1.高考与阿波罗尼斯圆之吻

1、中国高考数学母题一千题(第0001号)高考与阿波罗尼斯圆之吻阿波罗尼斯圆生成高考的视角 阿波罗尼斯圆最早现身于我国高考是1994年,此后,高考多次与阿波罗尼斯圆零距离接触,使得阿波罗尼斯圆成为此类高考试题的母题.在此我们特别关注的是阿氏圆生成高考试题的不同视角.母题结构:如图,平面内到两定点A、B的距离之比为正常数(1)的点P的轨迹是圆,该圆称为阿波罗尼斯圆,设直线AB与阿波罗尼斯圆交于M、N两点,阿波罗尼斯圆有如下性质:若A(a,0),B(b,0),则阿波罗尼斯圆:(x-)2+y2=2;若AB=a,则阿波罗尼斯圆的半径r=;PM平分APB,PN平分APB的外角,且AM:MB=AN:NB.母题

2、解析:设P(x,y),由|PA|=|PB|得:|PA|2=2|PB|2(x-a)2+y2=2(x-b)2+y2(x-)2+y2=2;由知,当|AB|=|a-b|时,阿氏圆的半径r=|当|AB|=a时,阿氏圆的半径r=;由=PM平分APB;同理可证:PN平分APB的外角,且AM:MB=AN:NB. 确定阿氏圆的基本量有两定点A、B和距离比,因此,设计以阿氏圆为背景问题的视角一般有三个:已知两定点A、B和距离比,求阿氏圆的方程,以及阿氏圆方程的应用;已知阿氏圆的方程,由两定点A、B和距离比的其中之一,求另一;利用阿氏圆的性质解决相关问题. 1.求阿氏圆及其应用 子题类型:(2008年四川高考试题)

3、已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线与x轴的交点为K,点A在C上,且|AK|=|AF|,则AFK的面积为( )(A)4 (B)8 (C)16 (D)32分析:由|AK|=|AF|,联想到求点A的阿氏圆,然后,与y2=8x联立,求|yA|,由此可求SAFK.解析:由抛物线C的焦点为F(2,0),准线为x=-2K(-2,0);由|AK|=|AF|点A在阿氏圆:(x-6)2+y2=32上,代入y2=8x得:x2-4x+4=0x=2|y|=4AFK的面积=|FK|y|=8.故选(B).点评:本题以条件|AK|=|AF|,来隐蔽阿氏圆,并把阿氏圆与抛物线结合设计试题,这是由阿氏圆生成试题的常用手法;

4、当问题中含有PA=PB(A,B为定点)这类条件时,一般都可借助阿氏圆来求解. 2.己知阿氏圆求相关量 子题类型:(2015年湖北高考试题)如图,圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.()圆C的标准方程为 ;()过点A任作一条直线与圆O:x2+y2=1相交于M,N两点,下列三个结论:=;-=2;+=2.其中正确结论的序号是 (写出所有正确结论的序号).分析:对于第()问,由切割线定理可求|OA|,由此得点A,B的坐标,进而得圆心C的坐标,写出圆C的标准方程;第()问是本题的题眼,由结论中的比例式逆向联想阿氏圆,由阿氏圆求距离比,即解.解析:(

5、)由圆C与x轴相切于点T|OA|OB|=|OT|2|OA|(|OA|+2)=1|OA|=-1A(0,-1),B(0,+1)C(1,)圆C:(x-1)2+(y-)2=2;()设M(x,y),|MB|=|MA|x2+(y-1)2=2x2+(y-+1)2(2-1)x2+(2-1)y2+2(+1)-(-1)2y=(+1)2-(-1)22,与圆O:x2+y2=1比较得(+1)-(-1)2=0=+1=-1=-1=,-=(+1)-(-1)=2,+=(+1)+(-1)=2.故选.点评:由阿氏圆可以构造两类逆向型问题:已知两定点A、B和其对应的阿氏圆方程,求距离比;本题就属此类;已知阿氏圆方程和其对应的距离比,

6、求两定点A、B. 3.阿氏圆的性质及其应用 子题类型:(2008年江苏高考试题)满足条件AB=2,AC=BC的三角形ABC的面积的最大值 .分析:由AC=BC,联想到求点C的阿氏圆,为此建立坐标系,用解析法求解.解析:因AB为定值,为求SABC的最大值,只需求顶点C到边AB距离的最大值即可,又动点C满足AC=BC,所以动点C的轨迹为阿波罗尼斯圆.圆的半径r=2(a=|AB|=1,=),所以,SABC的最大值=|AB|r=2.点评:本题把阿波罗尼斯圆与三角形结合设计试题,是氏圆典型的应用问题;阿氏圆具有丰富的几何性质,它给我们带来了多变的命题视角,尤其是与三角形,或更广泛的平面几何问题结合. 4

7、.子题系列:1.(1994年全国高考试题)已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆C:x2+y2=1,动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数(O),求动点M的轨迹方程,说明它表示什么曲线.2.(2003年北京高考试题)设A(-c,0),B(c,0)(c0)为两定点,动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a0),求P点的轨迹方程及图形.3.(2005年江苏高考试题)圆O1与圆O2的半径都等于1,O1O2=4.过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N分别为切点),使得PM=PN.试建立平面直角坐标系,并求动点P的轨迹方程.4.(2006年四川高考试题)已知两定点A(-2,0)、

