专升本高等数学知识点汇总

1、专升本高等数学知识点汇总常用知识点：一、常见函数的定义域总结如下：ykxb(1) 2一般形式的定义域：xCRyaxbxck(2) y分式形式的定义域：xw。x(3) y、反根式的形式定义域：x0(4) ylogax对数形式的定义域：x0二、函数的性质1、函数的单调性当Xx2时，恒有f(x1)f(x2),f(x)在xbx2所在的区间上是增加的。当xix2时，恒有f(xi)f(x2),f(x)在x1，x2所在的区间上是减少的。2、函数的奇偶性定义：设函数yf(x)的定义区间D关于坐标原点对称(即若xD,则有xD)偶函数f(x)xD,恒有f(x)f(x)。(2)奇函数f(x)xD,恒有f(x)f(x

2、)。三、基本初等函数1、常数函数：yc,定义域是(，)，图形是一条平行于x轴的直线。u2、哥函数：yx,(U是常数)。它的定义域随着u的不同而不同。图形过原点。3、指数函数定义：yf(x)ax,(a是常数且a0,a1).图形过(0,1)点。4、对数函数定义：y f(x)a是常数且1)。图形过(1,0 )5、三角函数(2)正弦函数：y2 ， D(f)余弦函数：yD(f)正切函数：，D(f)余切函数：，D(f)sin xcosx.tanx .)，)，x | x R, xy cot x.x | x R, xf(D)f(D)1,1。1,1。(2k 1)2,k Z,k Zf(D)f(D).).5、反三角

3、函数反正弦函数：arcsin xD(f)1,1f(D)(2)反余弦函数：arccoscD(f)1,1f(D)0,。反正切函数：arctanxD(f)，f(D) ( -,-)反余切函数：arccotx,D(f)，f(D) (0,)。极限、求极限的方法1、代入法因此遇到大部分简单题代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限，等于该点的函数值。目的时候，可以直接代入进行极限的求解。2、传统求极限的方法(1)利用极限的四则运算法则求极限。(2)利用等价无穷小量代换求极限。(3)利用两个重要极限求极限。(4)利用罗比达法则就极限。、函数极限的四则运算法则设limuAx(1)lim(uv)limulimvA

4、Bxxx(2) lim(u v)xlim u lim v AB . x x推论(a)lim(C v) C lim v ,(C 为常数)。xx(b) lim un (lim u)nxxulim uA(3) limu A,( B 0). x vlim vBx(4)设 P(x)为多项式 P(x) a0xn a1xn 1an,则 lim P(x) P(xo) x Xo(5)设P(x),Q(x)均为多项式,且 Q(x)0,limx X0P(x)Q(x)P(Xo)Q(x0)1三、等价无穷小常用的等价无穷小量代换有：当x0时，sinxx,tanxx,arctanxx,arcsinxx,ln(1x)x,ex1

5、x,1cosx-x2o2对这些等价无穷小量的代换，应该更深一层地理解为：当口0时，sinDD,其余类似。四、两个重要极限sinx重要极限Ilims-1。x0x它可以用下面更直观的结构式表示:lim皿0x1重要极限IIlim1-e。x一，1其结构可以表本为：lim1一八、洛必达(LHospital)法则“0”型和“”型不定式，存在有limfix)limfaA(或)。0xag(x)xag(x)一元函数微分学一、导数的定义设函数yf(x)在点xo的某一邻域内有定义，当自变量x在xo处取得增量x(点xox仍在该邻域内)时，相应地函数y取得增量yf(x0x)f(x0)。如果当x0时，函数的增量y与自变量

6、x的增量之比的极限limy=lim工(xx)-(x0)=f(x0)注意两个符号x和x0在题目中可能换成其他的符x0xxox号表示。、求导公式1、基本初等函数的导数公式(1) (C)0(C为常数)(2) (x)x1(为任意常数)1 (ln x)x(3) (ax)axlna(aQa1)特殊情况(ex)ex,八八、1.1,八八八(4)(logax)-logae(x0,a0,a1),xxlna(5) (sinx)cosx(6) (cosx)sinx2cos x(7) (tanx)(8) (cot x).-2sin x(9) (arcsinx)12- (1x1),1 x21(10) (arccosx)(

7、1x1),1x2(11) (arctanx)(12) (arccotx)11 x211 x22、导数的四则运算公式(2) u(x)v(x)u (x)v(x) u(x)v (x)(1)u(x)v(x)u(x)v(x)(4)u(x)v(x)u (x)v(x) u(x)v (x)(3)kuku(k为常数)v2(x)3、复合函数求导公式：设yf(u),u(x),且f(u)及(x)都可导，则复合函数yf(x)dydydu)的导致为工，f(u).(x)。dxdudx三、导数的应用1、函数的单调性f(x)0则f(x)在(a,b)内严格单倜增加。_f(x)0则f(x)在(a,b)内严格单调减少。2、函数的极值

