立体几何中的轨迹问题(总结+讲义+练习)

1、立体几何中的轨迹问题在立体几何中，某些点、线、面依一定的规则运动， 构成各式各样的轨迹， 探求空间轨迹与求平面轨迹类似, 应注意几何条件，善于基本轨迹转化对于较为复杂的轨迹，常常要分段考虑，注意特定情况下的动点的位置， 然后对任意情形加以分析判定，也可转化为平面问题对每一道轨迹命题必须特别注意轨迹的纯粹性与完备性.立体几何中的最值问题一般是指有关距离的最值、角的最值或面积的最值的问题其一般方法有：几何法：通过证明或几何作图，确定图形中取得最值的特殊位置，再计算它的值；代数方法：分析给定图形中的数量关系，选取适当的自变量及目标函数，确定函数解析式，利用函数的 单调性、有界性，以及不等式的均值定理

2、等，求出最值.小轨迹问题【例1】如图，在正四棱锥 内及其边界上运动，并且总是保持 相关图形最有可能的是1、2、SABCD中，E是BC的中点，P点在侧面厶SCD PE_AC .则动点 P的轨迹与厶SCD组成的解析：如图，分别取 CD、SC的中点F、G,连结则动点P的轨迹是厶SCD的中位线FG .由正四棱锥可得 SB丄AC, EF丄AC .又t EG / SB EG 丄 ACBD .设AC与BD的交点为 0 ,连结SO, AC丄平面EFG ,/ P FG , E 平面 EFG , AC 丄 PE .另解：本题可用排除法快速求解.B中P在D点这个特殊位置，显然不满足PE _ AC; C中P点所在的轨

3、迹与CD平行，它与CF成产角，显然不满足 PE_AC; D于中P点所在的轨迹与 CD平行，它与CF所成的角为4 锐角，显然也不满足 PE_AC .评析：动点轨迹问题是较为新颖的一种创新命题形式，它重点体现了在解析几何与立体几何的知识交汇处设计图形.不但考查了立体几何点线面之间的位置关系，而且又能巧妙地考查求轨迹的基本方法，是表现最为活跃的一种创新题型.这类立体几何中的相关轨迹问题，如线线垂直”问题，很在程度上是找与定直线垂直的平面，而平面间的交线往往就是动点轨迹.【例2】 如图，在正四棱柱 ABCD AiBiCiDi中，E、F、G、H分别是CCi、C1D1、DDDC的中点， N是BC的中点，点

4、 M在四边形EFGH及其内部运动，则 M满足 时，有MN /平面BiBDDi.(2) 正方体 ABCD AiBiCiDi中，P在侧面BCCiBi及其边界上运动，且总保持 AP丄BDi，则动点P的轨迹是线段BiC_.(3) 正方体ABCD AiBiCiDi中，E、F分别是棱AiBi , BC上的动点，且 AiE=BF , P为EF的中点，则点 P的轨迹是 线段MN(M、N分别为前右两面的中心 ).(4) 已知正方体ABCD AiBiCiDi的棱长为i,在正方体的侧面BCCiBi上到点A距离为23的点的集合形成一条曲线，那么这条曲线的形状是，它的长度是ADiBilHNBCiAiEC(i)CCiAi

5、"33BiLP-* FCiCAB(3)CiC若将 在正方体的侧面 BCCiBi上到点A距离为 的点的集合”改为 在正方体表面上与点 A距离为23的点33的集合”那么这条曲线的形状又是，它的长度又是.【例3】(1)(04北京)在正方体 ABCD-AiBiCiDi中，P是侧面BBiCiC内一动点，若 P到直线BC与直线CiDi的距离相等，则动点 P的轨迹所在的曲线是(D )A . A直线B .圆C.双曲线 D.抛物线变式：若将 P到直线BC与直线CiDi的距离相等”改为P到直线BC与直线CiDi的 距离之比为1 : 2(或2: 1)”，则动点P的轨迹所在的曲线是_椭圆(双曲线).(2)

6、(06北京)平面a的斜线AB交a于点B，过定点A的动直线I与AB垂直，且交 a于点C,则动点C的轨迹是(A )A.一条直线 B.一个圆C. 一个椭圆D .双曲线的一支解：设I与I是其中的两条任意的直线，则这两条直线确定一个平面，且斜线AB垂直这个平面，由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点A与AB垂直所有直线都在这个平面内，故动点 C都在这个平面与平面 a的交线上，故选 A.1(3) 已知正方体 ABCD AiBiCiDi的棱长为1 , M在棱AB上，且AM=§，点P到直 线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为1，则点P的轨迹为 抛物线.(4) 已知正方体 AB

