间直角坐标系的一点 )、自由向量（与起讫点无关） 。一般无特别说明我们都学的向量都是自由向量。向量是不能比较大小的。抽象的向量用带箭头的线段来表示，具体向量表示为xyzxiyz， x 叫做 a 的横坐标或者 a 在x轴上的投影，x叫a ( a , a , a )aa+ ja aka i做 a 在 x轴 上 的 分 量 。 aax2ay2 +az2 ； cos2ax2 +az2，axaycosay， cosaz， 与 a

3、 同 方 向 的单 位向 量为ax2ay 2 +az2ax 2ay 2 +az2a0a(cos ,cos,cos ) 。a2、向量的运算对于抽象向量（1）加减法 （平行四边形法则）做 ABa,AD b ，以 AB, AD 为邻边做平行四边形，则对角线构成的向量ACa+b, DBab 。（2）数乘规定 a（为数量）是向量：模 aa ；方向是当0 时 a与 a 同向，当0时 a 与 a 反向，当0 时 a0。（3）数量积（点积，内积）a bab c o sa prj abbprj ba （结果为数量），式中 为向量 a 与 b 的夹角（0, ）。（4）向量积（叉积，外积）ab 的结果是向量：模 a

4、ba b sin， 为向量 a 与 b 的夹角（0, ）；方向 ab 与 a 与 b 都垂直，且 a 、 b 、 a b 符合右手系。（5）混合积三个向量 a 、 b 、 c 的运算 (a, b ,c )( ab)c （结果为数量，在几何上该数的绝对值等于以a 、 b 、 c 为棱的平行六面体体积） 。对于具体向量设 a( ax ,ay , az ),b(bx ,by , bz) ，则（ 1）加减法ab(a,a,a；)bbbxxyyzz（2）数乘a(ax , ay ,az ；)（ 3）数量积aba baba；bxxyyzijk（ 4）向量积abaaa；xyzbxbybz（ 5）混合积axaya

5、z）。(,)，（这里设c (cx , cy, cz )abcxbybzbcxcycz3、常用的结论（ 1）投影定理prj a(bc)prj abprj ac ； prj a bprj ab(R) 。（ 2）非零向量aba b0axbxaybyazbz0 。非零向量 ab (或 a 与 b 共线 )唯一的R 使得 baaxayazbxbybzijka b 0axayaz0 。bxbybz非零向量 a 、 b 、 c 共面不全为零的数1 ,2 ,3 使得 1a2b3c0axayaz(a,b ,c )0bxbybz0。cxcycz（ 3）非零向量 a 、 b 、 c 构成三角形，则 abc0 ；反之

6、不一定成立。ijk（4）以 a, b 为邻边的平行四边形面积 Sa baxayaz。bxbybz4、运算性质（ 1）加减与数乘abba； (ab)ca(bc ) ； aba( 1)b ；()aaa ； (a b )ab 。（ 2）数量积a bb；aa(bc )a ba c ；( a) b a ( b )2。(a b ) ； a a a（ 3）向量积a bb；aa(bc)abac ；( a ) ba ( b )(a ；b) a a 0 。注对点积和叉积都没有消去律，如由a ba c ，且 a0 不能推出 bc 。（ 4）混合积(a , b ,c )(b ,c ,a )c( a,，b( a, b,

7、 c)( a, b, c) ；(a , b ,c )(b ,a ；,c (a, a, b)( a, b, a)( a,b,b )0 ；(a1 a2 , b, c ) (a1 ,b , c )。2 (a ,b ,c )例题 1求同时垂直于向量a(1,2,1) 与 y 轴的单位向量。解：法 1设所求向量为 b(x, y, z) ，则ab0(1,2, 1)(x, y, z)0x2 yz01 ， y 0 。jb0(0,1,0)( x, y, z)0y0x zb 1x2y2z21x2y2z212所以 b1 (1,0,1) 。2ijk法 2取 c a j (1,2, 1) (0,1,0) 121 (1,0

8、,1) ，010故 bc1 (1,0,1)。c2例题 2设 a(1,1,0),b(2,0,2) ， c与 a,b 共面，且 prj acprj bc3 ，求 c 。解：法 1令 c(x, y, z) ，由 c 与 a,b 共面，得xyz(a,b ,c ) 1100 ，解得x y z 0 （ 1）202prj又prjcacbxy332x y 3 2( 2 )32 (x z )，3x z 3 2( 3 )22由（ 1）（2）（ 3）得到 x2 2 ， yz2 ，所以c2 ( 2 , 1,。1 )法 2因为 c 与 a,b 共面，且 prj acprj bc3 ，知 c在 a,b 的角平分线上，所以

