2019年高考数学(理)命题热点全覆盖专题08+含参数的导数问题解题规律

1、专题08含参数的导数问题解题规律知识点 根本初等函数的导数公式常用函数的导数(C)=(C为常数)；(x)'=(x2)丄 (x)=(2)初等函数的导数公式(xn)=(sin x)=(cos x)'=(ax)=;/(ex)=(ln x)(log ax)5 导数的运算法那么 (1)f(x) ±(x)= (2)f(x) g(x)=6 复合函数的导数 (1)对于两个函数y = f(u)和u = g(x),如杲通过变量u, y可以表示成x的函数，那么称这两个函数(函数y= f(u) 和u = g(x)的复合函数为y= f( g(x) 解法二由.一得丄2m x,、1 一 工一21n

2、xS国=，那么，由于11单调递减且h1 0,所以0,1时g x单调递增,1, 时g x单调递减0, 上有且只有一个解等价于。故m点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其 中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图 象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等.二构造函数例2.函数 f+皿卜匚Jl.1讨论3)的单调性;内为增函数；宵門在区间2当狀一叶应为两个不相等的正数，证明:【答案】1-时， 在区间| 内为增函数；匕空时， 在区间(寻+円 内为减函数；2见解析.【解析】求出厂(>),

3、分两种种情况讨论?的范围，在定义域内，分别令尸而三1)求得匚的范围，可得函数巫)增区间，求得 的范围，可得函数的减区间；2设，原不等式等价于1 xl xl>2牝巧+ 14，那么原不等式也等价于即仙亡专1) JiW = /nx + 1设4r+ 1，利用导数可得在区间内为增函数， m W：，从而可得结论.【详解】 函®好的定义域为+勿，尸 三+盘=浮假设応> o, r(X=> o,贝加在区间內为增函数;f 3 > o, HO在区间(0-寸内为増函假设“5 令广二号=o,得y = -；> o.jj冏"0-予时,f () <在区间-亍+G内为迪1

4、3散2当"时，=不妨设卜1 A叼A q匡氢时，4加戈+ 2 >0+ 1那么原不等式也等价于即恒成立.F面证明当令= i一=±>c，那么-故机工在区间d + s：内为增函数，机*)aa仃上q,即所以不等式证明问题是近年高考【点睛】此题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明，属于难题 命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比拟简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利 用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解 答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数

5、证明练习1函数f (' r j =工一 jinx1证明：fx有两个零点;21，假设XoR使得'，试比拟与2xo的大小.【答案】1见解析；2见解析.【解析】上单调递增，根据函数的最值情况确定零点个数;由,(比#、31 2J(2-0a仕十0，令t1)函数hf fr) = : f (j)(1)在0,3上单调递减，在3,ka-p<0A(r)>h(l) = 0码)1,上单调递增，又工在1, 上是增函数， x0厂，即2x01据题知-1，求导得：_x 0，有 x 3 ;令 f x0，得0 x 3，所以f x在0,3上单调递减，在 3, 上单调递增,.-I i，有 f 110 ;令

6、 x e2，有-'在1,3和3,e各有1个零点 f x有两个零点.I 3(ln0_lii©28 +盯6Sin1 2 J+Q口-0aa-fl，而凤“ =nr+"(t > 1)>0(1 + r)函数h t在1,上单调递增，故'那么a a+fif 国=1-一又在1,上是增函数，Xo三极值点偏移<0，即 2xo2例3函数(其中e是自然对数的底数，k R) (1)讨论函数代©的单调性;当函数乙兰有两个零点二上时，证明:jq + xt>-21求导数后，根据导函数的符号判断出函数的单调性。2根据题意将证明 卜劭叫八二的问题转化为证明，即证

