第12章真空静电场.

1、大学物理电磁学ti磁学概述(electromagnetism )电磁学是研究电磁现象及规律的学科。即电磁学研究的是 电荷和电流产生电场和磁场的规律、电场和磁场的相互联系. 电磁场对电荷和电流的作用、电磁场对实物的作用及所引起的 各种效应等。电磁现象是自然界中普遍存在的一种现象，它涉 及的方面彳艮广，从人们的日常生活，到尖端的科学技术研究，无 一不和电磁学有关。电磁学内容按性质来分，主要包括“场”和“路”两部分. 这里我们侧重于从场的观点来进行阐述“场”不同于实物物质, 它具有空间分布，这样的对象从概念到描述方法，例如对矢量 场的描述方法及其基本特性引入“通量”和“环流”两个 概念及相应的通量定

2、理和环路定理，对初学者来说都是新的。2第12章真空中的静电场§ 12-1电荷库仑定律§ 12-2电场与电场强度§ 12-3高斯定理§ 12-4电势§ 12-5等势面与电势梯度§ 12-1 电荷库仑定律一、电荷的基本性质1.2.3.两种电荷在一个与外界没有电荷交换的电荷守恒定律 系统内，不管发生什么物理过程, 正负电荷的代数和保持不变.电荷量子化物体带电量的变化是不连续 的，它只能是元电荷e的整数 倍，即粒子的电荷是量子化的.密立根1923年诺贝尔物理学奖授予美 国科学家密立根，表彰他对基 本电荷和光电效应的工作.q = ne n =

3、±1，±2，±3,e = 1.602x10 I9C（库仑），为电子电量。5库仑定律,静电力的叠加原理6斥2=k-rX2r2 r21.库仑定律1785年，法国库仑(C.A.Coulomb)2.叠加性1怙 i1 Oi有理化单位制£=一 4矶真空介电常量0=8.85xl(T,2C2/(N- m2)例：按量子理论，在基态下，电子在半径r = 0.529X1O10m的 球面附近出现的概率最大。试计算在基态下，氢原子内电 子和质子之间的靜电力和万有引另，并比较两者的大小。 引力常数为 G=6.67 X 10-nNm2kg -2O解：按库仑定律计算，电子和质子之间的静

4、电力为#$ =8.89x1094碼厂=&22x107(1.60x1079)2(0.529 x 1O"10)2#应用万有引力定律，电子和质子之间的万有引力为F = 6.67x10"厂910亠 x 167 xlO® x (0.529 xlO"10)2= 3.63x1047N由此得静电力与万 有引力的比值为：F- = 2.26xI059F由此，在处理电子和质子之间的相互作用时，只 需考虑静电力，万有引力可以略去不计.在原 子结合成分子，原子或分子组成液体或固体时, 它们的结合力在本质上也都属于电性力.78§ 12-2电场电场强度 电场：1.

5、电场概念的引入电荷电场电荷2. 场的物质性体现在：a. 力的作用,b. 电场具有能量，c. 电场具有动量。历史上：超距作用（不需时间、不需媒介质）变化的电磁场以有限的 速度（光速）传播.场和实物是物质存在的不同形式.同：能量、动量.异：实物不可入性， 场可以登加3.电场性质（1）力的性质；对处于电场中的其他带电体有作用力；（2）能量的性质：在电场中移动其他带电体时，电场力要对 它作功。电场强度从力的角度研究电场JTZ单位正电荷（检验电荷）在电I 刁场中某点所受到的力。它与检验电荷无关，反映电场本身的性质。 电场中某点的电场强度等于单位正电荷在该点所 受的电场力。#电场强度的计算(1) 点电荷的

6、电场(2) 场强叠加原理和点电荷系的电场(3) 连续分布电荷的电场 点电荷的电场4兀£()rq 4 兀r电场强度叠加原理和点电荷系的场强戸=斥+戸2+=1=1£ =匚=5_+& + 二+丘% %=&+曳+E严工E电场强度叠加原理E =E,电场中任何一点的总场强等于各个点电荷在该点 各自产生的场强的矢量和。这就是场强叠加原理。电偶极壬：一对靠得很近的等量异号的点电荷。电偶极子(Electric dipole)11#电偶极矩(Electric dipole moment):场点Pl«r场点到原点距离为厂Pe =ql由指向介质分子电偶极子(模型)#例：求

