第1章解三角形正弦定理和余弦定理章末整合章末检测下

1、章末整合对点讲练一、正、余弦定理解三角形的基本问题【例1 在厶ABC中，(1)已知 a =J3, b=J2, B= 45 ° 求 A、C、c；已知 sin A : sin B : sin C= ( 3 + 1) : ( 3 1) :10,求最大角.点拨(1)已知两边及其中一边对角，先利用正弦定理求出角A,再求其余的量.(2)先由sin A : sin B : sin C= a : b : c,求出a : b : c,再由余弦定理求出最大角.解(1)由正弦定理及已知条件有_ .2sin A sin 45得 sin 人_爭,T a>b, / A>B _ 45° /

2、A_ 60°或 120°当 A_ 60°寸，C_ 180° 45° 60° _ 75° c_ 竺聲” A CZ oC,sin B sin 452当 A_ 120°时 C_ 180。 45。 120。_ 15° c_空皿_屆迅_°sin B sin 452根据正弦定理可知a : b : c_ sin A : sin B : sin C_ ( . 3+ 1) : ( . 3 1) : . 10,边c最大，即角C最大.设 a_ (1:3+ 1)k, b_ ( 3 1)k, c_10k,则cos C_诗

3、_曲為+儒!严2回顾归纳已知三角形的两边和其中一边的对角，应用正弦定理解三角形时，有时可能出现一解、两解或无解情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况, 作出正确取舍.?变式训练 1 (1) ABC 中，AB_ 1 , AC_ ,3，/ C_ 30° 求厶 ABC 的面积； 已知a、b、c是厶ABC中/ A、/ B、/ C的对边，S是厶ABC的面积.若 a_ 4, S_5.3,求c的长度.(1) 1_ 专, sin B_F, B_ 60。或 120°sin 30 sin B2B_ 60 时，A_ 90 , - BC_ 2,此时，Saabc _ "

4、.B_ 120°时，A_30° Saabc_ 1/3x 1X sin 30 _申.综上， ABC的面积为 于或；31 3(2) t S_ 2absin C, sin C_ 2，于是 C_ 60°或 C_ 120°.当 C _ 60°寸，c2_ a2 + b2 2abcos C _ a2+ b2 ab_ 21, c_ 21;当 C_ 120°时，c2_ a2+ b2 2abcos C_ a2 + b2 + ab_ 61, c_ ,61. c 的长度为，21 或 一 61.二、正、余弦定理在三角形中的应用【例2】 在厶ABC中，a、b、c

5、分别是/ A、/ B、/ C的对边长.已知 b2_ ac且a2 c2_ ac bc.(1)求/ A的大；(2)求bsin B的值.点拨 (1)利用cos A = ba求解;2bc(2)利用正弦定理对代数式 竺严进行转化.解 / b2= ac 且 a2 c2 = ac bc, / a2 -c2= b2 bc, 2,2 2.422b +c a bc 1-b + c a bc, - - cos A, A= 60°2bc 2',“亠宀bsin A , 2b由正弦疋理得：sin B =, - b = ac,一：aa.bsin B3 = sin A= sin 60 =c2 -1 1(2)

6、方法一 在 ABC中,bsin A c sin A sin B=,b2bcc b.方法二 在厶ABC中，由面积公式得：bcsin A=acsin B.22_ bsin B3/ b = ac, bcsin A= bsin B = sin A= sin 60 =牛c2 '回顾归纳(1)在三角形的三角变换中，正、余弦定理及勾股定理是解题的基础.目中同时出现角及边的关系，往往要利用正、余弦定理化成仅含边或仅含角的关系.(2)要注意利用 ABC中A+ B + C= n,以及由此推得的一些基本关系式：B+ ca如果题sin (B+ C)= sinA, cos(B+ C) = cos A, tan(

7、B+ C) = tan A, sin = cos 等，进行三角变换的运算.B+ c7?变式训练2 在厶ABC中，a、b、c分别为角 A、B、C的对边，4sin cos 2A=-.(1)求/ A的度数；若a= . 3, b + c= 3,求b、c的值.B + ca解 / B + C= 180° A,= 90° A.由 4sin cos 2A = 一，得 4cos2 cos 2A = 一，2 2 2 2即 2(1 + cos A) (2cos2 A 1)=孑整理得 4cos2A 4cos A + 1= 0. cos A =-，又 0°A<180。， A = 60