7、【答案】1见解析；2见解析."如宀2匕1)，构造函数斡I)，利用函数仝的单调性证明即可。试题解析:1解:【解析】此题考查导数与函数单调性的关系以及用导数证明不等式的问题。当fc>0时，令QX= O，解得X =- 1 +阳,当时，F ，-'上单调递减;当U-十冷 + *：时，；I，一 1单调递增。当时， J恒成立,函数r °在R上单调递增.综上，当时，在 -納-1 + l戚上单调递减，在-1 + 1眦43上单调递增。2证明， 在R上单调递增.:当“二 时，由1知函数单调递增，不存在两个零点。所以二-设函数丿*的两个零点为一 ，e*41 =貝两十蕊护41 = ft

8、珥十2:.两+2 y玛-+2 ? 0 j厨一环=In 土耳 那么Zi +2?解得?-rXj + .x7 + 4所以要证X?(i+l)hi只需证设?hnS “ lhf亠一?(+ 1)MC或0 = (£+l>i- 2(t-1)细= hf + -Ci-Fl)-2 = h +1,设'单调递增,加ffl 二血！十-1沪° 二卫® 设'''''所以所以门“在区间上单调递增,所以-,练习1函数1讨论凶的单调性;f(jc) =- x + alnjc2存在两个极值点求；的取值范围-(a - l)x-x,假设加巧+ 9亿"

9、;巧+ <:,【答案】1见解析;2【解析】1对函数进行求导,讨论导数的正负，求得单调区间心+心:A-.；-斗书变形为工 1 + x22将，利用韦达将其转化为关于a的函数，求得最值,即可得到的取值范围.【详解】f (巧=-'14-Jfa " - O.Y + a一 p (耳 > »)fl - Ja1 -4g«+ daUUP a-a" - 4o > 0，即|c<0或心4时，令Hx = 0|,得r -cx -4上或ii当«2-4c<0,即i乞口冬巾时，何冬0, f£在® + G上单调递减;i当上

10、，臣单调递增；在当 时,当 时,和上fX<°, H躬单调递减;m 4-4ct/W加单调递减.上f約o, f刃单调递增.1 z9W =，那么目(jr j = julnx + jf* ajr2，且由1可知,右+ gr2=诃g +吨+妗冷卜色*对=a/n(r|X2) + b + x2)S - + =a!nci - -t2令/1(a)=-,-,贝 V'因为 ，所以，所以 在I 上单调递减，那么 逬“沁:哄刮，即列;打心川-乙.因为辰虽如+ M对空4 +理)，即，所以，即；的取值范围为-：心；和m【点睛】此题考查了导数和函数的单调性，极值，最值的关系，以及函数的能成立的问题，培养

11、学生的转化能力，运算能力，属于难题.四多变量问题例4.函数乙宀0 x ，呦3)応+ 扔m R求f X的单调区间;求证：1是g X的唯一极小值点;川假设存在a, b 0,，满足“：，求m的取值范围只需写出结论【答案】(1)单调递增区间为0 , f x的单调递减区间为，42见解析3【解析】 试题分析：I求出f' x , f ' x 0求得X的范围，可得函数 f X增区间,g'(x) = Lnx 2 +1，又可证得X的范围，可得函数 fx的减区间；n先求得咒 X 0，可得g' 1 + 1明无在定义域内递增，即可证明 1是g(x)的唯一极小值点；川令两函数的值域有交集即

12、试题解析：I 因为7T3因为Ox ，所以x 34当x变化时，f' X , f x的变化情况如下:x0,34343J4f ' x0f x/极大值故f x的单调递增区间为0, , f x的单调递减区间为 44l(IJ)证明：v = f.v-/. g'| x =ltix- + 1 (> 0X设舟(XJ = yQr) = lnx-丄十1,那么 ffg =丄十X >0XJ x X*故苕T H在® +巧是单调递增函数,7 V gl)二0,故方程叭工)二0只有唯一实根X二1当x变化时，g' x ， g x的变化情况如下：x0,111,g' x0g

