2019高考数学理科(全国通用)：压轴大题突破练1-含解析

1、压轴大题突破练1.导数1. (2021安徽“皖南八校联考)函数f(x)= ex- ax2 2ax 1.(1) 当a= 1时，求曲线y= f(x)在点(一1, f( 1)处的切线方程；当x>0时，f(x)>0恒成立，求实数 a的取值范围.1解 (1)当 a= 1 时，f(x) = ex x2 2x 1, f( 1)=e1所以切点坐标为一1, -，f' (x)= ex 2x 2,e所以 f' ( 1)=1 e1 112故曲线y= f(x)在点(一1, f( 1)处的切线方程为y - = -x 1，即y= -x+ -.e eJe e(2) f(x)= ex ax2 2ax

2、 1 求导得 f' (x) = ex 2ax 2a,令 g(x)= f' (x)= ex 2ax 2a,贝U g' (x) = ex 2a(x>0).1 当 2aw 1,即卩 aw时，g' (x) = ex 2a> 1 2a>0,所以 g(x)= f' (x)= ex 2ax 2a 在(0, +)上为增函数，g(x) > g(0)= 1 2a > 0,即 g(x)= f' (x)>0，所以 f(x)= ex ax2 2ax 1 在(0, +)上为增函数，1所以f(x)>f(0) = 1 0 0 1 = 0

3、，故aw 时符合题意.1 当 2a> 1, 即卩 a>时，令 g' (x)= ex 2a= 0,得 x= In 2a>0,x(0, In 2 a)In 2a(In 2a,+ )g' (x)0+g(x)减函数极小值增函数当 x (0, In 2a)时，g(x)v g(0)= 1 2av0，即 f' (x)v 0,所以f(x)在(0, In 2a)上为减函数，所以f(x)v f(0) = 0，与条件矛盾，故舍去 综上，a的取值范围是 一R,扌.2. (2021 广东惠州调研)函数 f(x) = x2 (a 2)x aln x(a R).(1)求函数y =

4、f(x)的单调区间；(1)解 函数f(x)的定义域是(0 ,+s),f'a(x) = 2x- (a-2) - x =2x2 a 2 x axx+ 1 2x ax当a< 0时，f' (x)> 0对任意x (0 ,+s )恒成立,所以函数f(x)在区间(0 ,+R)上单调递增.当a>0时，由f' (x)>0,得x>号,a由 f' (x)< 0，得 0 V XV 2,aa所以函数f(x)在区间a，+上单调递增，在区间0,2上单调递减.证明 当 a = 1 时，f(x) = x2+ x In x,要证明 f(x) + ex>x2

5、+ x+ 2,只需证明 ex In x 2>0，设 g(x) = ex In x 2,那么问题转化为证明对任意的x>0, g(x)>0,1 1令 g' (x)=ex-x=0，得 ex= x，4容易知道该方程有唯一解，不妨设为xg,那么X0满足ex°,X0当x变化时，g' (x)和 g(x)的变化情况如下表：X(0, X0)X0(X0,+ a )g' (x)一0+g(x)单调递减单调递增g(x)min = g(x0)= e' In X0 2= + X0 2,X0因为X0> 0,且X0M 1 ,所以g(x)min > 2 .

6、1 2= 0，因此不等式得证.3. (2021荆、荆、襄、宜四地七校联考)函数f(x) = In x x.(1) 求函数f(x)的单调区间；(2) 假设方程f(x)= m(m< 2)有两个相异实根 X1, X2,且X1<X2，证明：X1 x2< 2.(1)解f(x)= In x x 的定义域为(0,+a),11 xf' (x) = 1 = 0? x= 1,xx当 x (0, 1)时，f' (x)>0，所以 y= f(x)在(0, 1)上单调递增，当x (1,+a)时，f' (x)< 0,所以y= f(x)在(1, + a)上单调递减.证明由

7、(1)可知，f(x)= m的两个相异实根 X1, X2满足In xx m= 0,且 0<X1< 1, X2> 1, In X1 X1 m= In X2 X2 m= 0,由题意可知 In X2 X2= mv 2 v In 2 2,又由 可知f(x)= In x x在(1 ,+)上单调递减, 故 X2> 2,2所以 Ov xiv 1, 0v1.令 g(x)= In x x m,那么 g(xi) g2x2=(In xi xi) 2 2x2 + 3In x2 In 243那么 h，(t)= 1 p+ 3=t3 + 3t2 4t 2 2 t+ 1t3t3=(I n x2 x2)

8、(I n x2 xi) =2令 h(t) = t + 召 + 3In t In 2(t> 2),3当 t > 2 时，h' (t) v 0, h(t)在(2 ,+s)上单调递减，所以h(t)v h(2) = 2In 2 |v 0.2 2所以当 X2>2 时，g(*) g x2 v 0，即 g(x vg 班，2因为Ov X1< 1, 0vx|< 1, g(x)在(0, 1)上单调递增,2所以X1 v恵，故X1 x2v 2.综上所述，X1 x2v 2.4. (2021届重庆市一中月考 )函数f(x) = aIn x ax 3(a R).(1)当a> 0时

