2015年高考复习高中数学导数的综合应用拔高题组(有详细答案)

1、2015年高考高中数学导数的综合应用拔高题组（有详细答案）一选择题（共16小题）1（2012太原模拟）已知定义在R上的函数y=f（x1）的图象关于点（1，0）对称，且x（，0）时，f（x）+xf（x）0成立，（其中f（x）是f（x）的导函数），a=（30.3）f（30.3），b=（log3）f（log3），则a，b，c的大小关系是（）AabcBcbaCcabDacb2（2012桂林模拟）已知在（，+）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A（，1B1，4C1，1D（，1）3（2012河北模拟）定义在1，+）上的函数f（x）满足：f（2x）=cf（x）（c为正常数）；当2x4时，f（x）=1（x3

2、）2，若函数f（x）的图象上所有极大值对应的点均落在同一条直线上，则c等于（）A1B2C1或2D4或24（2011湖南）设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（）A1BCD5（2011湖北模拟）若f（x）的导数为f（x），且满足f（x）f（x），则f（3）与e3f（0）的大小关系是（）Af（3）e3f（0）Bf（3）=e3f（0）Cf（3）e3f（0）D不能确定6（2011枣庄二模）设f（x）是函数f（x）的导函数，有下列命题：存在函数f（x），使函数y=f（x）f（x）为偶函数；存在函数f（x）f（x）0，使y=f（x）与y=

3、f（x）的图象相同；存在函数f（x）f（x）0使得y=f（x）与y=f（x）的图象关于x轴对称其中真命题的个数为（）A0B1C2D37（2011雅安三模）下列命题中：函数，f（x）=sinx+（x（0，）的最小值是2；在ABC中，若sin2A=sin2B，则ABC是等腰或直角三角形；如果正实数a，b，c满足a + bc则+；如果y=f（x）是可导函数，则f（x0）=0是函数y=f（x）在x=x0处取到极值的必要不充分条件其中正确的命题是（）ABCD8（2011锦州三模）偶函数f（x）在（，+）内可导，且f（1）=2，f（x+2）=f（x2），则曲线y=f（x）在点（5，f（5）处切线的斜率为（

4、）A2B2C1D19（2010辽宁）已知点P在曲线y=上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（）A0，）BCD10（2010福建）对于具有相同定义域D的函数f（x）和g（x），若存在函数h（x）=kx+b（k，b为常数）对任给的正数m，存在相应的x0D使得当xD且xx0时，总有，则称直线l：y=ka+b为曲线y=f（x）和y=g（x）的“分渐进性”给出定义域均为D=x|x1的四组函数如下：f（x）=x2，g（x）=f（x）=10x+2，g（x）=f（x）=，g（x）=f（x）=，g（x）=2（x1ex）其中，曲线y=f（x）和y=g（x）存在“分渐近线”的是（）ABCD11（2010

5、河东区一模）已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且f（2）=0，当x0时有，则不等式x2f（x）0的解集是（）A（2，0）（2，+）B（，2）（0，2）C（2，0）（0，2）D（2，2）（2，+）12（2010龙岩二模）已知f（x）、g（x）都是定义在R上的函数，f（x）g（x）+f（x）g（x）0，f（x）g（x）=ax，f（1）g（1）+f（1）g（1）=在区间3，0上随机取一个数x，f（x）g（x）的值介于4到8之间的概率是（）ABCD13（2010成都一模）已知函数在区间（1，2）内是增函数，则实数m的取值范围是（）ABC（0，1D14（2009安徽）设函数f（x）=x3+x2+ta

6、n，其中0，则导数f（1）的取值范围是（）A2，2B，C，2D，215（2009丹东一模）规定x表示不超过x的最大整数，例如：3.1=3，2.6=3，2=2；若f（x）是函数f（x）=ln|x|导函数，设g（x）=f（x）f（x），则函数y=g（x）+g（x）的值域是（）A1，0B0，1C0D偶数16（2009安徽）已知函数f（x）在R上满足f（1+x）=2f（1x）x2+3x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程是（）Axy2=0Bxy=0C3x+y2=0D3xy2=0二解答题（共14小题）17（2014榆林模拟）设函数，（其中e为自然底数）；（）求y=f（x）g（x）（x0