7、CD A1B1C1D1的棱长为3，长为2的线段MN点一个端点 M在 DD1上运动，另一个端点 N在底面ABCD上运动，贝U MN的中点P的轨迹与正方体的面C1B1"PCaBCtA1BiC1D1BidA1Ai所围成的几何体的体积为【例4 (04重庆)若三棱锥A-BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到dA33B【例 引 四棱锥 p-abcd ,ad 丄面 fab ,bc丄面 fab，底面 abcd 为梯形，AD=4, bc=8 ,ab=6，/apd=/cpb ,满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是（）A .圆B .不完整的圆C .抛物线分析： ad丄面PAB, BC丄平面PA

8、B ad / BC 且 ad 丄 pa, CB丄 PB/ apd= / cpb tan APD=ta nCPB AD_CB ' PA = PB PB=2PAD .抛物线的一部分在平面APB内，以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(-3 , 0)、B(3, 0)，设 2 2 2 2P(x, y)(y工 Q)则(x-3) +y =4(x+3) +y (y 0)即(x+5)2+y2=i6(yz 0) P的轨迹是(B)立体几何中的轨迹问题（教师版）1.在正方体ABCD-A iBiCiDi的侧面ABi内有一点P到直线AB与到直线BQi的距离相等，则动点 P所在曲线 的形

9、状为（D）.A 线段 B 一段椭圆弧 C.双曲线的一部分D 抛物线的一部分简析本题主要考查点到直线距离的概念，线面垂直及抛物线的定义.因为BiCi丄面ABi,所以PBi就是P到直线BiCi的距离，故由抛物线的定义知：动点的轨迹为抛物线的一段，从而选D.2 .在正方体ABCD-A iBiCiDi的侧面ABi内有一点P到直线AB的距离与到直线 BiCi的距离之比为2 : i，则动 点P所在曲线的形状为（B）.A 线段 B 一段椭圆弧 C.双曲线的一部分D 抛物线的一部分3. 在正方体ABCD-A iBiCiDi的侧面ABi内有一点P到直线AB的距离与到直线 BiCi的距离之比为i : 2，则动 点

10、P所在曲线的形状为（C）.A 线段 B 一段椭圆弧 C.双曲线的一部分D 抛物线的一部分4. 在正方体ABCD-A iBiCiDi中，E为AA i的中点，点P在其对角面BBiDiD内运动，若EP总与直线AC成等 角，则点P的轨迹有可能是（A ）.A .圆或圆的一部分B.抛物线或其一部分C.双曲线或其一部分D .椭圆或其一部分简析由条件易知：AC是平面BBiDiD的法向量，所以EP与直线AC成等角，得到EP与平面BBiDiD所成的角都相等，故点 P的轨迹有可能是圆或圆的一部分.5. 已知正方体 ABCD - AiBiCiDi的棱长为a,定点M在棱AB上（但不在端点 A , B 上）,点P是平面A

11、BCD 内的动点，且点 P到直线AiDi的距离与点P到点M的距离的平方差为 a2,则点P的轨迹所在曲线为（A）.A .抛物线B .双曲线C .直线D .圆简析在正方体 ABCD - Ai BiCiDi中，过P作PF _ AD，过F作FE_AiDi，垂足分别为 F、E,连结 PE.则 PE2=a2+PF2，又 PE2-PM2=a2,所以 PM2=pf2,从而PM = PF,故点P到直线AD与到点M的距离相等，故点P的轨迹是以M为焦点，AD为准线的抛物线.6 .在正方体 ABC A1BiCiDi中，点P在侧面BCCBi及其边界上运动，总有 AP_ BDi,则动点P的轨迹为简析在解题中，我们要找到运

12、动变化中的不变因素，通常将动点聚焦到某一个平面.易证BDi_面ACB i,所以满足BDi_AP的所有点P都在一个平面 ACB i上.而已知条件中的点 P是在侧面BCCiBi及其边界 上运动，因此，符合条件的点P在平面ACBi与平面BCCiBi交线上，故所求的轨迹为线段BiC.本题的解题基本思路是：利用升维，化“动”为“静”，即先找出所有点的轨迹，然后缩小到符合条件的点的轨迹.7. 在正四棱锥 S-ABCD中，E是BC的中点，点P在侧面上SCD内及其边界上运动，总有 PE AC，则动点P 的轨迹为.答案 线段MN （ M、N分别为SC、CD的中点）8. 若A、B为平面的两个定点，点 P在夕卜，P

13、B爲，动点C （不同于A、B）在内，且PCAC，则动 点C在平面内的轨迹是 .（除去两点的圆）9 .若三棱锥A BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱 AB的距离相等，则动点P的轨迹与厶ABC 组成的图形可能是：（D）ABCD简析动点P在侧面ABC内，若点P到AB的距离等于到棱 BC的距离，则点P在必ABC的内角平分线上.现在P到平面BCD的距离等于到棱 AB的距离，而P到棱BC的距离大于P到底面BCD的距离，于是， P到棱AB的距离小于P到棱BC的距离，故动点P只能在.ABC的内角平分线与 AB之间的区域内.只能选D .10. 已知P是正四面体S-ABC的面SBC上一点，P到面

