上海市秋季高考理科数学

1、2013年上海市秋季高考理科数学2013年上海市秋季高考理科数学1.计算:lim 3n 3n 13【解答】根据极限运算法则,limnn 2013n 13 32.设mR)m2m2(m21)i是纯虚数)其中i是虚数单位，则【解答】2m2 m3 .若,则x y4 .已知 ABC的内角A、B、C所对应边分别 为a、b、J若3a22ab 3b2 3c2 0,则角C的大小是【解答】(结果用反三角函数值表示)3a2 2ab 3b2 3 c2 0 c2 a2 b2 2 ab31 cosC , C 31 arccos-.35 .设常数a R5x2 a的二项展开式中x7项的系 x数为10,则a【解答】Tr 1 C

2、5(x2)5 r(a)r,2(5 r) r 7 r 1故x7C5a10 a6 .方程占13x1的实数解为3I3【解答】原方程整理后变为32x23x803x4xlog34.7 .在极坐标系中，曲线cos1与cos1的公共点到极点的距离为【解答】联立方程组得（1）11/,又0，故所求为T-8 .盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）【解答】9个数5个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为1C213.C9189 .设AB是椭圆的长轴，点C在上，且cba若AB=4,bc氏则的两个焦点之间的距离为.4-、，一22

3、【解答】不妨设椭圆的标准方程为Y31,于4b是可算得C（1,1）,得b2*2c4.733IO.设非零常数d是等差数列X1,X2,X3,X19的公差，随机变量等可能地取值X1,X2,为，为9,则方差D2【斛答】Ex%D9(928212021292)相|d|.11 .若cosxcosy sin xsin y1. c . c,sin 2x sin2y22”Usin(x y) 3cos(x y)sin2xsin2y2sin(xy)cos(xy)sin(xy)12 .设a为实常数，yf(x)是定义在R上的奇函数,2当x0时f(x)9x7若f(x)a1对一切x0成立x则a的取值范围为【解答】f(0)0,故

4、0a1a1;当x0时，2af(x)9x7a1x即6|a|a8)又a1,故a7-.13 .在xOy平面上，将两个半圆弧(x1)2y21(x1)和(x3)2y21(x3)、1、两条直线y1和y1围成的封闭"一haJ：图形记为D,如图中阴影部分.记D绕y轴旋转一周而成的几何体为，过(0,y)(|y|i)作的水平截面，所得截面面积为4c8,试利用祖晅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积值为【解答】根据提示，一个半径为1,高为2的圆柱平放，一个高为2,底面面积8的长方体，这两个几何体与放在一起，根据祖咂原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即的体积值为12228221

5、6.14 .对区间I上有定义的函数g(x),记g(i)y|yg(x),xI,已知定义域为0,3的函数yf(x)有反函数yf1(x),且f1(0,1)1,2),f1(2,4)0,1),若方程f(x)x0有解%,则x°【解答】根据反函数定义，当x0,1)时，f(x)(2,4；x1,2)时，f(x)0,1),而yf(x)的定义域为0,3,故当x2,3时，f(x)的取值应在集合(，0)1,2(4,),故若f(x0)x0,只有x02.二、选择题15 .设常数aR,集合Ax|(x1)(xa)0,Bx|xa1,若ABR,则a的取值范围为()(A)(,2)(B)(,2(C)(2,)(D)2,)【解答

6、】集合A讨论后利用数轴可知，a1或a11,解答选项为B.1a16 .钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的()(A)充分条件(B)必要条件(C)充分必要条件(D)既非充分也非必要条件【解答】根据等价命题，便宜没好货，等价于，好货不便宜，故选B.17 .在数列an中，an2n1,若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素ai,jaiajaaj,(i1,2,7;j1,2，,12)则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为()(A)18(B)28(C)48(D)63【解答】ai,jaajaaj2ij1,而ij2,3，,19,故不同数值个数为18个，选A.18 .在边长为1的正六

7、边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为a；,a；,a；a；，a；以D为起点，其余顶点为终点的向量分另11为1&,4&&.若m,M分另5J为(aajaj(d,d§Q)的最小值、最大值，其中i,j,k1,2,3,4,5,r,s,t1,2,3,4,5,则m,M满足().(A)m0,M0(B)m0,M0(C)m0,M0（D）m0,M0【解答】作图知）只有AFDEABDC0,其余均有aidr三、解答题19. （本题满分12分）如图，在长方体ABCD-AiBiCiDi中AB=2,AD=1,AiA=i,证明直线平行于平面DAiC,并求直线平面DiAC的