7、）的最小值；（）探究是否存在一次函数h（x）=kx+b使得f（x）h（x）且h（x）g（x）对一切x0恒成立；若存在，求出一次函数的表达式，若不存在，说明理由；（）数列an中，a1=1，an=g（an1）（n2），求证：18（2014重庆模拟）设函数f（x）=alnxbx2（x0）；（1）若函数f（x）在x=1处与直线相切求实数a，b的值；求函数上的最大值（2）当b=0时，若不等式f（x）m+x对所有的都成立，求实数m的取值范围19（2014漳州模拟）已知函数f（x）=ax+lnx（aR）（）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率；（）求f（x）的单调区间；（）设g（x）=x22x+

8、2，若对任意x1（0，+），均存在x20，1，使得f（x1）g（x2），求a的取值范围20（2014烟台二模）已知函数f（x）=x2+axlnx，aR（）若a=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）若函数f（x）在1，2上是减函数，求实数a的取值范围；（）令g（x）=f（x）x2，是否存在实数a，当x（0，e（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由21（2014仁寿县模拟）已知函数f（x）=x3+x22x（aR）（1）当a=3时，求函数f（x）的单调区间；（2）若对于任意x1，+）都有f（x）2（a1）成立，求实数a的取值范围；

9、（3）若过点可作函数y=f（x）图象的三条不同切线，求实数a的取值范围22（2014河东区一模）已知函数y=f（x）=x3+ax2+b（a，bR）（）若函数y=f（x）的图象切x轴于点（2，0），求a、b的值；（）设函数y=f（x）（x（0，1）的图象上任意一点的切线斜率为k，试求|k|1的充要条件；（）若函数y=f（x）的图象上任意不同的两点的连线的斜率小于1，求证|a|23（2014漳州二模）已知函数（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点P（3，f（3）处的切线方程；（2）当函数y=f（x）在区间0，1上的最小值为时，求实数a的值；（3）若函数f（x）与g（x）的图象有三个不同的交点，求

10、实数a的取值范围24（2014龙泉驿区模拟）已知函数在x=1处取得极值2，（1）求f（x）的解析式；（2）设A是曲线y=f（x）上除原点O外的任意一点，过OA的中点且垂直于x轴的直线交曲线于点B，试问：是否存在这样的点A，使得曲线在点B处的切线与OA平行？若存在，求出点A的坐标；若不存在，说明理由；（3）设函数g（x）=x22ax+a，若对于任意x1R的，总存在x21，1，使得g（x2）f（x1），求实数a的取值范围25（2014鄂州模拟）已知函数f（x）=xxlnx，g（x）=f（x）xf（a），其中f（a）表示函数f（x）在x=a处的导数，a为正常数（1）求g（x）的单调区间；（2）对任意

11、的正实数x1，x2，且x1x2，证明：（x2x1）f（x2）f（x2）f（x1）（x2x1）f（x1）；（3）对任意的nN*，且n2，证明：26（2013安徽）设函数f（x）=ax（1+a2）x2，其中a0，区间I=x|f（x）0（）求I的长度（注：区间（a，）的长度定义为）；（）给定常数k（0，1），当1ka1+k时，求I长度的最小值27（2013广东）设函数f（x）=（x1）exkx2（kR）（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）当时，求函数f（x）在0，k上的最大值M28（2013四川）已知函数，其中a是实数，设A（x1，f（x1），B（x2，f（x2）为该函数图象上的点，且

12、x1x2（）指出函数f（x）的单调区间；（）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x20，求x2x1的最小值；（）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围29（2013山东）设函数（1）求f（x）的单调区间及最大值；（2）讨论关于x的方程|lnx|=f（x）根的个数30（2013湖南）已知函数f（x）=（）求f（x）的单调区间；（）证明：当f（x1）=f（x2）（x1x2）时，x1+x202015年高考高中数学导数的综合应用拔高题组（有详细答案）参考答案与试题解析一选择题（共16小题）1（2012太原模拟）已知定义在R上的函数y=f（x1）的图象关于点（1，0）对