14、ABC的距离与到点S的距离相等，则动点 P的轨迹所 在的曲线是（B）.A 圆B 椭圆C 双曲线D 抛物线解题的要领就是化空间问题为平面问题，把一些重要元素集中在某一个平面内，利 用相关的知识去解答，象平面几何知识、解析几何知识等.2 ; 311. 已知正方体 ABCD - A1B1C1D1的棱长为1，在正方体的侧面 BCC1B1上到点A距离为的点的轨迹形3成一条曲线，那么这条曲线的形状是 ，它的长度为 .简析以B为圆心，半径为 且圆心角为 一的圆弧，长度为 n .32612 已知长方体 ABCD - A1B1C1D1中，AB = 6,BC = 3，在线段BD、A1C1上各有一点P、Q, PQ上

15、有一点M,且PM =2MQ，贝U M点轨迹图形的面积是 提示轨迹的图形是一个平行四边形.13 .已知棱长为3的正方体ABCD - A1B1C1D1中，长为2的线段MN的一个端点在DD1 上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动，求MN中点P的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积.简析由于M、N都是运动的，所以求的轨迹必须化“动”为“静”，结合动点P的几何性质，连结DP，因为MN=2，所以PD=1，因此点P的轨迹是一个以 D为球心，1为半径的球面在正方体内的部分，所以点1143 二P的轨迹与正方体的表面所围成的几何体的体积为球的体积的-，即- ：一 ： 1 :883614.已知平面：/平面：，直

16、线丨二：点P l，平面:->间的距离为4,则在1内到点P的距离为5且到直点.因此所求点的轨迹是四个点，故选C.9线丨的距离为9的点的轨迹是（）2A .一个圆B .两条平行直线C.四个点D .两个点_简析：如图，设点P在平面内的射影是O,则OP是、一：的公垂线，OP=4 .在内 到点P的距离等于5的点到O的距离等于3,可知所求点的轨迹是 1内在以O为圆心，3 为半径的圆上.又在 内到直线丨的距离等于9的点的集合是两条平行直线 m、n,它们到2点O的距离都等于#（2）2 -42 =扌7 £3，所以直线m、n与这个圆均相交，共有四个交点.因此所求点的轨迹是四个点，故选C.16 .在四

17、棱锥 P-ABCD 中，AD _ 面 PAB , BC _ 面 PAB ,底面 ABCD 为梯形，AD=4 , BC=8 , AB=6 ,.APD =/CPB，满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是（）A.圆B.不完整的圆C .抛物线D 抛物线的一部分简析：因为 AD _ 面 PAB , BC _ 面 PAB，所以 AD/BC，且 £ DAP ECBP =90 . 又.APD =. CPB,AD =4,BC =8 ,可得 tan. APD 二 AD = CB 二 tan. CPB，即得 PB = CB = 2PA PBPA AD在平面PAB内，以AB所在直线为x轴，AB中点O为坐标原点

18、，建立平面直角坐标系，则A (-3, 0)、B22(3, 0).设点 P (x, y),则有+y =2，整理得 x2 +y2 +10x +9 = 0lPAl J(x+3)2+y2由于点P不在直线AB上，故此轨迹为一个不完整的圆，选B.17.如图，定点 A和B都在平面:内，定点P“：，PB _ :,C是内异于 的动点.且PC _AC，那么动点C在平面:-内的轨迹是（）A .一条线段，但要去掉两个点B 一个圆，但要去掉两个点C .一个椭圆，但要去掉两个点D .半圆，但要去掉两个点简析：因为AC丄PC,且PC在ot内的射影为BC,所以AC丄BC,即N ACB=90° 所以点C的轨迹是以 A

19、B为直径的圆且去掉 A、B两点，故选B.18.如图，在正方体 ABCD -A1B1C1D1中，P是侧面B®内一动点，若 P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点 P的轨迹所在的曲线是（）A .直线B .圆C .双曲线D .抛物线简析：因为P到C1D1的距离即为P到C1的距离，所以在面 BC1内，P到定点C1的距离与P到定直线BC的距离相等.由圆锥曲线的定义知动点P的轨迹为抛物线，故选 D .19.已知正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为1,点P是平面AC内的动点，若点P到直线A1D1的距离等于点P到直线CD的距离，则动点 P的轨迹所在的曲线是（）A .抛物线B .双曲线C