8、°.(2)由A= 60 °根据余弦定理得- b?+ c? a?= bc, "a = <,-'3,2,222,22b + c a Rri b + c a cos A =，即=2bc2bc又 b+ c= 3, b'+ c'+ 2bc= 9,bc= 2.由b + c= 3bc = 2，解得P= 1lc= 2c= 1- b? + c? bc= 3.三、正、余弦定理在实际问题中的应用【例3】A、B、C是一条直路上的三点， AB = BC= 1 km ,从这三点分别遥望一座电视发射塔P, A见塔在东北方向，B见塔在正东方向，C见塔在南偏东60&#

9、176;方向.求塔到直路的距 离.M、N、Q.如图所示，过 C、B、P分别作CM丄I, BN丄I, PQ丄I，垂足分别为 设 BN=x，贝V PQ=x , PA=、2 x./ AB=BC , CM=2BN=2x , PC=2x.在厶PAC中，由余弦定理得2 2 2AC =PA +PC -2PA PC cos 75°,即 4=2x2+4x2 - 4 '、2x2 62，解得 x2= 243)，过 P 作 PD 丄 AC ,垂足为 D ,413则线段PD的长为塔到直路的距离.1 1在厶 PAC 中，由于一 AC PD= PA PC sin 75 ° ,2 2PA PC s

10、in 7502、2x2 sin 75022(43) , 627 5 3AC(km).13得PD二134km.答塔到直路的距离为 75 313回顾归纳(1)解斜三角形应用题的程序是：准确地理解题意；正确地作出图形(或准确地理解图形)；把已知和要求的量尽量集中在有关三角形中，利用正弦定理和余弦定理有顺序地解这些三角形；根据实际意义和精确度的要求给出答案.(2)利用解斜三角形解决有关测量的问题时，其关键在于透彻理解题目中的有关测量术语.?变式训练3B如图所示，当甲船位于 A处时获悉，在其正东方向相距 等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西 乙船，设乙船按方位角为0的方向沿直线前往B

11、处救援，求解 在厶 ABC 中，AB=20 , AC=10，/ BAC=120 ° , 由余弦定理知：BC2=AB 2+AC2-2AB AC cos 120°221=20 +10 -2X 20x 10X II 2丿由正弦定理得ABBCsin ZACB20海里的B处有一艘渔船遇险 30°,相距10海里C处的 B的值.sin22=700. a BC=107 .sin BAC 'AB20J21a sin / ACB= sin / BAC= = sin 120° =BC 27a cos/ ACB=.7a sin 0 =sin( / ACB+30213 2

12、17272课堂小结：10、7)=sin / ACB cos 30° +cos / ACB5.7? 14-sin 30 °1. 正弦定理揭示了三角形的两边和对角的关系，因此，可解决两类问题：(1) 已知两角和其中任一边，求其他两边和一角，此时有一组解.(2) 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他解， 其解不确定.2. 余弦定理揭示了三角形中两边及其夹角与对应边的关系，是勾股定理的推广，它能解决以下两个问题：（1）已知三边，求其他三角，其解是唯一的.（2）已知两边及它们的夹角，求第三边及其他两角，此时也只有一解.3正、余弦定理将三角形的边和角有机地联系起

13、来，从而使三角形与几何产生了联系，为求与三角形有关的量（如面积、外接圆、内切圆 ）提供了理论基础，也是判断三角形形状、 证明三角形中有关等式的重要依据.课时作业一、选择题1.在 ABC 中，A= 60 ° a= 4寸3, b= 4寸2,贝U B 等于（）D.以上答案都不对A . 45。或 135 ° B . 135 ° C . 45 ° 答案 C解析 sin B = b如='，且 b<a,a 2已知 cos Acos B>sin Asin B,UA ABC 是（）B .直角三角形C .钝角三角形D .等腰三角形 B= 45°

14、.2 .在 ABC 中，A .锐角三角形 答案 C解析 cos Acos B>sin Asin B? cos(A+ B)>0, A+ B<90° ,3. (2008福建)在厶ABC中，角A、ac,则角B的值为()nA.：6 n j、. 5 nC：或6 6 答案 D 解析/ (a2+ c2 b2)tanB =a2+ c2 b23 2acta nB= T,即 cosB tanB= sinB =2 -I 0<B<n, 角B的值为3或牛4. 在 ABC 中，A= 60° AC= 16,A. 25B. 51答案 DB、C的对边分别为a、.090°