13、称，且x（，0）时，f（x）+xf（x）0成立，（其中f（x）是f（x）的导函数），a=（30.3）f（30.3），b=（log3）f（log3），则a，b，c的大小关系是（）AabcBcbaCcabDacb考点：利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质；导数的乘法与除法法则菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：由“当x（，0）时不等式f（x）+xf（x）0成立”知xf（x）是减函数，要得到a，b，c的大小关系，只要比较的大小即可解答：解：当x（，0）时不等式f（x）+xf（x）0成立即：（xf（x）0，xf（x）在 （，0）上是减函数又函数y=f（x1）的图象关于点（1，0）对称，函数y

14、=f（x）的图象关于点（0，0）对称，函数y=f（x）是定义在R上的奇函数xf（x）是定义在R上的偶函数xf（x）在 （0，+）上是增函数又=2，2=30.3f（30.3）（log3）f（log3）即30.3f（30.3）（log3）f（log3）即：cab故选C点评：本题考查的考点与方法有：1）所有的基本函数的奇偶性；2）抽象问题具体化的思想方法，构造函数的思想；3）导数的运算法则：（uv）=uv+uv；4）指对数函数的图象；5）奇偶函数在对称区间上的单调性：奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反本题结合已知构造出h（x）是正确解答的关键所在2（2012桂林模拟）已知

15、在（，+）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A（，1B1，4C1，1D（，1）考点：利用导数研究函数的单调性菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：要是一个分段函数在实数上是一个增函数，需要两段都是增函数且两个函数的交点处要满足递增，当x小于0时，要使的函数是一个减函数，求导以后导函数横小于0，注意两个端点处的大小关系解答：解：要是一个分段函数在实数上是一个增函数需要两段都是增函数且两个函数的交点处要满足递增，当x0时，y=3x2（a1）0恒成立，a13x2a10a1，当x=0时，a23a401a4，综上可知1a1故选C点评：本题考查函数的单调性，分段函数的单调性，解题的关键是在两个函数的分

16、界处，两个函数的大小关系一定要写清楚3（2012河北模拟）定义在1，+）上的函数f（x）满足：f（2x）=cf（x）（c为正常数）；当2x4时，f（x）=1（x3）2，若函数f（x）的图象上所有极大值对应的点均落在同一条直线上，则c等于（）A1B2C1或2D4或2考点：利用导数研究函数的极值；抽象函数及其应用菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：由已知可得分段函数f（x）的解析式，进而求出三个函数的极值点坐标，根据三点共线，则任取两点确定的直线斜率相等，可以构造关于c的方程，解方程可得答案解答：解：当2x4时，f（x）=1（x3）2当1x2时，22x4，则f（x）=f（2x）=1（2x3）2

17、此时当x=时，函数取极大值当2x4时，f（x）=1（x3）2此时当x=3时，函数取极大值1当4x8时，2x4则f（x）=cf（x）=c（1（x3）2，此时当x=6时，函数取极大值c函数的所有极大值点均落在同一条直线上，即点（，），（3，1），（6，c）共线，解得c=1或2故选C点评：本题考查的知识点是三点共线，函数的极值，其中根据已知分析出分段函数f（x）的解析式，进而求出三个函数的极值点坐标，是解答本题的关键4（2011湖南）设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（）A1BCD考点：导数在最大值、最小值问题中的应用菁优网版权所

18、有专题：计算题；压轴题；转化思想分析：将两个函数作差，得到函数y=f（x）g（x），再求此函数的最小值对应的自变量x的值解答：解：设函数y=f（x）g（x）=x2lnx，求导数得=当时，y0，函数在上为单调减函数，当时，y0，函数在上为单调增函数所以当时，所设函数的最小值为所求t的值为故选D点评：可以结合两个函数的草图，发现在（0，+）上x2lnx恒成立，问题转化为求两个函数差的最小值对应的自变量x的值5（2011湖北模拟）若f（x）的导数为f（x），且满足f（x）f（x），则f（3）与e3f（0）的大小关系是（）Af（3）e3f（0）Bf（3）=e3f（0）Cf（3）e3f（0）D不能确定考