8、B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )(A) (B)4 (C)8 (D)95.(2002年全国高考试题)已知点P到两个定点M(-1,0),N(1,O)距离的比为,点N到直线PM的距离为1.求直线PN的方程.6.(2014年湖北高考试题)已知圆O:x2+y2=1和点A(-2,0),若定点B(b,0)(b-2)和常数满足:对圆O上任意一点M,都有|MB|=|MA|,则b= ;= .7.(2013年江苏高考试题)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4.设圆C的半径为1,圆心在l上.()若圆心C也在直线y=x-1上,过点

9、A作圆C的切线,求切线的方程;()若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.8.(2011年浙江高考试题)P,Q是两个定点,点M为平面内的动点,且=(0,且1),点M的轨迹围成的平面区域的面积为S,设S=f()(0,且1),则以下判断正确的是( )(A)f()在(0,1)上是增函数,在(1,+)上是减函数 (B)f()在(0,1)上是减函数,在(1,+)上是减函数(C)f()在(0,1)上是增函数,在(1,+)上是增函数 (D)f()在(0,1)上是减函数,在(1,+)上是增函数9.(2009年无锡第一次质检试题)已知椭圆C:+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2,

10、其半焦距为c,若点P是圆M:(x-)2+y2=c2,则= .10.(2012年辽宁五校协作体高二数学竞赛试题)已知圆C:x2+y2=9,点A(-5,0),直线l:x-2y=0.()求与圆C相切,且与直线l垂直的直线方程;()若在直线OA(O为坐标原点)上,存在点B(不同于点A)满足:对于圆C上任意一点P,都有为一常数,试求满足条件的点B的坐标.11.(2012年福建省高一数学竞赛试题)已知圆C:(x-2)2+(y-2)2=m,点A(4,6),B(s,t).()若3s-4t=-12,且直线AB被圆C截得的弦长为4,求m的值;()若s,t为正整数,且圆C上任意一点到点A的距离与到点B的距离之比为定

11、值(1),求m的值.12.(2011届南通市高三期末考试题)已知等腰三角形腰上的中线长为,则该三角形的面积的最大值是 .13.(原创题)在ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,AD为BC边上的高,且AD=BC,则+的最大值为 .14.(2011年同济大学等九所高校自主招生试题)在ABC中,AB=2AC,AD是A的平分线,且AD=kAC.()求k的取值范围;()若ABC的面积为1,问k为何值时BC最短? 4.子题详解:1.解:设切点为T,由|MT|=|MQ|MT|2=2|MQ|2|MO|2+1=2|MQ|2x2+y2+1=2(x-2)2+y2(2-1)x2+(2-1)y2-42x+42

12、-1=0;当=1时,x=-;当1时,(x-)2+y2=()2是圆心为(,0),半径=的圆.2.解:设P(x,y),则由|PA|=a|PB|PA|2=a2|PB|2(x+c)2+y2=a2(x-c)2+y2(a2-1)x2+(a2-1)y2-2(a2+1)cx+(a2-1)c2=0;当a=1时,x=0是AB的中垂线;当a1时,(x-c)2+y2=()2,所以,动点P的轨迹是以(c,0)为圆心,|为半径的圆.3.解:以直线O1O2为x轴,线段O1O2的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系;则两圆心分别为O1(-2,0),O2(2,0),设P(x,y),则|PM|2=|O1P|2-|O1M|2=(x

13、+2)2+y2-1,同理|PN|2=(x-2)2+y2-1;由PM=PN(x+2)2+y2-1=2(x-2)2+y2-1(x-6)2+y2=33.所以动点P的轨迹方程为(x-6)2+y2=33.4.解:由题知点P的轨迹是阿氏圆,故求圆的面积,圆的半径r=2(a=|AB|=,=2),所以,圆的面积为4.故选(B).5.解:设P(x,y),由题可知点P的轨迹是阿波罗尼斯圆:(x-3)2+y2=8;由点N到直线PM的距离为1PMN=300直线PM:y=(x+1),代入(x-3)2+y2=8得:x2-4x+1=0x=2P(2+,+1),P(2+,-1),P(2-,-1),P(2-,-+1)PN:y=x

14、-1,或y=-x+1.6.解:由|MB|=|MA|知,圆O:x2+y2=1是阿波罗尼斯圆,因若A(b2,0),B(b,0),则阿波罗尼斯圆:x2+y2=(b)2,其中,b=-2,且-b=1=b2=-为题中的bb=-,=.7.解:()由C(3,2)圆C:(x-3)2+(y-2)2=1;设切线kx-y+3=0,由=1k=0,-切线:y=3,y=-x+3;()由圆心C在l上圆心C(a,2a-4);设M(x,y),由MA=2MOx2+(y+1)2=4点M在以D(0,-1)为圆心,半径为2的圆D上,又点M在圆C上圆C与圆D相交|2-1|CD| 0为定值),由题可知点M的轨迹是阿波罗尼斯圆,故f()=圆的

15、面积,圆的半径r=|f()=|2=4a2在(0,1)上是增函数,在(1,+)上是减函数.故选(A).9.解:令c=2=2;10.解:()直线方程:y=-2x3;()(法一)设B(t,0),P(x,y),=(x-t)2+y2=2(x+5)2+y2,对满足x2+y2=9的任何实数对(x,y)恒成立2(52+t)x+342-t2-9=0,对x-3,3恒成立2(52+t)=0,342-t2-9=0=,1(舍去),t=-,-5(舍去)B(-,0);(法二)由A(-5,0)及阿波罗尼斯圆x2+y2=9b=-5,|b|=3=b2=-B(-,0).11.解:()m=8;()设P(x,y),由|PA|=|PB|(2-1)x2+(2-1)y2-2(2s-4)x-2(2t-6