8、_._.f(x)0的点一一函数f(x)的驻点。设为Xo(1)若xX0时，f(x)0；xX0时，f(x)0,则f(Xo)为f(x)的极大值点。，一、4右xXo时，f(x)0；xXo时，f(x)0,则f(Xo)为f(x)的极小值点。(3)如果f(x)在Xo的两侧的符号相同，那么f(Xo)不是极值点。3、曲线的凹凸性_、f(x)0,则曲线yf(x)在(a,b)内是凹的。一一一f(x)0,则曲线yf(x)在(a,b)内是凸的。4、曲线的拐点(1)当f(x)在x0的左、右两侧异号时，点(x0,f(x0)为曲线yf(x)的拐点，此日f(x0)0.(2)当f(x)在x0的左、右两侧同号时，点(x0,f(x。

9、)不为曲线yf(x)的拐点。5、函数的最大值与最小值极值和端点的函数值中最大和最小的就是最大值和最小值。四、微分公式_dyf(x)dx,求微分就是求导数。一元函数积分学一、不定积分1、定义，不定积分是求导的逆运算，最后的结果是函数+C的表达形式。公式可以用求导公式来记忆。2、不定积分的性质(1) f(x)dxf(x)df(x)dxf(x)dx(2) F(x)dxF(x)C或dF(x)F(x)C(3) f(x)(x)(x)dxf(x)dx(x)(x)dx。(4) kf(x)dxkf(x)dx(k为常数且k0)。2、基本积分公式(要求熟练记忆)(1) 0dxC(2) xadxxa1C(a1).a1

10、，、1,八(3) dxlnxC.xx1x.(4) adxaC(aQa1)Ina(5) exdxexC(6) sinxdxcosxCcosxdxsinxC1(8)2dxtanxC.cosx,、1(9) -2dxcotxC.sinx，-1(10) .dxarcsinxC.,1x2，、1,八(11) ydxarctanxC.1 x23、第一类换元积分法对不定彳散分g(x)dx,将被积表达式g(x)dx凑成g(x)dxf(x)(x)dxf(x)d(x),这是关键的一步。常用的凑微分的公式有:，.、一1一，、，b)(1) f(axb)dxf(axb)d(axb)a(2) f(axkb)xk1dxf(ax

11、kb)d(axkka(3) f(Jx)-Xdx2fTxd/x、x,八J、1.J、，1(4) f()-dxf()dxxxx(5) f(ex)exdxf(ex)d(ex)一-1(6) f(lnx)dxf(lnx)d(lnx)xf(sinx)cosxdxf(sinx)d(sinx)(8) f(cosx)sinxdxf(cosx)d(cosx).1(9) f(tanx)2dxf(tanx)d(tanx)cosx1(1。)f(cotx)2dxf(cotx)d(cotx)sinx(11)f(arcsinx)1dx1x2f(arcsinx)d(arcsinx)(12)f(arccosx)dxf(arccos

12、x)d(arccosx)(13)f(arctanx)f(arctanx)d(arctanx)(14)dxd(ln(x)(x)(x)0)4、分部积分法、定积分公式1、(牛顿莱布尼茨公式)如果F(x)是连续函数f(x)在区间a,b上的任意一个原函数，则有f(x)dxF(b)F(a)。2、计算平面图形的面积如果某平面图形是由两条连续g(x),yf(x)及两条直线Xia和x2围成的(其中y1是下面的曲线，y2是上面的曲线)其面积可由下式求出：3、计算旋转体的体积0)和直线设某立体是由连续曲线yf(x)(f(x)xa,xb(ab)及x轴所围平面图形绕x轴旋转一周所形旋转体，如图所示。则该旋转体的体积V可

13、由下式求出:多元函数微分学1、偏导数，对某个变量求导，把其他变量看做常数。成的2、全微分公式：dzdf(x,y)AxBy。3、复合函数的偏导数一一利用函数结构图如果u(x,y)、v(x,y)在点(x,y)处存在连续白偏导数xu_vyx对应于(x,y)的点(u,v)处，函数zf(u,v)存在连续的偏导数,上，则复合函数uvzf(x,y),(x,y)在点(x,y)处存在对x及y的连续偏导数，且zzuzvzzuzvxuxvxyuyvy4、隐函数的导数对于方程F(x, y) 0所确定的隐函数yf(x),可以由下列公式求出y对x的导数y:LFx(x,y)y_,Fy(x,y)2、隐函数的偏导数对于由方程F