19、点：导数的运算菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：根据f（3）与e3f（0）可知先构造函数g（x）=exf（x），然后根据条件可判定g（x）的单调性，然后即可得到g（0）g（3），最后化简整理即可得到结论解答：解：设函数g（x）=exf（x）对g（x）求导：g'（x）=exf（x）+exf'（x）=exf'（x）f（x）因为ex0，f'（x）f（x）0所以g'（x）0，g（x）递减所以g（0）g（3）f（3）e3f（0） 故选：C点评：本题主要考查了导数的运算，以及构造函数的运用，这题对学生的综合能力提出了很高的要求，属于难题6（2011枣庄二模）设

20、f（x）是函数f（x）的导函数，有下列命题：存在函数f（x），使函数y=f（x）f（x）为偶函数；存在函数f（x）f（x）0，使y=f（x）与y=f（x）的图象相同；存在函数f（x）f（x）0使得y=f（x）与y=f（x）的图象关于x轴对称其中真命题的个数为（）A0B1C2D3考点：导数的运算；函数奇偶性的判断菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：对于三个命题分别寻找满足条件的函数，三个函数分别是f（x）=0，f（x）=ex，f（x）=ex，从而得到结论解答：解：存在函数f（x）=0，使函数y=f（x）f（x）=0为偶函数，故正确存在函数f（x）=ex，使y=f（x）与y=f（x）的图象相同

21、，故正确存在函数f（x）=ex使得y=f（x）与y=f（x）的图象关于x轴对称，故正确故选D点评：本题主要考查了函数的奇偶性以及函数图象的对称性，解题的关键就是寻找满足条件的函数，属于基础题7（2011雅安三模）下列命题中：函数，f（x）=sinx+（x（0，）的最小值是2；在ABC中，若sin2A=sin2B，则ABC是等腰或直角三角形；如果正实数a，b，c满足a + bc则+；如果y=f（x）是可导函数，则f（x0）=0是函数y=f（x）在x=x0处取到极值的必要不充分条件其中正确的命题是（）ABCD考点：函数在某点取得极值的条件；不等关系与不等式；三角函数中的恒等变换应用菁优网版权所有专

22、题：常规题型；压轴题分析：根据基本不等式和三角函数的有界性可知真假，利用题设等式，根据和差化积公式整理求得cos（A+B）=0或sin（AB）=0，推断出A+B=或A=B，则三角形形状可判断出构造函数y=，根据函数的单调性可证得结论；由函数极值点与导数的关系，我们易判断对错解答：解：f（x）=sinx+2，当sinx=时取等号，而sinx的最大值是1，故不正确；sin2A=sin2Bsin2Asin2B=cos（A+B）sin（AB）=0cos（A+B）=0或sin（AB）=0A+B=或A=B三角形为直角三角形或等腰三角形，故正确；可构造函数y=，该函数在（0+）上单调递增，a+bc则+，故正

23、确；f（x）是定义在R上的可导函数，当f（x0）=0时，x0可能f（x）极值点，也可能不是f（x）极值点，当x0为f（x）极值点时，f（x0）=0一定成立，故f（x0）=0是x0为f（x）极值点的必要不充分条件，故正确；故选C点评：考查学生会利用基本不等式解题，注意等号成立的条件，同时考查了极值的有关问题，属于综合题8（2011锦州三模）偶函数f（x）在（，+）内可导，且f（1）=2，f（x+2）=f（x2），则曲线y=f（x）在点（5，f（5）处切线的斜率为（）A2B2C1D1考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的周期性菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：由f（x）可导，对f（x+

24、2）=f（x2）两边求导，得到一个关系式，记作，又根据f（x）为偶函数，得到一个式子，对此式两边求导，得到另一个关系式，记作，把x换为x+2代入，令x=1即可求出f（5）的值即为所求切线的斜率解答：解：由f（x）在（，+）内可导，对f（x+2）=f（x2）两边求导得：f（x+2）（x+2）=f（x2）（x2），即f（x+2）=f（x2），由f（x）为偶函数，得到f（x）=f（x），故f（x）（x）=f（x），即f（x）=f（x），则f（x+2+2）=f（x+22），即f（x+4）=f（x），所以f（5）=f（1）=f（1）=2，即所求切线的斜率为2故选A点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某