7、电偶极子中垂线上一点的场强解:E4兀pr »I /; = r « r4兀厂4兀厂q i q用厂表示从灯到+g的矢 量，定义电偶极矩为：Pe=Ql例：讨论电偶极子在均匀电场中所受的作用力。解:设在均匀外电场中，电 偶极子电矩的方向与场强 方向间的夹角为"，作用在 电偶极子正负电荷上的力 的大小分别为F+、F,由于F+F.不在同一 直线上，故有力矩的作用M = f xF=qI xEM =PxE电偶极子在均匀外电 场中所受的合外力& = (),% 时， M=013任意带电体(连续带电体)电场中的场强:(1) 将带电体分成很多元电荷呦，先求出它产生 的场强的大小d

8、E和方向(2) 按坐标轴方向分解，求得d£,cl£,(3) (对带电体)积分，可得总场强：Ex=dEx Ey=dE Ez=dEz E注意：直接对dE积分是常见的错误 一般EdE14#dq= pdV(lq = bdSgo AV dV q dq(J = lim=A5-X)A5 dSdEdq = Adi2 = limAZ dl体密度面密度线密度13#yd = -d<94亦0。例：计算均匀带电荷直线(棒)在任意一点p的场强。(已知L, A > 0, a) 解：dq = Adi上1XdldE 4兀坯 rdEx = dEsmOdE、= dE cos(tt 9)=d£

9、;*cos& / = actg(疋一0)r = a2csc2O.dl = acsc2OdO.15E = J dEK - y -sin6W& =-（cos。】 -cosft） L也4亦004亦0。E的人小和方向可由瓦卫、,确定.讨论r YEx =（COS0 -COS&2）4犹/E、, =（sin 乞sin 9X）4齊）a 丿若 L > 8, 0 > 0，02 » 7C , 比=丄一2 兀£（）aEy=0L > oo,E =27rsa无限长均匀带电直线的场强17例：均匀带电圆环轴线上一点的场强。设圆环带电量为g, 半径为尺。解：dE=

10、dq . dEx = dEcosO4or2*dq由对称性Ex = E =0EJW燈严eCOS&.zLdcl 4矶广cos。 qlL qx4 眈JR，+，）当dq位置发生变化时，它所激发 的电场矢量构成了一个圆锥面.17讨论：x»R E =-例：均匀带电圆盘轴线上一点的场强。设圆盘带电量为g, 半径为尺。dqx解：dE=3/40(r2 +F)%E“)= °rdr=岛12勺(/?2 +x2)®dq =(j2m- dr分析方向!讨论：2当x»R兀RpE«° °4兀勺乂 4亦在远离带电圆面处，相当于点电荷的场强讨论：1 当x

11、«R E = $2£。相当于无限大带电平面附近的 电场，可看成是均匀场，场强垂直 于板面，正负由电荷的符号决定。附录泰勒展开：X =（1+牛）吆十昇）x22 x(Q + F)%19练习：计算半径为R均匀带电量为q的半圆环中心o点的场强。=0匹=丄.翌4兀务R-1dEx = dEcosO =4兀1dEx =dEsn6 =竺 sin。R或者分析对称性!q p_ q 7 2兀一 2沪勺/?2 J19思考均匀带电直线（电荷线密 度为人）农度为，与另一拓匀 带电长直线（电荷线密度为禺） 共面放置，如图所示，求该均 匀带电直线受的电场力。解：取“XdF = Edq=一dx2兀£

12、;屮2兀£心21a+ba九dx =2亦0兀入2八 a+bIn2亦0 a#电场线1用一族空间曲线形象描述场强分布电 场线(electric field line)或 电力线2 规定方向：电力线上每一点的切线方向； j定性疏密大小：i定量垂直面积规定条数 1走量规定：在电场中任一点处，通过垂直于场强 E单位面积的电场线数等于该点电场强度的数值。2221#匀强电场§ 12-3高斯定理1.电场强度通量均匀电场中穿过与电场垂直的平面s的电场线总数，称 为通过该平面的电场强度通量。由电场线的定量规定有現=ES将上式推广至一般面元若面积元不垂直电场强度-由图可知：通过dS和dS丄电力线条