14、(x,y,z)0所确定的隐函数zf(x,y),可用下列公式求偏导数:zFx(x,y,z)zFy(x,y,z)xFz(x,y,z)yFz(x,y,z)5、二元函数的极值设函数zf(x0,y0)在点(xcy0)的某邻域内有一阶和二阶连续偏导数，且fx（x0,y（o）0,fy（x0,y（o）0又设fxx（x0,y（0A,刈函，丫0）B,fyy（x0,y0）C,则：(1)当B2AC0时，函数f(x,y)在点(x0,y0)处取得极值，且当A0时有极大值，当A0时有极小值。(2)当B2AC0时，函数f(x,y)在点(x0,y0)处无极值。(3)当B2AC0时，函数f(x,y)在点(x,y)处是否有极值不能

15、确定，要用其它方法另作讨论。平面与直线1、平面方程(1)平面的点法式方程：在空间直角坐标系中，过点M0(x0,y0,z0),以nA,B,C为法向量的平面方程为A(xXo)B(yy)C(zz0)0称之为平面的点法式方程(2)平面的一般式方程AxByCzD0称之为平面的一般式方程2、特殊的平面方程AxByCz0表示过原点的平面方程AxByD0表示平行于Oz轴的平面方程AxBy0表示过Oz轴的平面方程Cz D 0表示平行于坐标平面xOy的平面方程3、两个平面间的关系设有平面i : AixBiyCizDi0平面i和2互相垂直的充分必要条件是：AA2 B1B2 C1C2 0平面i和2平行的充分必要条件是

16、:AiBiCiDiA2B2C2D2AiBiCiDi平面1和2重合的充分必要条件是： A2 B2 C2 D24、直线的方程(i)直线的标准式方程过点M0(x,y0，z0)且平行于向量s m,n,p的直线方程x_皿 y_y z_zl称之为直线的标准式方程(又称点向式方程、对称式方程)常称s m,n, p为所给直线的方向向量(2)直线的一般式方程AxBiyCizDi0,一称之为直线的一般式方程A2xB2yC2zD205、两直线间关系设直线11，l2的方程为直线l1，l 2平行的充分必要条件为 工士 ；m2n2直线l1，12互相垂直的充分必要条件为m1m2n1n2P1P206、直线l与平面间的关系设直

17、线l与平面的方程为ABC直线l与平面垂直的充分必要条件为：-mnpAmBnCp0直线l与平面平行的充分必要条件为：产Am0Bn。Cp0D0AmBnCp0直线l落在平面上的充分必要条件为pAm0BnoCp0D0将初等函数展开成事级数1、定理：设f(x)在U(x0,)内具有任意阶导数，且f(n1)()limRn(x)0，Rn(x)-(xX0)n1则在U(X0,)内n(n1)!称上式为f(x)在点七的泰勒级数。或称上式为将f(x)展开为xx0的哥级数。2、几个常用的标准展开式Yxninexxn0n!2n1sinx(1)nn0(2n1)!2ncosx(1)nn0(2n)!nxln(1x)(1)一n0n

18、nxln(1x)一n0n常微分方程1、一阶微分方程(1)可分离变量的微分方程若一阶微分方程F(x,y,y)0通过变形后可写成g(y)dyf(x)dx或yf(x)g(y)则称方程F(x,y,y)0为可分离变量的微分方程.2、可分离变量微分方程的解方程g(y)dyf(x)dx必存在隐式通解G(y)F(x)C。其中：G(y)g(y)dy,F(x)f(x)dx.即两边取积分。(2)一阶线性微分方程1、定义：方程yP(x)yQ(x)称为一阶线性微分方程.(1)非齐次方程一一Q(x)0；(2)齐次方程yP(x)y0.2、求解一阶线性微分方程P(x)dx(1)先求齐次方程yP(x)y。的通解：yCe,其中C为任意常数。P(x)dx(2)将齐次通解的C换成u(x)。即yu(x)e(3)代入非齐次方程yP(x)yQ(x),得2、二阶线性常系数微分方程(1)可降阶的二阶微分方程1、yf(x)型的微分方程1 2y-.12v一例3：求方程y-esinx的通解.分析：yydx-ecosxC1;2 4yydx1e2xsinxC1xC2.82、yf(x,y)型的微分方程解法：令py,方程化为pf(x,p)；(2)解此方程得通解p(x,C1)；(3)再解方程y