15、;, C为钝角.b、c,若(a2+ c2 b2)tanB= . 3nB.32 n或I面积为220 .3，那么C. 49 .3BC的长度为（）D. 49解析 Ssbc= |aC X AB X sin 60 =|x 16 X ABX = 220 3, . AB = 55. .BC2=ab2+ac2-2abx accos 60=孙僭-2x 16x 55 x i=2 401BC = 49.5. （2010广东东莞模拟） ABC中，下列结论：a2>b2+贰则厶ABC为钝角三角形；a2= b2+ c2 + be,则A为60°a2+ b2>c2，则 ABC 为锐角三角形；若 A : B

16、 : C= 1 : 2 : 3,贝U a : b : c= 1 : 2 : 3.其中正确的个数为（）A . 1B. 2C. 3D. 4答案 A解析 由a2>b2+ c2知A为钝角，正确；由a2= b2+ c2+ bc知A= 120°错；由a2+ b2>c2，仅能判断C为锐角，A、B未知，错；由A : B : C = 1 : 2 : 3,知A = n,6 B = n C = n, sin A : sin B : sin C = 2 :申：1 = 1 :寸3 : 2,错所以仅 正确.3 222二、填空题6. 三角形两条边长分别为3 cm,5 cm,其夹角的余弦是方程5x2 7

17、x 6= 0的根，则此三角形的面积是.答案 6 cm2 解析 由 5X2 7x 6= 0,解得 Xi= 3, X2= 2.53 X2 = 2>1，不合题意.设夹角为0,贝y cos 0= 354 142得 sin 0= , S= - x 3 x 5 x -= 6 (cm )5 25、丿.b= 1, Saabc = ,3,则asin A7. 在 ABC 中，A= 60 ° 答案务393解析 由 S= |bcsin A = ?x 1 x ex 于=.3, c = 4. a = ,b2 + c2 2bccos A= 12+ 42 2x 1 x 4cos 60 °= 13.

18、a = 2a/39 sin A= sin 60 =3 .&一艘船以20 km/h的速度向正北航行，船在A处看见灯塔B在船的东北方向,船在C处看见灯塔B在船的北偏东75°的方向上，这时船与灯塔的距离BC等于 _答案 20 2 km解析如图所示,北BC AC sin 450 sin 30° '25.4 BC= AC 0 x sin 45 ° = 202sin 30012 '2=20 2 (km).三、解答题9. (2009广东广州一模)已知 ABC的内角A、B、C所对的边分别为a, b, c, 且 a = 2,cos B=35.25.4(1)若

19、b = 4,求sin A的值；若 ABC的面积Sabc = 4,求b, c的值.解 (1) T cos B = 5>0，且 0<B< n, sin B= p 1 - cos2B= 5.25.4由正弦定理得asin Asin Bsin A=as in Bb42x 425.41 14(2) / &abc= acsin B= 4, /2 x cx = 4, / c= 5.2 25由余弦定理得 b2= a2 + c2-2accos B = 22+ 52- 2x 2 x 5x |= 17, / b= 17.耸6 cos B=/, AC上的中线 BD = 5,求sin A的值.3

20、6DE，贝U DE / AB，且 DE = AB =孕，设 BE= x.23BD2 = BE2+ ED2-2BE EDcosZ BED ,10.在 ABC中，已知 AB =解设E为BC的中点.连接在厶BDE中利用余弦定理可得:5= x2 + 8 + 2X乎xfx，解得x = 1, x=- 7(舍去).故 BC= 2,从而 AC2 = AB2+ BC2- 2AB BC cos B= 28,即卩 AC32 '213 .2佰又 sin B = °，故，sin A = £°.6 sin A 侦,146为30°章末检测一、选择题（本大题共12小题，每小题5