20、.椭圆D .直线简析：如图4，以A为原点，AB为x轴、AD为y轴，建立平面直角坐标系.设又作 PN _CD 于 N，则 |PN |=|y -1 | .依题意 |PF|=|PN |, 即.x21 =|y -1|，化简得 x2 y2，2y =0故动点P的轨迹为双曲线，选B.20 .如图，AB是平面a的斜线段，A为斜足，若点P在平面a内运动，使得 ABP的 面积为定值，则动点 P的轨迹是()(A)圆(B)椭圆(C) 一条直线(D)两条平行直线体表面相交于M, N .设yC.b .D .分析：由于线段 AB是定长线段，而 ABP的面积为定值，所以动点 P到线段AB的距离也是定值.由此可知空间 点P在以

21、AB为轴的圆柱侧面上.又 P在平面内运动，所以这个问题相当于一个平面去斜切一个圆柱(AB是平面的斜线段)，得到的切痕是椭圆. P的轨迹就是圆柱侧面与平面 a的交线.21.如图，动点P在正方体ABCD -A1B1C1D1的对角线BD,上过点P作垂直于平面 BB1D1D的直线，与正方BP=x , MN =y，则函数y = f(x)的图象大致是()分析：将线段 MN投影到平面ABCD内，易得y为x 一次函数.22.已知异面直线 a, b成60角，公垂线段 MN的长等于2,线段AB 线段AB长等于4，求线段AB中点的轨迹方程.两个端点B分别在a, b上移动，且简析：如图5, 点O分别平行于a、上，直线

22、易知线段AB的中点b的直线，AA'_a'于A', BB'_b'于B'，则AB、A'B' = P,且P也为A'B'的中点.a'、b'为平面:-内过MN的中由已知 MN=2 , AB=4，易知 AA'=1,AP =2,得A'B'=2、.3 .则问题转化为求长等于2、3的线段A'B'的两个端点A'、B'分别在a'、b'上移动时其中点P的轨迹.现以-A'OB'的角平分线为x轴,设 P(x,y) , |OA'|=m

23、,|OB'|=n ,n)则 A'( 3mm),B'( 3 n,2 2 2xm n),y (m _ n)43（mn）2-（m n ）2=（2.、3）2442消去m、n,得线段AB的中点P的轨迹为椭圆，其方程为 - y2 = 1 .9相互交汇和渗透,有利点评：例5和例6分别将立体几何与解析几何中的双曲线与椭圆巧妙地整合在一起, 于培养运用多学科知识解决问题的能力.i .在正方体ABCD-A 的形状为A .线段在正方体ABCD-AP所在曲线的形状为2.占八、3.占八、立体几何中的轨迹问题iBiCiDi的侧面ABi内有一点P到直线AB与到直线BiCi的距离相等，则动点B .一段

24、椭圆弧C .双曲线的一部分D .抛物线的一部分iBiCiDi的侧面ABi内有一点P到直线AB的距离与到直线 BiCi的距离之比为P所在曲线(则动)A 线段在正方体ABCD-AP所在曲线的形状为A 线段在正方体ABCD-AB .一段椭圆弧C .双曲线的一部分D .抛物线的一部分iBiCiDi的侧面AB!内有一点P到直线AB的距离与到直线 B£i的距离之比为则动)B .一段椭圆弧C .双曲线的一部分D .抛物线的一部分iBiCiDi中，E为AAi的中点，点P在其对角面BBiDiD内运动，若EP总与直线AC成等 角，则点P的轨迹有可能是A .圆或圆的一部分B.抛物线或其一部分C.双曲线或其

25、一部分(D .椭圆或其一部分5已知正方体 ABCD -AB.GD,的棱长为a,定点M在棱AB上(但不在端点A , B上)，点P是平面ABCD内的动点，且点 P到直线A,D,的距离与点P到点M的距离的平方差为a2,则点P的轨迹所在曲线为(A .抛物线B .双曲线6 .若三棱锥A BCD的侧面ABC内一动点 组成的图形可能是C .直线D .圆P到底面BCD的距离与到棱 AB的距离相等，则动点P的轨迹与 ()的曲线是A 圆B 椭圆C 双曲线D .抛物线8 .已知平面：/平面：，直线I二：J点P l ,平面、间的距离为4，则在1内到点P的距离为5且到直线9I的距离为一的点的轨迹是2A .一个圆B .两条平行直线9 .在四棱锥 P-ABCD中，AD _面PAB ,-APD二/CPB，满足上述条件的四棱锥的顶点A .圆B.不完整的圆iO.如图，定点 A和B都在平面:内，定点C.四个点BC _面PAB，底面P的轨迹是C.抛物线D.ABCD两个点为梯形，AD=4 , BC=8 , AB=6 ,()的动点.且PC _AC，那么动点C在平面:-内的轨迹是( A .一条线段，但要去掉两个点B .一个圆，但要去掉两个点C .一个椭圆，但要去掉两个点D .半圆，但要去掉两个点D.P一 P