9、 c a0b 0ab(1,1,0)(2,0, 2)(2,1,1) 也在 a,b 的角平分线上，ab22 22设 cc(2,1,1) ，由 prj ac3 ，即(2,1,1)(1,1,0)3 ，得到2 ，222所以c2 ( 2 , 1,。1 )例题3（1）设()2，则()() ()()。（2）设（ a3b ）（ 7a5b ），（ a4b ）（ 7a2b ），则 (a, b)() 。解：（1）因为()()，所以原式()()()+(）2()=4。3b）( 7a 5b)=022（ a7 a16ab15 b=0（2）由已知，22。(a4b ) (7a 2b) 07 a30ab8 b02a b ，把它代入

10、两式相减，得2a b b ，代入方程组第一式，有221 ，所以 (a, b)2a b b ，即 2 a b cos(,a b)b ，求出 cos( a, b )。23二、空间曲面、曲线的方程定义设有曲面和三元方程 F ( x, y, z)，0它们满足：M ( x, y, z)，则x, y, z 满 足方 程 F ( x, y, z)；0M ( x , y , z )，则 x , y , z 不 满足 方程F ( x, y, z) 0 ，那么称曲面为三元方程 F ( x, y, z)0 所表示的曲面，或说三元方程 F (x, y, z)0 为曲面所对应的方程。1、常见的曲面及其对应的方程（1）球

11、面方程 (xx0 )2( y y0 )2( zz0 )2R2 表示球心为 M 0 (x0 , y0 , z0 ) 、半径为 R 的球面。它的一般式方程为x2y2z2AxByCz D 0 （其中A2B2C 24D）。（2）平面一般式方程为三元一次方程AxByCzD0A,B,C不全为零）。（3）旋转曲面将 yoz 上平面曲线 C : F ( y, z)0 绕 z 轴旋转一周所得到的曲面的方程为 F(x2y2 , z)0 ；绕 y 轴 旋转 一周 所得 到的曲面 的方 程为F ( y,x2z2 )0 （其它情形以此类推） 。（ 4）圆锥面方程 z2a 2 (x2y2 )（ a0 ）表示顶点为原点、中

12、心轴为z 轴、半顶角 arc cot a 的圆锥面。（ ）柱面方程F ( y, z) 0 表示母线平行于 x 轴（因为缺变量 x ）、准线为 yoz5上平面曲线 C : F ( y, z)0 的柱面。（5）二次曲面（即三元二次方程所表示的曲面）椭球面方程x2y2z21。a22c2b旋转抛物面 x2y2z ；椭圆抛物面 x2y2z ；双曲抛物面 x2y2z。2 p2 p2 p2q2 p2q（ ( p,q0) ）。单叶双曲 x2y2z21；面双叶双曲面 x2y2z21 。a2b2c2a2b2c2椭圆柱面x2y2x2y （ px2y2a2b21；抛物柱面2 p0 ）；双曲柱面 a2b21 。2、空间

13、曲线及所对应的方程（组）（1）一般式方程组F (x, y, z)0 在空间表示的图形为曲线（被动的看成G(x, y, z)0两个曲面1 : F ( x, y, z)0, 2 : G( x, y, z) 0 的交线），叫做曲线的一般式方程。（2）参数式方程组xyz(t )(t)(t )，(tR) 在空间表示的图形为曲线（把曲线看成动点M (t ),(t ),(t)的轨迹）,叫做曲线的参数式方程。3、空间曲线在坐标面上的投影（ ）若F (x, y,z)0（它表示母线平，从方程组中消去 z ，得到H ( x, y)01:G(x, y,z)0行于 z 轴、准线为曲线H (x, y)0在 xoy的投影柱

14、面）。联立得 C:z 0就是曲线面上的投影。x(t )x(t)（2）: y(t ) ，则 C : y(t) 就是曲线在 xoy 面上的投影。z(t )z0注 （1）一般地，在空间坐标系一个三元方程所表示的图形为曲面，两个三元方程（组）所表示的图形为曲线； （ 2）将方程（或方程组）与它所表示的图形( 曲面或者曲线 )对应起来并能画出来在多元函数的积分学中尤为重要。例题 4 下列方程（组）各表示什么图形？（1） z 1 1 x2y2（ ）22；y ；2 x 2 z（3）y2；（ ） xy 3。2x x4y2x答：（1）它表示球心在 (0,0,1) 、半径为 1 的下半球面。（2）它表示顶点为 (

