积分计算超强总结(循环递推法)_第1页
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1、循环递推法循环递推法是积分计算的一种重要的辅助方法对于某些积分问题，在通过 换元积分法或分部积分法处理后，尽管没有得到原函数的初等表达式，但重新得 到了原积分的表达式I kI A(k 1) 这样，实际上也就得到了需要的结果了，这种方法称为循环递推法这里需要注意的是：若I表示的是 不定积分，等式另一边的I虽然表示的是 同一个函数的不定积分，但是应该有一个常数的差别所以在移项合并时，必须留下一个常数.利用循环递推法计算不定积分时，因为不定积分的计算结果与积分变量的名 称有关，所以 比较适合用分部积分法，而这时换元积分法恐怕是没有用的.【例1】求earccosxdx arccos x解I earcc

2、osxdx xexarccosx .1 x2e dxarccosxxearccosx2e d J xarccosxxearccosx2V1xarccosxe dxarccosxxearccosxex2 I 所以 2Ixearccosxearccosx .1x22C ,1arccosx-e (x21 x2) C 2I .42I .4【例2】求 sin(ln x)dx .【解】I sin(ln x)dx xsin(ln x)cos(In x)dxxsin (I n x) xcos(l nx)sin (I n x)dx xsin (I n x) xcos(l nx) I ,所以xI-sin(ln x

3、) xcos(lnx) C 【例3】求 1 x2dx 【解】-1 x2dxx 1 x2dx x 1 x2所以,本题用换元arcs inx.【注】式和回代的过程，略显麻烦.【例4】求(1 x2)e 2 dx 1 .I - (x 1 x2arcsinx) C sint的方法，一样可以得到结果，但还要用到三角倍角公2 x2 xx2【解】(1 x2)e 2dxe222 dx x e2 dx2 2 xx2 xx2xe 无x2e dxx2e Fxxe 2 C【注】本例中没有出现循环递推的形式，所以放在这里是为了提醒大家当出现I减I的时候，不能将它们完全抵消，而要留下一个任意常数.上述问题也可以改作为用循环递推法计算定积分的例子，这意义就不大了.下面举几个原函数不是初等函数的定积分计算例子，注意到定积分值与积分变量名b称无关，可以考虑使用 换元法.为了与原积分f(x)dx可以做比较，必须保持积分区间a,b不变，翻折变换x ab t可以达到此目的.所谓翻折变换是以2I .42I .4区间a,b的中点为不动点的翻折.【例 5】求:ln(1 tanx)dx .【解】在翻折变换xt下，有4I : ln(1tanx)dxoln(1)dt tantln2 ln(1 tant)dt-l n2 I ,4所以，有I 一1 n2.8讪小 +xsinx ,【例6】求 2dx .0 1 cos x【

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