21、分，共60分）1 .在 ABC 中，c= 2,贝U bcos A + acos B 等于（）A . 1B. .2C. 2答案 B2 .设甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为则甲、乙两楼的高分别是（20逅 m,m60 °B. 10.3 m,20 ,310（ ,3- 2） m,20 3 m答案 A3.在 ABC中，角 A、B、C的对边分别为 a、b、c,若 值为（nA6答案从甲楼顶望乙楼顶的俯角ma2 + c2- b2= 3ac，则角 B 的nB3n 、. 5 nC.6 或?n 、. 2 nD.3 或 72 2 2 / a2+ c2- b2= .3ac, cos B=心_ 禺

22、並B=n2ac 2ac 2 '6.4.已知 ABC 中，sin A : sin B : sin C = k : (k+ 1) : 2k,贝U k 的取值范围是()A . (2,+s )B . ( a, 0)1c11, 0d. 2，匕解析C.答案 D解析 由正弦定理得：a= mk, b = m(k+ 1), c= 2mk(m>0),fm(2k+ 1)>2mk即3mk>m(k+ 1)a + b>ca + c>b，二 k>1.5.在厶ABC32A答案解析中,AB=3 , AC=2 ,2B. - 2BC= . 10 ,则 BA AC 等于()3 D.22C.

23、3由余弦定理得 cos A= AB土AC二BC= 9+ 4 -10122AB C14.t t ti 3AB AC= |AB| |AC| cos A= 3X 2 X 4 =_一 t t t 3 BA AC = AB AC =6从高出海平面h米的小岛看到正东方向有一只船俯角为30 °看到正南方向有一只船（ ）C. .3h 米俯角为45°则此时两船间的距离为A . 2h 米B. 2h 米答案解析30°如图所示，、3h, AC=h , AB= . 3=2h.7 .在锐角厶ABC中，有（A . cos A>sin B 且 cos B>sin AC. cos A&

24、gt;sin B 且 cos B<sin A答案 B解析由于A + B>n得A>n B,BC=cos A<sin B 且 cos B<sin A cos A<sin B 且 cos B>sin A即 n>A>n_ b>0y= cos x在0,才是减函数，所以得 cos A<sin B.同理可得 cos B<sin A. &在 ABC 中，已知 a=/5, b = （T5, A= 30 ° 贝U c 等于（）A . 2 5 B. .5 C. 2 5或5 D .以上都不对答案 C解析 因 a2= b2 + c

25、2 2bccos A, 5= 15+ c2 2再 X cX 爭.化简得：c2 3.5c+ 10= 0,即（c 2 5）（c 一 5） = 0, c= 2 5或 c=, 5.a = 8, b= 16, A= 30 ° 有两解 b = 18, c= 20, B = 60° 有一解a = 5, c= 2, A = 90 ° 无解a = 30, b = 25, A = 150 ° 有一解9. 根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是（）A .B .C.D .答案 D解析 A中，因七=七，所以sin B = 16X 丁 30 =1sin A sin B8 B

26、 = 90°,即只有一解；B 中 sin C= 20sin860 =字且 c>b, C>B，故有两解；C 中，T A= 90°, a= 5, c = 2 b = a2 c2= 25 4 = 21，即有解，故 A、B、C都不正确.10. 在某个位置测得某山峰仰角为 0,对着山峰在平行地面上前进 600 m后测仰角为原 来的2倍，继续在平行地面上前进 200 ,3 m后，测得山峰的仰角为原来的 4倍，则该山峰 的高度是（）A . 200 m B . 300 m C. 400 m D. 100 . 3 m答案 B解析如图所示，600 sin 2 0= 200 . 3

27、sin 4 0600200/y600200j7J3_ cos 2 0 =, 0 =15 °,. h=200 . 3 sin 4 0 =300 (m).211若泌=C0SB=运，则厶ABC是() a b cA .等边三角形B .有一内角是30。的直角三角形C .等腰直角三角形D .有一内角是30。的等腰三角形答案 Csin A cos B解析/=, acos B= bsin A,a b 2Rsin Acos B= 2Rsin Bsin A,2Rsin A丰 0. cos B = sin B, B= 45°.同理 C= 45° 故 A= 90°.n12.A