8、距离.【解答】因为ABCD-AiBiCiDi为长方体，故AB/CiDi,ABCiDi）故ABCiDi为平行四边形，故BG/AD,显然B不在平面DiAC上，于是直线BCi平行于平面DAiC;直线BCi至呼面DiAC的距离即为点B到平面DiAC的距离设为h考虑三棱锥ABCDi的体积，以ABC为底面，可得vi（ii2）ii323ADiC而ADiC中）ACDC而ADi亚）故S所以，Vi3hih2,即直线BCi到平面DiAC3233的距离为3.20. (6分+8分)甲厂以x千克/小时的速度运输生产某种产品(生产条件要求ix10),每小时可获得利润是100(5x13)元.x(1)要使生产该产品2小时获得的

9、利润不低于3000元，求x的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.【解答】(1)根据题意，200(5x13)30005x14-0xx又1x10)可解得3x10设利润为y元，则y900100(5x1口)91043d于xxx612故x6时)ymax457500元.21. (6分+8分)已知函数f(x)2sin(x),其中常数。；(1)若yf(x)在上单调递增，求的取值范43围；(2)令2,将函数yf(x)的图像向左平移个单/6在所有满足上述条件的a，b根据题意有万034位，再向上平移1个单位，得到函数yg(x)的图像，区间a,b(a,b

10、R且ab)满足：yg(x)在a,b上至少含有30个零点，中，求ba的最小值.【解答】(1)因为0,423(2)f(x)2sin(2x),g(x)2sin(2(x-)12sin(2x)163g(x)0sin(2x)-xkxk,kZ,32312)即g(x)的零点相离间隔依次为石和J,337故若yg(x)在a,b上至少含有30个零点，则ba的最小值为142r157*.33322.（3分+5分+8分）如图，已知曲线2_Ci：Vy21,曲线C2：|y|x|1,P是平面上2/一点，若存在过点P的直线与G,C2都有公共点，则称P为“ClC2型点”.（1）在正确证明Ci的左焦点是“ClC2型点”时，要使用一条

11、过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线y版与C2有公共点，求证叩1,进而证明原点不是“C1C2型点”；（3）求证：圆x2y22内的点都不是“C1C2型点”.【解答】：（1）C1的左焦点为f（V3,o）,过F的直线x6与C1交于（向争，与C2交于（731）,故C1的左焦点为“C1-C2型点”，且直线可以为xa；（2）直线ykx与C2有交点，则（|k|1）|x|1,若方程组有解，则必须Iki1；|yI|x|17直线ykx与C2有交点，则y kxx2 2y2 2（1 2k2）x2 2,若方程组有解，则必须k2故直线ykx至多与曲线C1和C2中的一条有交点，即原点不是“

12、C1-C2型点”(3)显然过圆x2y21内一点的直线i若与曲线Cl有交点，则斜率必存在；根据对称性，不妨设直线l斜率存在且与曲线C2交于点(t,t1)(t0),则l:y(t1)k(xt)kxy(1tkt)0直线1与圆x2y21内部有交点，故342<k12化简得)(1ttk)21(k21)00000000000072若直线1与曲线C1有交点，则ykxktt12122x22(k2-)x22k(1tkt)x(1tkt)210y2122222122_24k(1tkt)4(k)(1tkt)10(1tkt)2(k1)2化简得，(1tkt)22(k21)。由得，2(k21)(1ttk)22(k21)k

13、21但此时，因为t0,1t(1k)21,；(k21)1,即式不成立；当k21时,式也不成立综上，直线i若与圆x2y22内有交点，则不可能同时与曲线Cl和C2有交点，即圆x2y2；内的点都不是“C1-C2型点”23.(3分+6分+9分)给定常数c0,定义函数f(x)2|xc4|x%数列a,a3,满足an1f(an),nN*.(1)若Ac2,求a2及a3；(2)求证：对任意一*-nN,anianc)；(3)是否存在a,使得&,a2,an,成等差数列？若存在，求出所有这样的司，若不存在，说明理由【解答】：(1)因为c0,ai(c2),故a2f(a)2|ac4|ac|2)a3f(a1)2|a2c4|a2c|c10(2)要证明原命题，只需证明f(x)xc对任意xR都成立，f(x)xc2|xc4|xc|xc即只需证明2|xc4|xc|+xc若xc0)显然有2|xc4|xc|+xc=0成立；若xc0,则2|xc4|xc|+xcxc4xc显然成立综上)f(x)xc恒成立)即对任意的nN*,amanc(3)由(2)知，若3为等差数