15、2,0,0) 、开口向后的旋转抛物面。 （ 3）它表示母线平行于z 轴、准线为xo y 上半圆y2xx2 的半柱面。（4）它表示两个平面 x y3和 2x y 的交线（其实也是 x1, y2 所交的直线，可见曲线的一般式方程并不是唯一的） 。三、平面、直线及其方程（一）、平面的方程1、平面方程的基本形式（1）点法式经过点 ( x0 , y0 , z0 ) 且法向量为 n( A, B, C ) 的平面方程为A(xx0 )B( yy0 )C( zz0 )0 。(2)一般式在只知道曲面是平面的情况下，其方程为AxByCzD0（ A, B, C 不全为零）。（ 3）三点式经过不共面的三点 M i (

16、xi , yi , zi )(i1,2,3) 的平面的方程为xx1yy1zz11xyz1x1y1z1xx2yy2zz20或者为0 。xx3yy3zz31x2y2z21x3y3z3(4)截距式在三个轴上截距依次为a, b, c （ a,b, c 都不为零）的平面方程为xyz。ab1c（此时平面与三个坐标面所围的四面体体积为V1abc ）。6（5）参数式经 过 点 (x0 , y0, z0 且)与两个不共线的向量a (ax , ay , az ), b(bx , by ,bz) 都平行的平面方程为x ax t1bxt 2x 0y ayt1byt 2。y 0z azt1bzt 2z 0、平面之间的关

17、系设1 : A1 xB1 yC1 zD10 ，2 : A2 xB2 yC2zD20 为两个已知的平面，则它们的夹角（指非钝角）满足n1 n2A1 A2B1B2C1C2。cosA12B12C12A22B22n1 n2C 22讨论：（ 1） 1 2 n1 n2A1B1C1D1 ；A2B2C2D 2（2） 12 （重合）A1B1C1= D1；A2B2C2D2（3）12n1n2A1 A2B1 B2C1C20 。注 :至于三个平面的位置关系比较复杂，这需要用到线性代数中的矩阵的秩的概念，也是常考的知识点，希望大家注意。（二）、直线的方程1、直线方程的基本形式（1）一般式（交面式）A1 xB1yC1z1D

18、0 （把直线看成两个平面的交A xByCzD02222线）。（2）对称式（点向式）经过点( x0 , y0 , z0 ) 且方向向量为 S=(m,n, p) 的直线方程为x x0y 0yz 0。zmnp（3）参数式经过点 (x0 , y0 , z0 ) 且方向向量为 S=(m,n, p) 的直线的参数方程为xmtx0y nt y0 。z pt z0（ 4）两点式经过两点 M i ( xi , yi , zi )(i1,2) 的直线方程为xx1yy1zz1 。x2x1y2y1z2z1、直线之间的关系设两直线方程为 l1: x x1y y1zz1 ， l 2: x x2y y2z z2 ，则m1n

19、1p1m2n2p2它们的夹角（指非钝角）满足S1S2m mn np pcos121212。S1S2m12n12p12 m22n22p22讨论：（1） l1l 2S1S2m1m2n1 n2p1 p2 =0 。（2） l1 l2S1 S2m1n1p1。m2n2p2（3） l1 l2m1n1p1 且 x2 x1y2 y1z2 z1 。m2n2p2m2n2p2x2x1 y2y1 z2z1（4） l1 ,l 2 异面(M 1 M 2 , S1, S2 ) 0m1n1p10 。m2n2p23、直线与平面的关系设 l : xx0y y0zz0 ，: AxBy CzD0 ，则它们的夹角（指非钝mnp角）满足n

20、 SAmBnCp。s i nm2n 2 p 2 A 2 B2Cn S2讨论：（1） ln SABC ；mnp（2） lnSAmBnCp=0 ；ln S且 ( x0, y0 , z0 )Am BnCp=0 且 Ax0By0 Cz0 D 0（ 3）或者 lA(mtx0）+B(nty0 ) C( ptz0 ) D 0 （t R ）。(三)直线、平面中的常见问题1、点到平面、点到直线的距离例题 5 求点 M (2,1,3) 到平面 x2 yz2 的距离。解：由点到平面的距离公式，得Ax0 By0Cz0D0 外一点）dB2C 2（点 (x0 , y0 , z0 ) 为平面 Ax By Cz DA2122