13、数相同。#= EdS丄=Ed Seos 0 令 dS =dSnde=EdS定义：面积元矢量 dS=dS-h 大小即面元的面积 方向取其法线方向23任意曲de=E-dS=Jd=£Ed5不闭合曲面:24面元的法向单位矢量可有两种 相反取向，电通量可正也可负；闭合曲面：规定面元的法向单位矢量取向外为正。#23#闭合曲面：规定面元的法向单 位矢量取向外为正。穿入：7T-<e<jc, dp <o2 °穿出：7TO<0<-.叱>02de = E-(S = EclScosO通过整个封闭曲面的 电通量就辛于穿出和 穿入该封闭曲面的电 力线的条数之差。25

14、2.高斯定理(1)当点电荷在球心时25(2)任一闭合曲面S包围该电荷 在闭合曲面上任取一面积TGdS,通过面元的 电场强度通量-d屮=E dS = v-S = cos0dS'47T£q广 r4兀£<dSdS9dSf = dS cos04亦o r2是dS在垂直于电场方向的投影。 dS对电荷所在点的立体角为 ”2 =啤 d,=-d/2r2°4 矶典=厲 - JJ di?= 一 厲一 x 4” = 4亦o s勿勺£o锥体的顶角|d/2| _/ q 厂2 ；半径为单位长、 丿度的球面s4欣2 - = 4.R2 /=S7（3）闭合曲面S不包围该电荷闭

15、合曲面可分成两部分S s2,它们对点电荷张的立体角绝 对值相等而符号相反。dS' dS = dS cos& d/2 = 广dS7 : 0 < < dQ>() 2 2 2dSt :<0 <n t2ci©】vOd 0 = d 昭 +d Q = 0P, =-gdQ = O4兀虽s2728#S 内 $0£（）s 内（4）闭合曲面S包围多个电荷同时面外也有多个电荷你+皿.由电场叠加原理E =£&+ ±Eniz=li=k+l约粧ds«一一川_讪耳dS +工彌dSZ=1 Si=k+ s29(1) 当点电荷

16、在球心时, = p-ds = S%(2) 任一闭合曲面S包围该电荷.=p.dS = - s%(3) 闭合曲面S不包围该电荷(.=§£-dS = OS(4) 闭合曲面S内包围多个电荷qg,同时面外也有多个电荷qk+l-q_ 一 1竹你dS = 工s0 s 内29高斯定理：在真空中，静电场通过任意闭合曲面的电通量，等于面内所包围的电荷电量代数和除以真空介电常数。=丄工G点电荷系S$0 S 内=p.d5 = -fvp-dV 连续分布带电体s£()高斯定理表明静电场是有源场，电荷就是静电场的源。注意：虽然电通量只与高斯面内电荷有关，但是面上电场却与面内.面外电荷都有关。3

17、0高斯定理和库仑定律的关系 高斯定理和库仑定律二者并不独立。高斯定理可以 由库仑定律和场强叠加原理导出。反过来，把高斯定理 作为基本定律也可以导出库仑定律。 两者在物理涵义上并不相同。库仑定律把场强和电荷 直接联系起来，在电荷分布已知的情况下由库仑定律可以 求出场强的分布。而高斯定理将场强的通量和某一区域内 的电荷联系在一起，在电场分布已知的情况下，由高斯定 理能够求出任意区域内的电荷。 库仑定律只适用于静电场，而高斯定理不但适用于静 电场和静止电荷，也适用于运动电荷和变化的电磁场.问题：=乙()i 当通过高斯面的电场强度通量为零时，是否意味着高斯 面内没有电荷?是否意味着高斯面上各点的场强都

18、为零？ 答：当通过高斯面的电场强度通量为零时，意味着高斯面 内没有净电荷。高斯面上各点的场强并不一定都为零。 高斯面上各点的场强与高斯面外的电荷有无关系？ 答:通过高斯面的电场强度通量仅与高斯面内电荷有关，但高斯面上各点的场强却与高斯面内外电荷都有关。 当电荷分布已知时，能否用高斯定律求场强分布?如果 能，在什么情况下？答：当带电体电荷分布具有对称性时，可以用高斯定律求场强。32高斯（Carl Friedrich GaussJ7771855）徳国数学家、天文学家、物理 学家。童年时就聪颖非凡，10岁发现等差数列公式而令教师惊叹。因家境贫 寒，父亲靠短工为生，靠一位贵族资助入格丁根大学学习。一年