25、点切线方程的斜率，掌握偶函数的性质，是一道中档题9（2010辽宁）已知点P在曲线y=上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（）A0，）BCD考点：导数的几何意义菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率，再根据斜率等于倾斜角的正切值求出角的范围解答：解：因为y=，ex+ex+24，y1，0）即tan1，0），0故选D点评：本题考查导数的几何意义及直线的斜率等于倾斜角的正切值10（2010福建）对于具有相同定义域D的函数f（x）和g（x），若存在函数h（x）=kx+b（k，b为常数）对任给的正数m，存在相应的x0D使得当xD且xx0时，总有，则称直线l

26、：y=ka+b为曲线y=f（x）和y=g（x）的“分渐进性”给出定义域均为D=x|x1的四组函数如下：f（x）=x2，g（x）=f（x）=10x+2，g（x）=f（x）=，g（x）=f（x）=，g（x）=2（x1ex）其中，曲线y=f（x）和y=g（x）存在“分渐近线”的是（）ABCD考点：极限及其运算；数列的应用菁优网版权所有专题：压轴题；新定义分析：本题从大学数列极限定义的角度出发，仿造构造了分渐近线函数，目的是考查学生分析问题、解决问题的能力，考生需要抓住本质：存在分渐近线的充要条件是x时，f（x）g（x）0进行作答，是一道好题，思维灵活，要透过现象看本质解答：解：f（x）和g（x）存在

27、分渐近线的充要条件是x时，f（x）g（x）0对于f（x）=x2，g（x）=，当x1时便不符合，所以不存在；对于f（x）=10x+2，g（x）=肯定存在分渐近线，因为当时，f（x）g（x）0；对于f（x）=，g（x）=，设（x）=xlnx，0，且lnxx，所以当x时xlnx越来愈大，从而f（x）g（x）会越来越小，不会趋近于0，所以不存在分渐近线；对于f（x）=，g（x）=2（x1ex），当x0时，因此存在分渐近线故，存在分渐近线的是选C故选C点评：本题较难，涉及到部分大学内容，属于拓展类题目11（2010河东区一模）已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且f（2）=0，当x0时有，则不等式x2

28、f（x）0的解集是（）A（2，0）（2，+）B（，2）（0，2）C（2，0）（0，2）D（2，2）（2，+）考点：函数的单调性与导数的关系；函数单调性的性质菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：首先根据商函数求导法则，把 化为0；然后利用导函数的正负性，可判断函数y=在（0，+）内单调递减；再由f（2）=0，易得f（x）在（0，+）内的正负性；最后结合奇函数的图象特征，可得f（x）在（，0）内的正负性则x2f（x）0f（x）0的解集即可求得解答：解：因为当x0时，有 恒成立，即0恒成立，所以 在（0，+）内单调递减因为f（2）=0，所以在（0，2）内恒有f（x）0；在（2，+）内恒有f（x）

29、0又因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以在（，2）内恒有f（x）0；在（2，0）内恒有f（x）0又不等式x2f（x）0的解集，即不等式f（x）0的解集所以答案为（，2）（0，2）故选B点评：本题主要考查函数求导法则及函数单调性与导数的关系，同时考查了奇偶函数的图象特征12（2010龙岩二模）已知f（x）、g（x）都是定义在R上的函数，f（x）g（x）+f（x）g（x）0，f（x）g（x）=ax，f（1）g（1）+f（1）g（1）=在区间3，0上随机取一个数x，f（x）g（x）的值介于4到8之间的概率是（）ABCD考点：利用导数研究函数的单调性；几何概型菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：

