计算方法ppt课件

1、华长生制作1课件制作:数学与决策科学系 计 算 方 法 华长生制作2江西财经大学数学与决策科学系制作:华长生第六章 逐次逼近法华长生制作3第六章 逐次逼近法 6.1 基本概念基本概念 6.2 线性方程组的迭代法线性方程组的迭代法 6.3 非线性方程组的迭代法非线性方程组的迭代法 6.4 矩阵特征值问题的数值算法矩阵特征值问题的数值算法 6.5 迭代法的加速迭代法的加速华长生制作4本章要点本章主要介绍线性方程组的迭代法、非线性方程组的数值方法主要方法基本迭代法、G-J迭代法、G-S迭代法、Newton迭代法、SOR方法和Aitken加速方法P264. 2. 4. 9. 11. 14. 17. 2

2、1(3). 29.本章作业华长生制作5 6.1 基本概念基本概念范数是对向量和矩阵的一种度量,实际上是二维和三维向量长度概念的一种推广数域:数的集合,对加法和乘法封闭线性空间:可简化为向量的集合,对向量的加法和数量乘法封闭,二维向量和三维向量都可以度量其大小和长度高维向量的长度能否定义呢?也称为向量空间华长生制作6定义1., xRnn中任意一个向量维向量空间对于一、向量和矩阵的范数对应，且满足与若存在唯一一个实数xRx ;00,0)()1(xxRxxn且正定性;,)()2(RRxxxn，齐次性.,)()3(nRyxyxyx，三角不等式.的范数为向量则称xx定义中的向量范数可以类似对于复线性空间

3、nC华长生制作7TnnnxxxxCR),(,)(21设中在向量空间的范数有常用的向量 x2x2122221)(nxxx范数或欧氏范数的 2x1xnxxx21范数的1xxinix1max范数或最大范数的x-(1)-(2)-(3)华长生制作8pxppnppxxx121)(1,ppx范数的2x和1x显然时的特例和在是21ppxp并且由于ppnppxxx121)(inix1maxppinixn11)max(inipxn11max)(max1pxinix所以的特例也是px-(4),(时pxxp12xxx且华长生制作9例1.求下列向量的各种常用范数Tx)1,3 ,4 , 1(解:1x421xxx92x21

4、242221)(xxx3327 xiix41max4华长生制作10定义2.,ARnn中任意一个矩阵对于空间对应，且满足与若存在唯一一个实数ARA ;00,0)()1(AARAAnn且正定性;,)()2(RRAAAnn，齐次性.,)()3(nnRBABABA，三角不等式.的范数为矩阵则称AA定义中的矩阵范数可以类似对于复空间nnC.,)4(nnRBABAAB，华长生制作11例2.nnijaAn)(阶方阵设21112ninjijFaA设不难验证其满足定义2的4个条件是一种矩阵范数因此FA称为Frobenius范数,简称F-范数2121)()(TTFAAtrAAtrA而且可以验证tr为矩阵的迹-(5

5、)-(6)类似向量的 2-范数华长生制作12为一种向量范数设,nnnRARx令有最大值对所有的则,0 xxAxxAxAx 0max个条件的满足定义可以验证42A定义3.-(7)的矩阵范数范数称为从属于给定向量式确定的由xA)7(简称为从属范数或算子范数华长生制作13xAAx显然，由定义不难推出定义4., 和矩阵范数对于给定的向量范数都有若,nnnRARxxAAx.相容和矩阵范数则称所给的向量范数由(8)式,可知算子范数和其对应的向量范数是相容的-(8)-(9)华长生制作14根据向量的常用范数可以得到常用的矩阵算子范数1101max)1(xAxAxniijnja11max,大值的每列绝对值之和的

6、最A的列范数称AxAxAx0max)2(njijnia11max,大值的每行绝对值之和的最A的行范数称A2202max)3(xAxAx)(maxAAT大值的特征值的绝对值的最为AAAATT)(max范数的称2A-(10)-(11)-(12)华长生制作15例3. 21112ninjijFaA是不是算子范数范数的判别矩阵FAFrobeniusA解:范数为的FA类似于向量的2-范数的算子范数并不是从属于但2xAFI考虑单位矩阵FInxIxIx0maxxxx0max1华长生制作16的矩阵范数数是不从属于任意向量范因此FA数并不完全是一回事故而矩阵范数和算子范不过222xAAx2112ninjijFaA

7、2121)()(TTAAtrAAtr2A)(maxAAT2xAFFA相容与因此2xAF华长生制作17例4.求矩阵A的各种常用范数110121021A解:1Aniijnja11max25234252 ,5 ,2max1njAnjijnia11max42 ,4 ,3max1ni2A)(maxAAT由于华长生制作18的特征值因此先求AATAAT110121021110122011211190102特征方程为)det(AAIT2111901020的特征值为可得AAT9361. 0,9211. 2,1428. 9321华长生制作191428. 9)(maxAAT2A)(maxAAT0237. 3FA)(

8、AAtrT2926056. 31AA2AFA容易计算计算较复杂对矩阵元素的变化比较敏感不是从属范数较少使用使用最广泛性质较好华长生制作20定义5.称的特征值为设,21nnnRA,max)(21nA的谱半径为矩阵A,Ax 和算子范数对于某种向量范数xAAxxAxx而因此xxA-(13)显然2A)(maxAAT)(AAT华长生制作21AAA )(任何一种算子范数的谱半径不超过矩阵的即矩阵A即所以定理1.,nnnnRBR上的一种算子范数是设且非奇异则满足若, 1BIBBBBI11)(1-(14)证明略)(1, 1,11摄动定理可逆，且则且且可逆推论：设CCCARCARAnnnn华长生制作22定义6.

9、,的良态否则称为阵矩病态为的病态则称该方程组是巨大变化就会引起方程组解的的元素的微小变化常数项或如果系数矩阵对于线性方程组AbAbAx 二、误差分析简介响的扰动对方程组解的影常数项b. 1为其精确解为非奇异矩阵为一线性方程组设xAbAx,xbb则解也应存在误差存在误差若常数项,即有bbxxA)(-(15)华长生制作23bxAbAx1bAx1bA1Axb xA bAx1bbAAxx1-(16)-(17)-(18)所以又因为可得(16)和(17)两式相乘,得相对误差华长生制作24(18)式表明,由常数项产生的误差,最多可将解的相对误差放大 倍1 AA响的扰动对方程组解的影系数矩阵A. 2bxxAA

10、)(xAA则解也应存在误差存在误差若系数矩阵,0 xAxAxAxAxAA)(在上式能直接使用范数吗？-(19)华长生制作25)()(1AAIAAA11AA如果假设则由定理1.,可知非奇异AAI1AAAAI11111)(且(19)式化为xAxAAIA)(1xAAAAIx111)(-(20)-(21)华长生制作26xAAAAIx111)(AAAAxx111AAAA111AAAAAAAA111-(22)定义7.称为非奇异矩阵设,A.,为某种算子范数其中的条件数为A1)(AAAcond-(23)华长生制作27显然1)(AAAcond1 AAI1即任意方阵的条件数必不小于1根据算子范数的不同也有不同的条件数:1111)(AAAcond1)(AAAcond2122)(AAAcond)(1)(minmaxAAAATT)()(minmaxAAAATT华长生制作28bbAcondxx)(-(18)xxAAAcondAAAcond)(1)(-(22)根据定义7的定义,(18)式和(22)式可表示为AAAc