21、1325。1416例题 6 求点 M (2,1,3)到直线 x1yz2 的距离。121解法 1由点到直线的距离公式，得M 0MS（直线 x x0yy0z z0 过 Md0 (x0 , y0 , z0 ) 且 S=(m,n, p) ）Smnp(3,1,1)(1,2,1)5 3 。(1,2,1)3法 2先求出过点 M (2,1,3) 、以 n(1,2, 1) 的平面方程为(x2)2( y1)( z3)0 ，即x2 yz10 。x2 yz10再求出该平面和已知直线的交点，为此联立2xy20，解得xz10N( 1,4,4)。333最后得到 dMM(21)(14)(34)53 。3333二、点关于平面、

22、直线对称点坐标例题 7求点 M (2,1,3) 关于直线 x1yz2 的对称点坐标。121解：同上题一样，求出过M 点做出的与已知直线垂直的平面x2 y z 1 0 ，再求出该平面和直线的交点 N (1 , 4 , 4) ，最后设所求的点为 M( x, y, z) ，用中点333公式， 得12x ，412y ，43 z ，32332解出 x4 , y5 , z1 ，故所求的点为 M (4,5, 1)。333333三、平面束设有直线 l :A1 x B1 yC1zD10，则过 l得平面束方程为A2 x B2 y C2 z D20A1 xB1 yC1zD1( A2 xB2 yC2 z D2 )0

23、（其中R ）其特点：随不同，它表示不同位置的平面。但无论为何值，这些平面都经过l （但不包含平面 A2 xB2 y C2 z D20）。例题 8设平面过两个平面1 : xy10,和 2 : x2 y 2z0 的交线，且与平面 3 : 2xy z0 垂直，求平面的方程。解 法 1（点法式）设平面的法向量为 n( A, B,C) ，因为,1, 2 交于一条直线，所以它们的法向量n, n1 , n2共面，令 nn1n2 ，又因为3 ，所以n n3 0 ，即 2() (2)20，取2,1，得 n(3,4,2) 。再在交线xy10上任取一点 M 0 (0, 1,1) （也在平面上），由点法式得x2 y2

24、z0:3 x 4( y 1) 2( z 1) 0或 :3 x 4y 2z 2 0 。ijk法 2（混合积）平面1 ,2 的交线的方向向量 S n1n2110 (2, 2,1) 。122S, n3 是平面上不共线的向量， 取 M 0 (0, 1,1) ，则平面的任意点 M (x, y, z) 满足的方程为 (MM , S, n3 )0 ，即xy 1z12210 ，解得3x4 y2z2。0211法 3（平面束）过xxy10 得平面束为2 y2z0x y1(x2 y2z)0，或者( 1x)( 1 2 y )z21。令 (1,12,2 ） n3 ，解出1 , 代入上式整理得到平面的方程为23x 4 y

25、 2z 2 0 。四、公垂线的方程和公垂线段的长例题 9 问直线 l 1 : x3yz1 与 lx2t12 :y 3相交吗？若相交，求出交点；243zt2若异面，求出公垂线段的长和公垂线的方程。解：两条直线的方向向量为S1(2,4,3), S2(2,0,1) （显然不平行），分别在两条433直线上的点构成的向量为M1M2 (4,3,3) ，因为 243280 ，故两条直201线异面。下面来求公垂线段的长法 1过 l 1 作平面l 2 ，则平面的法向量可取为 nS1S2(4,4, 8), 又由于过 M1 (3,0,1)，所以平面的方程为 4( x3)4( y0)8( z1)0,即xy2z50 。点 M 2 ( 1,3,2) 到平面的距离即为所求的公垂线段的长，故 d1322571146 。6法 2即为 M1M 2(4,3,3)在公垂线的方向向量 SS1S2(4,4,8), 上投影的绝对值。dM1M 2M1M2 S432376 。prj SS1 146再求公垂线的方程过 M1 (3,0, 1)，以 S1 S = 4(11, 7,2) 即 (11, 7,2) 为法向量作平面11(x3) 7( y0)2( z1