13、 x极小值/故g x在x 1时取得极小值g 1 m，即1是g x的唯一极小值点3川m e4五与三角函数有关的函数问题f(x = anx-xcQsx例5函数x 0假设a 1，求函数f x的极大值；(2)假设【答案】1 2k 1； 2 1,0,时，恒有f x 0成立，求实数a的取值范围.2【解析】1当a 1时，“11 一犹吩，对其求导八刃二，判断导数与0的关系，故而可得其极值;2对f x求导，八皆 W灯迟曲冰,当a 1时，函数单调递增，不等式成立;时，对其进行二次求导，可得''x0恒成立，f ' x单调递增，结合零点存在定理可得f ' x有唯一零，即f x 0不恒成

14、立;点xo，进而可得当x0,xo时，f x单调递减，且x单调试题解析：1a 1时， *-，当_ -', kN 时，f x递增,唄申+叽(泊如，k n时，f'x 0 , fx单调递减，所以，当x=(2fr+l) tl时,f x取得极大值 2k 1, k N .2/'(x) =cosx+xsinx = (a 1 -FxtanrJ cosx10,即a 1时，f' x 0,所以f x单调递增，所以1 时 /"*X)=-1)siiLV+sitLY-Fxtoir =(2 -a)吐nx+xc心赢 > 0所以f'x单调递增,“)=+,"->

15、;0,所以f' x有唯一零点，记为x0，当x 0,x0时,f ' x 0, f x单调递减，且，即f x 0不恒成立；综上所述，a的取值范围是1,练习/(工)-fir cos2x+ ft1函数的-图象在点处的切线方程为y 5x 4(1)求a,b的值求函数f x在 ， 值域.4 2【答案】13,1 ; 2-【解析】1求得f x的导数，可得切线的斜率和切点，由切线的方程可得a,b的方程组，解方程即可得到所求；2求得f x的导数，利用导数研究函数丁/jt =3jtcos2r+ 4的单调性，禾U用单调性即可得到函数f x在一，一值域.4 2V f fx)= ax-c<is2xb,

16、 /'I x)+ 2jm2x(o试题解析:14''为，又7T717TjT 7T 5/T jT?COS 1P 4244° ,解得 a 3,b1.构造函数求参数六-函数 f-上递2例6.7C+ =47?T7T171一 一CQS 7T+ h 1244函数f X在设函数' - :-1当a 1时，求函数g x的极值;2设1_ '，对任意-求实数b的取值范围I答案】1：如亠沁无极大值；刃b旦2g i a I = x2lnx-l【解析】1当a 1时，-，定义域为 0,，结合函数的单调性可得叽“胡沪"，函数没有极大值.尸術-戸七I < 0戸坷+

17、珂巩七亠花<2由Gjt -Ftxl+x，构造函数，那么G x在0,2上单调递减，分类讨论可得:当x1,2 时，b272当x0,1 时，,b0，综上，由得：b272x-211时，八川"，定义域为0,，0,2时，单调递减,2,时,"沁环单调递增,x的递减区间是 0,2，递增区间是 2,-gx o =2 = 1-21112一 '2 一无极大值.<0F对-戸比门小巩舛+珂-尸孔+巴2由 " 设_一一，那么G x在0,2上单调递减,当x 1,2时，厂，G(jc| =lnx-b十工C?(h) = x-hlx所以bN忙4 1+(x+l) =r+3+3 + -

18、整理：甘工二卫工十3-丄>0，那么'在1,2上恒成立,h2=b> 所以h x在1,2上单调递增，所以h x最大值是-当0,1 时，一 "-，所以G (习=-lnx+十 dc= &(乂)二r +1 <0竟+1工+整理:住也1 + 工十1'“丄bm (jc)二T +jc设L-w1 x'l 2x+l -h-L >0，那么在0,1上恒成立,所以m x在0,1上单调递增，所以 m x最大值是'一一,综上，由得：b .2练习1函数山：护r胪詔在处的切线斜率为-a - 1.1假设函数f幻在R上单调，求实数b的最大值；2当2时，假设存在

