绝对值(基础)知识讲解

1、绝对值（基础）【学习目标】1掌握一个数的绝对值的求法和性质；2进一步学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义；3会求一个数的绝对值，并会用绝对值比较两个负有理数的大小；4. 理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题.【要点梳理】要点一、绝对值1. 定义： 一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作 |a|.要点诠释：（1）绝对值的代数意义： 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是 0即对于任何有理数a都有：a(a0)| a | 0(a0)a(a0)（ 2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值

2、越大；离原点的距离越近，绝对值越小（ 3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的2. 性质： 绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0要点二、有理数的大小比较1. 数轴法： 在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小 . 如： a 与 b 在数轴上的位置如图所示，则 a b2. 法则比较法：两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：同为正号：绝对值大的数大两数同号同为负号：绝对值大的反而小两数异号正数大于负数正数与 0：正数大于0数为 0负数与 0：负数小于0要点诠释：利用绝对值比较两个负数的大小的步骤： （ 1）分别计算两数的绝对值； （ 2）比较绝对值的大小；（

3、3）判定两数的大小3. 作差法： 设 a、b 为任意数，若 a- b0，则 ab；若 a- b 0，则 a b；若 a- b 0，a b；反之成立4.求商法：设、 为任意正数， 若 a1，则 ab ；若 a1，则 ab ；若 a1，则 ab ；abbbb反之也成立若a、 b 为任意负数，则与上述结论相反5. 倒数比较法： 如果两个数都大于 0，那么倒数大的反而小 .【典型例题】类型一、绝对值的概念1求下列各数的绝对值第1页共5页11 ，- 0. 3，0，3 122【思路点拨】11， -0.3， 0，3 1 在数轴上位置距原点有多少个单位长度，这个数字22就是各数的绝对值还可以用绝对值法则来求解

4、【答案与解析】解法一：因为11到原点距离是11 个单位长度，所以1 11 12222因为-0.3 到原点距离是0. 3 个单位长度，所以|- 0. 3| 0. 3因为 0到原点距离为 0个单位长度，所以 | 0| 0因为3 1到原点的距离是3 1 个单位长度，所以3 13 1 2222解法二：因为110 ，所以1 11111 2222因为-0.30，所以 |- 0. 3| -(- 0. 3) 0. 3因为 0的绝对值是它本身，所以| 0| 0因为3 10 ，所以3 13 1 222【总结升华】 求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解( 如方法1) ，一种是利用绝对值的代数意

5、义求解( 如方法2) ，后种方法的具体做法为：首先判断这个数是正数、负数还是 0再根据绝对值的意义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反数，还是 0从而求出该数的绝对值2已知一个数的绝对值等于2009，则这个数是 _【答案】 2009 或 - 2009【解析】 根据绝对值的定义，到原点的距离是2009 的点有两个，从原点向左侧移动2009个单位长度， 得到表示数 - 2009 的点；从原点向右侧移动2009 个单位长度， 得到表示数2009的点【总结升华】 已知绝对值求原数的方法：( 1) 利用概念； ( 2) 利用数形结合法在数轴上表示出来无论哪种方法都要注意若一个数的绝对值是正数，

6、则此数有两个，且互为相反数.举一反三：【变式 1】求绝对值不大于3 的所有整数【答案】 绝对值不大于3 的所有整数有- 3、 - 2、 - 1、 0、 1、2、 3【高清课堂：绝对值比大小356845典型例题3】【变式 2】如果 x 2，那么 x _； 如果 x 2，那么 x _如果 x 2 1，那么 x； 如果 x 3，那么 x 的范围是第2页共5页【答案】 2或 -2； 2或-2 ；1 或 3； x> 3 或 x< - 3【变式 3】数轴上的点 A 到原点的距离是6，则点 A 表示的数为【答案】 6 或- 6类型二、比较大小3比较下列有理数大小：( 1)-1和 0；(2)- 2

7、 和|- 3| ；( 3)1 和1；（ 4）321 _0.1【答案】 ( 1) 0 大于负数，即 - 1 0；( 2) 先化简 |-3| 3，负数小于正数，所以- 23，即 - 2|- 3| ；( 3) 先化简11 ，11，11，即11 33222332(4) 先化简11 ，0.10.1 ，这是两个负数比较大小：因为1 1 ，0.10.1，而 10.1 ，所以 10.1 ，即1 0.1【解析】 ( 2) 、 ( 3)、（ 4）先化简，再运用有理数大小比较法则【点评】 在比较两个负数的大小时，可按下列步骤进行：先求两个负数的绝对值，再比较两个绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”做

8、出正确的判断举一反三：【高清课堂：绝对值比大小356845典型例题 2】【变式 1】比大小：3 5 _3 6 ；-|-3.2|_-(+3.2)；0.0001_1000；671.38 _1.384 ； _ 3.14 【答案】 ； =；【变式 2】（山东临沂）下列各数中，比1 小的数是（）A0B1C 2D2【答案】 C【变式 3】数 a 在数轴上对应点的位置如图所示，则a， - a， - 1 的大小关系是() A - a a - 1B - 1 - aaCa - 1 - aD a - a - 1第3页共5页【答案】 C类型三、绝对值非负性的应用4. 已知 | 2- m| +| n- 3| 0，试求

9、m- 2n 的值【思路点拨】 由 a 0 即绝对值的非负性可知，2-m 0， n-3 0，而它们的和为 0所以 2-m 0， |n-3| 0因此， 2-m0， n-3 0，所以 m 2， n3【答案与解析】因为 | 2- m| +| n- 3| 0且| 2- m| 0， | n- 3| 0所以 | 2- m| 0，| n- 3| 0即 2- m 0， n- 3 0所以 m 2， n3故 m- 2n 2- 2×3 - 4【总结升华】 若几个数的绝对值的和为 0，则每个数都等于 0，即 | a| +| b| + +| m| 0 时，则 a b m 0类型四、绝对值的实际应用5正式足球比赛

10、对所用足球的质量有严格的规定，下面是6 个足球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数检测结果( 单位：克 ) ：- 25，+10， - 20，+30 ， +15， - 40裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由【答案】 因为 +10 +15 - 20 - 25 +30 - 40，所以检测结果为+10 的足球的质量好一些所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛【解析】 根据实际问题可知，哪个足球的质量偏离规定质量越小，则足球的质量越好这个偏差可以用绝对值表示，即绝对值越小偏差也就越小，反之绝对值越大偏差也就越大【点评】 绝对值越小，越接近标准.举一反三：【

11、变式1】某企业生产瓶装食用调和油，根据质量要求，净含量( 不含包装 ) 可以有0. 002L的误差 现抽查 6 瓶食用调和油， 超过规定净含量的升数记作正数， 不足规定净含量的升数记作负数检查结果如下表：+0. 0018- 0. 0023+0. 0025- 0. 0015+0. 0012+0. 0010请用绝对值知识说明：( 1) 哪几瓶是合乎要求的( 即在误差范围内的) ?( 2) 哪一瓶净含量最接近规定的净含量？【答案】 ( 1) 绝对值不超过0. 002 的有 4 瓶，分别是检查结果为+0. 0018，- 0. 0015，+0. 0012，+0. 0010 的这四瓶( 2) 第 6 瓶净含量与规定的净含量相差最少，最接近规定的净含量【变式 2】一只可爱的小虫从点O 出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程( 单位： cm) 依次记为： +5 ， - 3，+10 ，- 8， - 6， +12