30、根据函数积的导数公式，可知函数f（x）g（x）在R上是减函数，根据f（x）g（x）=ax，f（1）g（1）+f（1）g（1）=我们可以求出函数解析式，从而可求出f（x）g（x）的值介于4到8之间时，变量的范围，利用几何概型的概率公式即可求得解答：解：由题意，f'（x）g（x）+f（x）g'（x）0，f（x）g（x）'0，函数f（x）g（x）在R上是减函数f（x）g（x）=ax，0a1f（1）g（1）+f（1）g（1）=f（x）g（x）的值介于4到8x3，2在区间3，0上随机取一个数x，f（x）g（x）的值介于4到8之间的概率是故选A点评：本题的考点是利用导数确定函数的单

31、调性，主要考查积的导数的运算公式，考查几何概型，解题的关键是确定函数的解析式，利用几何概型求解13（2010成都一模）已知函数在区间（1，2）内是增函数，则实数m的取值范围是（）ABC（0，1D考点：利用导数研究函数的单调性菁优网版权所有专题：压轴题分析：首先求出函数的导数，然后根据导数与函数增减性的关系求出m的范围解答：解：由题得f（x）=x22mx3m2=（x3m）（x+m），函数在区间（1，2）内是增函数，f（x）0，当m0时，3m1，0m，当m0时，m1，1m0，m1，故选D点评：掌握函数的导数与单调性的关系14（2009安徽）设函数f（x）=x3+x2+tan，其中0，则导数f（1）

32、的取值范围是（）A2，2B，C，2D，2考点：导数的运算菁优网版权所有专题：压轴题分析：利用基本求导公式先求出f（x），然后令x=1，求出f（1）的表达式，从而转化为三角函数求值域问题，求解即可解答：解：f（x）=sinx2+cosx，f（1）=sin+cos=2sin（+）0，+，sin（+），12sin（+），2故选D点评：本题综合考查了导数的运算和三角函数求值域问题，熟记公式是解题的关键15（2009丹东一模）规定x表示不超过x的最大整数，例如：3.1=3，2.6=3，2=2；若f（x）是函数f（x）=ln|x|导函数，设g（x）=f（x）f（x），则函数y=g（x）+g（x）的值域是（

33、）A1，0B0，1C0D偶数考点：导数的运算；函数的值域菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：先对函数g（x）进行化简，根据x表示不超过x的最大整数，针对x进行分类讨论，发现规律，问题得以解决解答：解：由题意可知g（x）=f（x）f（x）=不妨设x0，则y=g（x）+g（x）=+当（0，1），则（1，0）=0，=1，y=g（x）+g（x）=1当=0，则=0，=0，=0，y=g（x）+g（x）=0依此类推可得y=g（x）+g（x）的值域是1，0，故选A点评：本题主要考查了导数的运算以及求x这种函数的值域，数据中档题16（2009安徽）已知函数f（x）在R上满足f（1+x）=2f（1x）x2+3

34、x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程是（）Axy2=0Bxy=0C3x+y2=0D3xy2=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的几何意义菁优网版权所有专题：压轴题分析：对等式两边进行求导数，通过赋值求切线斜率；对等式赋值求切点坐标；据点斜式写出直线方程解答：解：f（1+x）=2f（1x）x2+3x+1f（1+x）=2f（1x）2x+3f（1）=2f（1）+3f（1）=1f（1+x）=2f（1x）x2+3x+1f（1）=2f（1）+1f（1）=1切线方程为：y+1=x1即xy2=0故选A点评：本题考查对数的几何意义，在切点处的对数值是切线斜率，求切线方程二解答题（共

35、14小题）17（2014榆林模拟）设函数，（其中e为自然底数）；（）求y=f（x）g（x）（x0）的最小值；（）探究是否存在一次函数h（x）=kx+b使得f（x）h（x）且h（x）g（x）对一切x0恒成立；若存在，求出一次函数的表达式，若不存在，说明理由；（）数列an中，a1=1，an=g（an1）（n2），求证：考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；数列与不等式的综合菁优网版权所有专题：压轴题；导数的综合应用分析：（1）表示出y=f（x）g（x），用导数判断其单调性，根据单调性即可求出最小值；（2）由（）知f（）=g（）=，从而得h（）=，于是h（x）可表示为关于k的一次函数，