9、，求函数f(x)的单调区间；1假设函数y= f(x)的图象在点(2, f(2)处的切线的倾斜角为45°且函数g(x) = x2+ nx+mf， (x)(m, n R)，当且仅当在x= 1处取得极值，其中f' (x)为f(x)的导函数，求 m的取值 范围.解(1)f，(x)=(x>0),X当 a>0 时，令 f，(x)>0,得 0v xv 1,令 f，(x)v 0，得 x> 1,故函数f(x)的单调递增区间为(0, 1)，单调递减区间为(1,+a).因为函数y= f(x)的图象在点(2, f(2)处的切线的倾斜角为45°那么 f，(2) = 1

10、，即 a= 2,12所以 g(x)= "X2 + nx+ m 2-,2X所以 g，(X)= x+ n+ 2?x3+ nx2+ 2mx因为g(x)在x= 1处有极值，故g，(1) = 0,从而可得n = 1 2m,，x3 + nx2+ 2m x 1 x2 2mx 2mx2那么 g，(x)= -2= 又因为g(x)仅在x= 1处有极值，所以x2 2mx 2m > 0在(0, + g)上恒成立，当 m>0 时，一2mv 0，易知？ x° (0,+ g)，使得 X) 2mxo 2mv 0, 所以m> 0不成立，故mw 0,当 mW 0 且 x (0, + g)时，

11、x2 2mx 2m >0 恒成立，所以mW 0.综上，m的取值范围是(一g, 0.5. (2021湖北沙市联考)函数f(x) = e一x(ln x 2k)(k为常数，e= 2.718 28是自然对数的底数)，曲线y= f(x)在点(1, f(1)处的切线与y轴垂直.(1)求f(x)的单调区间；1 x In x+ 1厂中v -o设 g(x) =x，对任意 x>0,证明：(x+ 1) g(x)<ex + ex 21In x + 2kx(1)解因为 f，(x)=ex(x> 0),1 + 2k1由得f， (1) = 0,所以k= 1.e2丄In x 1x111所以 f， (x)

12、= e，设 k(x)= - In x 1,贝U k， (x)=三一一 v 0 在(0, + g)上恒成立,exxx即k(x)在(0,+ g)上单调递减，由k(1) = 0知，当0v xv 1时，k(x)> 0,从而f，(x) >0,当 x> 1 时，k(x)v 0,从而 f，(x)<0.综上可知，f(x)的单调递增区间是(0, 1)，单调递减区间是(1,+g).g x 1 + e 2证明因为x>0，要证原式成立即证 v成立.e x+1当 x> 1 时，由(1)知 g(x)w 0v 1+ e 2成立；1 一 xln x x当 0vxv 1 时，ex> 1

13、,且由(1)知，g(x)> 0,所以 g(x) =xv 1 xln x x,e设 F(x)= 1 xln x x, x (0, 1)，那么 F，(x) = (In x+ 2),当 x (0, e 2)时,F，(x)> 0,当 x (e 2, 1)时，F，(x)v 0,所以当x= e2时，F(x)取得最大值F(e 2)= 1 + e 2,所以 g(x)v F(x)w 1 + e 2,即当 Ovxv 1 时，g(x)v 1 + e2综上所述，对任意 x> 0,g(x) v 1+ e_2 恒成立.令 G(x) = ex x 1(x > 0),那么G' (x) = ex

14、 1> 0恒成立，所以 G(x)在(0,G(x)> G(0) = 0恒成立，即ex> x + 1 > 0,1 1即0v黃x+ 8 )上单调递增,2当x> 1时，有睬< 0V册;当0vxv 1时，由式，瞬v节罟综上所述，当x>0时，gex v节+F成立，故原不等式成立.46.(2021西安模拟)函数f(x)= k+匚In x+4 x2x其中常数k> 0.N(X2, y2)，使曲线 y(2)由题意，可得4k +即打一1 =X1X1(1)讨论f(x)在(0, 2)上的单调性；当k 4,+ )时，假设曲线y= f(x)上总存在相异的两点M(X1, y1)

15、,=f(x)在M , N两点处的切线互相平行，试求刘+ X2的取值范围.解(1)由得，f(x)的定义域为(0, +),4244口、k + k x2 + 4x2 k + kx+ 4 x k x；且 f (x)= -x =x2=x(k> 0).44当0v kv 2时，厂k> 0,且>2, kk所以 x (0, k)时,f' (x)v 0； x (k, 2)时，f' (x)>0.所以函数f(x)在(0, k)上是减函数，在(k, 2)上是增函数；4 当k= 2时，匚=k= 2, f' (x)v 0在区间(0, 2)内恒成立，所以f(x)在 (0, 2)上是减函数； 当 k>2 时，0v 4v 2, k>4,kk44所以当 x 0,时，f' (x) v 0； x , 2 时，f' (x) >0,所以函数在0,上是减函数，在4 2上是增函数f' (X1)= f' (x2), X1x2 >0 且 X1 X2,4k+k 44由 X1X2VX1 +