28、ABC 中，A= 3,BC = 3,则厶ABC的周长为（）C. 6sin3A . 4 . 3sin B +3B+3D. 6sin B +3答案 D解析 A= n，BC = 3,3由合分比定理知 BCx,由正弦定理知-BC-= 笠=上bc= 2R, sin A sin B sin C即=sin A sin A+ sin B + sin C'33 ,+ sin B + sin C2 2设周长为AB + BC+ AC 2sin B+ si n(A+ B) = x,(B + 訂=3+ /3sin B+ sin Bcos cos Bsin f 1、(3y!3、=3 + 2 3 sin B + i

29、n B + 亏cos B = 3+ 2 . 3 in B + _cos B=3 + 6 sin B+ |cos B =即 x= 3 + 2 3sin B + sin'3cos B = 3+ 2 . 3 sin B +3+ 6sin 也+二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）2a b c13.在 ABC 中, sin A sin B sin C 答案 014.如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A、B,望对岸标记物 C,测得/ CAB=30 °，/ CBA=75 ° , AB=120 m，则河的宽度为答案 60 m解析 在厶 ABC 中，/ CAB

30、=30 °，/ CBA=75 ° , / ACB=75 ° / ACB= / ABC. AC=AB=120 m.宽 h=AC sin 30 ° =60 m.15. A ABC的三边长分别为 3、4、6，则它的较大锐角的角平分线分三角形的面积比为答案 1 : 2解析不妨设a= 3, b = 4, c= 6,C为钝角，则B为较大锐角，设2 2 2 cos C = 3+ 4 6 =2X 3 X 41124<0.B的平分线长为m,则和 S2= 2X 3 m sin B : 2X 6 m 嗚=1： 2.16. 在 ABC中，若A>B，则下列关系中不一定

31、正确的是 sin A>si n B cos A<cos B sin 2A>si n 2B cos 2A<cos 2B 答案解析 在厶ABC 中，A>B, sin A>sin B, cos A<cos B. 1 2sin A<1 2sin B, / cos 2A<cos 2B.三、解答题（本大题共6小题，共74分）417. （12分）在厶ABC中，角A、B、C所对的边长分别是 a、b、c,且cos A=-.(1)求 sin2(2)若 b = 2, 解(1)si n224 T cos A= 5,B + c-+ cos 2A 的值； ABC的面积

32、S= 3,求a.B + C1 cos(B + C)1 + cos A 259卜 cos 2A =r1 + cos 2A =2+ 2cos2 A 1 =丽3 sin A= 5.113由 Saabc= bcsin A，得 3= f 2cX5,解得 c= 5.由余弦定理 a2= b2+ c2 2bccos A,可得a2 = 4 + 25 2X 2 X 5X 5= 13, - a= ：13.518. （12分）（2008海南、宁夏）如图所示， ACD是等边三角形， ABC是等腰直角三角形，/ ACB=90 ° , BD交AC于 E, AB=2.(1)求 cos/CBE 的值；求AE.解 (1

33、)因为/ BCD=90 ° +60° =150° / CBE=15 ° . cos / CBE=cos(45 °,CB=AC=CD ,-30° )=-4在 ABE中，AB=2，由正弦定理得AEABsin ABE 一 sin AEBAEsin(45° -150)2故 AE= 2sin3O0sin(90° 15°) 'cos1弓19. （12分）（2009辽宁）如图,BA、B、测 量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°、30°,于水面C处测得B点和D点的 仰角均为60

34、76;, AC=0.1 km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求 D的距离（结果保留根号）.解 在厶 ACD 中，/ DAC=30。，/ ADC=60 ° - Z DAC=30 °，所以 CD=AC=0.1. 又/ BCD=180 °-60°-60° =60° ,故CB是厶CAD底边AD的中垂线，所以 BD=BA.在厶 ABC 中， ABAC -,si nNBAC si nN ABC所以 AB=ACsin60 3 26sin 15°一 20,3血 + 76故B、D的距离为km.2020. (12分)在厶ABC中，A最大，解 在厶ABC中，由正弦定理得, BD亠6 (km).20C最小，且a csin A sin C aa2 + b2 c2即cos C =云由余弦定理得 cos C= 莎2 2 1 2a ac+ 4(a+ c)T 2b = a+ c,丁 =2ca + c2a 2-整理得 2a3 3a2c 2ac2+ 3c3 = 0,A= 2C，a + c= 2b，求此三角形三边之比. a=款=瞪=2cos C，3即(a+ c)(a c)(2a 3c) = 0,解得 a =- c(舍去)，