36、根据f（x）h（x）恒成立可求得k值，从而可求得h（x）表达式，再验证h（x）g（x）对一切x0恒成立即可；（3）由（）先证an递减且an1（n2），然后进行放缩：（akak+1）ak+1=，求和利用上述结论即可证明；解答：解：（）y=f（x）g（x）的定义域为x|x0，y=f（x）g（x）=，y=2x=，易知0x时y0，x时y0，所以y=f（x）g（x）在（0，）上递减，在（，+）上递增，所以x=时y=f（x）g（x）取得最小值为0（）由（）知，f（）=g（）=，所以h（）=，所以可设h（x）=kx+，代入f（x）h（x），得0恒成立，所以=（k1）20，所以k=1，h（x）=x，设G（x）

37、=xln（2ex），则G（x）=1，当0x时G（x）0，当x时G（x）0，易知G（x）G（）=0，即h（x）g（x）对一切x0恒成立；综上，存在h（x）=x符合题目要求，它恰好是y=f（x），y=g（x）图象的公切线（） 先证 an递减且an1（n2）；由（）知g（x）x，所以an=g（an1）an1，即an为递减数列；又a1=1，所以，因为当ak时总有，所以anan1a1=1；所以=点评：本题考查利用导数求函数的最值、函数恒成立及数列与不等式的综合问题，考查学生分析问题解决问题的能力，本题综合性强，难度大，对学生能力要求较高18（2014重庆模拟）设函数f（x）=alnxbx2（x0）；（1

38、）若函数f（x）在x=1处与直线相切求实数a，b的值；求函数上的最大值（2）当b=0时，若不等式f（x）m+x对所有的都成立，求实数m的取值范围考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：（1）先求出原函数的导数：，欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率列出关于a，b的方程求得a，b的值研究闭区间上的最值问题，先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值（2）考虑到当b=0时，f（x）=alnx若不等式f（x）m+x对所有的都成立，转

39、化为alnxm+x对所有的恒成立问题，再令h（a）=alnxx，则h（a）为一次函数，问题又转化为mh（a）min最后利用研究函数h（x）的单调性即得解答：解：（1）函数f（x）在x=1处与直线相切，解得（3分）当时，令f'（x）0得；令f'（x）0，得1xe上单调递增，在1，e上单调递减，（7分）（8分）（2）当b=0时，f（x）=alnx若不等式f（x）m+x对所有的都成立，则alnxm+x对所有的都成立，即malnxx，对所有的都成立，（8分）令h（a）=alnxx，则h（a）为一次函数，mh（a）minx（1，e2，lnx0，上单调递增h（a）min=h（0）=x，mx

40、对所有的x（1，e2都成立，1xe2，e2x1，m（x）min=e2（13分）点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、导数在最大值、最小值问题中的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想属于中档题19（2014漳州模拟）已知函数f（x）=ax+lnx（aR）（）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率；（）求f（x）的单调区间；（）设g（x）=x22x+2，若对任意x1（0，+），均存在x20，1，使得f（x1）g（x2），求a的取值范围考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性菁优网版权所有专题：计算题；综合题；

41、压轴题分析：（）把a的值代入f（x）中，求出f（x）的导函数，把x=1代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率；（）求出f（x）的导函数，分a大于等于0和a小于0两种情况讨论导函数的正负，进而得到函数的单调区间；（）对任意x1（0，+），均存在x20，1，使得f（x1）g（x2），等价于f（x）maxg（x）max，分别求出相应的最大值，即可求得实数a的取值范围解答：解：（）由已知，则f'（1）=2+1=3故曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率为3；（）当a0时，由于x0，故ax+10，f'（x）0所以，f（x）的单调递增区间为（0，+）当a0时，由f'（x）=0，得在

42、区间上，f'（x）0，在区间上f'（x）0，所以，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为；（）由已知，转化为f（x）maxg（x）max，因为g（x）=x22x+2=（x1）2+1，x0，1，所以g（x）max=2（9分）由（）知，当a0时，f（x）在（0，+）上单调递增，值域为R，故不符合题意当a0时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+）上单调递减，故f（x）的极大值即为最大值，f（）=1+ln（）=1ln（a），所以21ln（a），解得a点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调性，掌握不等式恒成立时所满足的条件，是一道中档