19、级（19岁） 时就解决了几何难题：用直尺与圆规作正十七边形图。1799年以论文所有 单变数的有理函数都可以解成一次或二次的因式这一定理的新证明获得博 土学位。1807年起任格丁根大学数学教授和天文台台长，一直到逝世。在物理学的研究工作，他涉及诸多方面。1832年提出利用三个力学量： 农度、质量、时间（长度用髦米，质量用亳克，时间用秒）量度非力学量， 建立了绝对单位制，1835年在量纲原理中给出磁场强度的量纲。1839年 在距离平方反比的作用引力与斥力的一般理论中阐述势理论的原则，证 明了一系列定理，如高斯定理，并研究了将其用于电磁现象的可能性。为纪念他在电磁学领域的卓越贡献，在电磁学量的CGS

20、单位制中，磁感 应强度单位命名为高斯。古希腊的阿基米徳，英国的牛顿，和徳国的高斯他们三个对数学的发 展做出了不可估量的贡献是其他人无法相比的有一个共同点都是通才. 也都在物理上有很大的贡献可见物理和数学是分不开的.333.高斯定理的应用|=:34只有当电荷和电场分布具有某种对称性时， 才可用Gauss定理求场强.步骤：（1）由电荷分布对称性分析电场的对称性（2）据电场分布的对称性选择合适的闭合曲面(3)应用Gauss定理计算场强.#关键：选取合适的闭合曲面（Gauss面）#例：求均匀带电球面的电场（乩g）解：电荷分布球对称性n36#例：均匀带电球体的电场（球半径为；?，体电荷密度为Q） o解：

21、电场分布也应有球对称性，方向沿径向。作同心且半径为厂的高斯面 甘Edf =岔Xis匸E = Nq ,4兀厂2厂vR时，高斯面内电荷E Er关系曲线4= J/xiV = p尹 3 厂7?时，高斯面内电荷L 4 3=p护#思考计算真空中半径为&电荷电量体密度为仅刀二好 仏是常量）球体的场强分布。dV=4nr，2dr#_ 1 RE-dS = f kr7rr2dr 殊*0 o心” E-dS=丄 JJJ pdV = J krdr 甘 E 血*0九&0 0k厂2374勺38#例：求无限长均匀带电圆柱面的电场分布（&刀 解： = U-dJ彳侧E"十匸底£心十匸底E

22、心丄(加)*002兀0(r > R)(rvR)(厂 > R)(r < R)#例：求无限大均匀带电平面的电场分布（已知B解:=2E S+0 =丄(b S)习)39上爲考,两无限大带电平面的电场II:E = E+E十lEl/0QE_ 邑 EE+E(I) " (H) Y (III)E = ± 方向与平面垂直.40练习：一个内外半径分别为4和的球壳，壳内电荷体密 度p = Air, 4为常数，厂为球壳内任一点到球心的距离。 球壳中心有一个点电荷0。求力为多大时，才能使 区域中的场强大小恒定？解：设P为壳内距球心为 厂的任意一点，过P点 作同心球面S,为 Gauss

23、 面，贝U内41Qf乙0丄EdS = 内_电e = eq+eq.初内为s内包围的电荷，而非Q + 0!4 亦（）”27vA 27rAa24犹o 4兀2q内=Q + vP-dv = Q + £ -47rr2dr =Q + 44-i（r2 -a2） - 2 Q 2c42°、E 4” = l（广 一/）£（） %若要E = const.只须Q _ InAcr4 亦（/'4 亦（/'42前面，我们从电荷在电场中受到电场力这一事实 出发,研究了静电场的性质，并引入电场强度作为描述 电场这一特性的物理量。而高斯定理是从E的角度反 映了通过闭合面的E通量与该面内

24、电荷量的关系，揭 示了静电场是一个有源场这一基本特性。下面我们从电荷在电场中移动，电场力对电荷作 功这一事实出发，引入描述电场性质的另一物理量一 电势，导出反映静电场另一特性的环路定理，从而 揭示静电场是一个保守力场从功能的角度来研究 静电场的性质。43§12-4电势1. 静电场力的功显然，在点电荷弟成的电场中，电场力作功与路卷L无关， 只与路卷E的桎点终点1立*关，故好电场力是保守力。441.2任意带电体系的电场将带电体系分割为许多电荷元，根据电场的叠加性E =£+£2 +£电场力对试验电荷做功为A = q（J：EdF =qEdT + + 减&=£+人+ &总功也与路径无关。结论：试验电荷在任意给定的静电场中移动时，电场力对 久做的功仅与试验电荷的电量及路径的起点和终点位置