19、不等的片讣0.丰8使得IgTEHb-呵，求实数匡的取值范围.【答案】11； 2位+_11【解析】1先根据切线的斜率求出°，再根据函数单调，得到h 討工恒成立，求出b的最大值.2转化 为存在不等的"宀叫+ 3,且冋 <乞使得fE - fg 丁坊-心初二叫肓心-瞰】，进而得到k> 0.【详解】1函数/W =ex-ar2 -bj在=1处的切线斜率为 2口-也三旦-鸟-1II因为函数 在上单调故mwh寸或站"十心在用上恒成立.*11<苜显然即；i "'在上不恒成立.可知在F ：；*；：上单减，I:#拓单增故.，所以实数的最大值为1.2当

20、"- i时，由1知函数日在 '上单调递增 不妨设吋込使得I伽躅別巧二可一 即为存在不等的 匸三，且使得区七)-乞 g -切 W%)二 % 疙 /V J 二 5其否认为：任意勺，都有厲-也 血】二切即：函数由1知：.;二-即a(Z = fCx) - kx - ex - -jr2 -(Ar + 1U ,在QZ)上单调递增所以假设存在不等的和G宀心、'：诩使得jLr S' jL®实数的取值范围为I 【点睛】此题主要考查利用导数研究函数的单调性问题和最值,考查利用导数研究不等式的存在性问题,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力七讨论参数求参数例7.

21、函数力=曲+-1十+1-应1尤-1,貞对=1茴+/e为自然对数的底数当a 1时，求函数f x在点0, f 0处的切线方程;假设函数 g x有两个零点，试求 a的取值范围;川当x 0时恒成立，求实数a的取值范围.【答案】(1) y x 1 (2)0, 3a|-x,g-l【解析】 试题分析：1根据导数的几何意义得到f 01,根据这两点可以写出切线方程。2对函数g x进行单调性的研究，分a0,三种情况讨论单调性，研究函数的图像变换趋势，得到参数方位。3原不等式等价于恒成立，对右侧函数研究单调性得最值即可。解析:I当 a 1 时，- .f 0f 01.所以函数f x在点0, f 0处的切线方程为x 1

22、.1：酗S工的定义域h R ,由得工AI当"0时囲数貞xHO-iK只有一个雰点$当dr > 0 因为含"4 2d > 0 ,当莖£ 込0呵，当龙Ea+®时g'xQ.所以国数童在P®上单调逸减 在0卫上单调通增 70U-l,百之因为x 0，所以x 10, ex 1所以"，所以 "-"-l-Vl + 4a取，显然x 0且g x00所以-几肌曰：由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点当a 0时，由 一-，得x 0,或-：.1i)当a，那么In 2a0当 x变化时，g x , g x变化情况如

23、下表:2注意到g01,所以函数g x至多有一个零点，不符合题意ii)当 a1，那么 ln 2a 0, g x 在 ,1，那么In 2a 0当x变化时，g x2单调递增，函数 g x至多有一个零点，不符合题意,g x变化情况如下表:LiC-li)0C0.4O3) ,+0Qtr3r-1注意到当假设a,g01所以函数g x至多有一个零点，不0gin卜初«0Jta4/-1x-V -1>0x-1+KO)低茸，那么0(忙)=«-2)，那么符合题意 综上，a的取值范围是 0,川当1a< 一工一一+ 1=即令人 p(X)=er(X-l)-A：3+lX>0)当x 0,1 n2时， x 0, x单调递减;当.一缶二时,x 0, x单调递增00,10，所以，当x 0,1时,x 0,即卩 h x 0 ,所以所以h x单调递增，所以以期工广剖11"1，所以h x单调递减；当x 1,时，一 一 一 -,即h x 0,点睛：此题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的最值，考查别离参数法的运用，考查学生分析解决问1构造差函数题