43、题20（2014烟台二模）已知函数f（x）=x2+axlnx，aR（）若a=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）若函数f（x）在1，2上是减函数，求实数a的取值范围；（）令g（x）=f（x）x2，是否存在实数a，当x（0，e（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：（I）欲求在点（1，f（1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线

44、的斜率从而问题解决（II）先对函数f（x）进行求导，根据函数f（x）在1，2上是减函数可得到其导函数在1，2上小于等于0应该恒成立，再结合二次函数的性质可求得a的范围（III）先假设存在，然后对函数g（x）进行求导，再对a的值分情况讨论函数g（x）在（0，e上的单调性和最小值取得，可知当a=e2能够保证当x（0，e时g（x）有最小值3解答：解：（I）a=0时，曲线y=f（x）=x2lnx，f（x）=2x，g（1）=1，又f（1）=1曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程xy=0（II） 在1，2上恒成立，令h（x）=2x2+ax1，有 得 ，得 （II）假设存在实数a，使g（x）=ax

45、lnx（x（0，e）有最小值3，=当a0时，g（x）在（0，e上单调递减，g（x）min=g（e）=ae1=3，（舍去），当 时，g（x）在 上单调递减，在 上单调递增，a=e2，满足条件当 时，g（x）在（0，e上单调递减，g（x）min=g（e）=ae1=3，（舍去），综上，存在实数a=e2，使得当x（0，e时g（x）有最小值3点评：本题主要考查导数的运算和函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减21（2014仁寿县模拟）已知函数f（x）=x3+x22x（aR）（1）当a=3时，求函数f（x）的单调区间；（2）若对于任意x1，+

46、）都有f（x）2（a1）成立，求实数a的取值范围；（3）若过点可作函数y=f（x）图象的三条不同切线，求实数a的取值范围考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题；二次函数的性质；利用导数研究函数的单调性菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：（1）先求当a=3时函数的导数f（x），并将其因式分解，便于解不等式，再由f（x）0，得函数的单调增区间，由f（x）0，得函数的单调减区间；（2）方法1：由，得f'（x）=x2+ax2，原问题转化为：对于任意x1，+）都有x2ax+2a0成立，令h（x）=x2ax+2a，结合二次函数的性质得到关于a的不等关系，从而求出实数a的取值范围；

47、方法2：由，得f'（x）=x2+ax2，问题转化为，对于任意x1，+）都有f'（x）max2（a1）下面利用导数工具研究其单调性和最大值，即可得出实数a的取值范围；（3）先将过点可作曲线y=f（x）的三条切线转化为：方程有三个不同的实数解，下面利用导数研究函数g（x）的零点，从而求得a的范围解答：解：（1）当a=3时，得f'（x）=x2+3x2（1分）因为f'（x）=x2+3x2=（x1）（x2），所以当1x2时，f'（x）0，函数f（x）单调递增；当x1或x2时，f'（x）0，函数f（x）单调递减所以函数f（x）的单调递增区间为（1，2），单调

48、递减区间为（，1）和（2，+）（3分）（2）方法1：由，得f'（x）=x2+ax2，因为对于任意x1，+）都有f'（x）2（a1）成立，即对于任意x1，+）都有x2+ax22（a1）成立，即对于任意x1，+）都有x2ax+2a0成立，（4分）令h（x）=x2ax+2a，要使对任意x1，+）都有h（x）0成立，必须满足0或（5分）即a28a0或（6分）所以实数a的取值范围为（1，8）（7分）方法2：由，得f'（x）=x2+ax2，因为对于任意x1，+）都有f'（x）2（a1）成立，所以问题转化为，对于任意x1，+）都有f'（x）max2（a1）（4分）因为，其图象开口向下，对称轴为当时，即a2时，f'（x）在1，+）上单调递减，所以f'（x）max=f'（1）=a3，由a32（a1），得a1，此时1a2（5分）当时，即a2时，f'（x）在上单调递增，在上单调递减，所以，由，得0a8，此时2a8（6分）综上可