人教版高一数学知识点总结

1、学习必备欢迎下载高一数学知识总结必修一一、集合一、集合有关概念集合的含义集合的中元素的三个特性：元素的确定性如：世界上最高的山元素的互异性如：由HAPPY 的字母组成的集合H,A,P,Y元素的无序性: 如： a,b,c和 a,c,b 是表示同一个集合3.集合的表示： 如： 我校的篮球队员， 太平洋,大西洋 ,印度洋,北冰洋用拉丁字母表示集合：A= 我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5集合的表示方法：列举法与描述法。注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作： N正整数集N* 或 N+ 整数集 Z 有理数集Q 实数集 R列举法：a,b,c 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写

2、在大括号内表示集合的方法。x R|x-3>2 ,x| x-3>2语言描述法：例：不是直角三角形的三角形Venn 图 :4、集合的分类：有限集含有有限个元素的集合无限集含有无限个元素的集合空集不含任何元素的集合例： x|x2= 5二、集合间的基本关系1 “包含”关系子集注意： A B 有两种可能（1 ） A 是 B 的一部分，； （ 2） A 与 B 是同一集合。反之 : 集合 A 不包含于集合B,或集合B 不包含集合A, 记作 A B 或 B A2 “相等”关系：A=B （5 5，且5 5，则5=5）实例：设A=x|x2-1=0B=-1,1 “元素相同则两集合相等”即： 任何一个集

3、合是它本身的子集。A A真子集:如果A B,且A B 那就说集合A 是集合 B 的真子集，记作A B（ 或 B A）如果 A B, B C ,那么 A C 如果 A B 同时 B A 那么 A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为规定 : 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。有 n 个元素的集合，含有2n 个子集，2n-1 个真子集二、函数1 、函数定义域、值域求法综合2 .、函数奇偶性与单调性问题的解题策略3、恒成立问题的求解策略4、反函数的几种题型及方法5、二次函数根的问题一题多解6 指数函数y=axaa*ab=aa+b（a>0,a 、 b 属于Q）（aa）b=aa

4、b（a>0,a 、 b 属于 Q） （ab）a=aa*ba（a>0,a 、 b 属于Q）指数函数对称规律：1 、函数y=ax与y=a-x 关于y 轴对称2、函数y=ax与y=-ax 关于x 轴对称3、函数y=ax与y=-a-x关于坐标原点对称& 对数函数y=logax如果 a 0 ，且 a 1 ， M 0 ， N 0，那么：1 loga(M · N ) loga M loga N ；log M2 loga NlogaM logaN ；3 loga M nn log a M (nR)注意：换底公式log c blog a b0 ，且 c 1 ； b 0 ） log

5、c a ( a 0，且 a 1 ； c幂函数 y=xa(a 属于 R)1 、幂函数定义：一般地，形如y x(aR） 的函数称为幂函数，其中为常数2、幂函数性质归纳（ 1）所有的幂函数在（0，+）都有定义并且图象都过点（ 1 ， 1） ；2） 0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间0,） 上是增函数特别地， 当 1时，幂函数的图象下凸；当01 时，幂函数的图象上凸；3） 0时，幂函数的图象在区间（0,） 上是减函数在第一象限内，当x从右边趋y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于时，图象在x 轴上方无x 轴正半轴方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数y f(x)(x D)，把使 f

6、(x) 0成立的实数x叫做函数y f (x)(x D)的零点。2、 函数零点的意义：函数 y f ( x)的零点就是方程f (x) 0实数根， 亦即函数y f (x)的图象与x轴交点的横坐标。即：方程f (x) 0 有实数根函数 y f ( x)的图象与x轴有交点函数 y f (x) 有零点3、函数零点的求法：1 (代数法)求方程f (x) 0 的实数根；2 (几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y f ( x) 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点4、二次函数的零点：2二次函数y ax bx c(a 0)2( 1)>，方程ax bx c 0 有两不等实根，二次函数的图象

7、与x轴有两个交点，二次函数有两个零点2( 2)，方程ax bx c 0 有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点2( 3)<，方程ax bx c 0 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点三、平面向量向量：既有大小，又有方向的量数量：只有大小，没有方向的量有向线段的三要素：起点、方向、长度零向量：长度为0 的向量单位向量：长度等于1 个单位的向量相等向量：长度相等且方向相同的向量& 向量的运算加法运算AB BC AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。已知两个从同一点O 出发的两个向量OA、 OB，以 OA、 OB 为邻边作

8、平行四边形OACB ，则以 O 为起点的对角线OC 就是向量OA、 OB 的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。对于零向量和任意向量a，有：0 a a 0 a。|ab|a|b|。向量的加法满足所有的加法运算定律。减法运算与 a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向量，（a）a，零向量的相反向量仍然是零向量。（ 1 ） a （ a） （ a） a 0（ 2） a b a （ b）。数乘运算实数与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a， | a| |a|， 当 >0 时， a 的方向和a 的方向相同，当< 0 时， a 的方向和a 的方向相反，当= 0

9、时， a = 0。设、 是实数， 那么： （ 1）（）a = （a）（2）（ ）a = a a（3） （a ± b） = a ± b （4 ）（）a = （ a） = （ a）。向量的数量积已知两个非零向量a、 b， 那么 |a|b|cos 叫做 a与 b的数量积或内积，记作a?b， 是 a与 b的夹角，|a|cos （ |b|cos ）叫做向量 a在 b 方向上（b 在 a方向上）的投影。零向量与任意向量的数量积为0。a?b的几何意义：数量积a?b等于 a的长度|a|与b 在 a的方向上的投影|b|cos 的乘积。两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。四、三角函数1

10、 、善于用“1“巧解题2、三角问题的非三角化解题策略3、三角函数有界性求最值解题方法4、三角函数向量综合题例析5、三角函数中的数学思想方法15 、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：1,1R1,1xx kR2,kx 2k最值ymax 1 ；k周2期性奇 奇函数偶性2 k 时，x 2k2ymin1 当 x 2k k 时，ymax1 ；当x 2kk时，ymin12偶函数既无最大值也无最小值奇函数2k , 2k222k ,2k k 在,上是增函数；调上是增函数；在性32k , 2k22,k222k ,2k上是增函数上是减函数上是减函数称中心k ,0对对称中k ,0 k2称中心xk对称轴 xkk

11、k2,0无对称轴必修四角 的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称 为第几象限角第一象限角的集合为第二象限角的集合为第三象限角的集合为第四象限角的集合为k 360ok 360o 90o, kk 360o 90o k 360o 180o,kk 360o 180ok 360o 270o,kk 360o 270ok 360o 360o,k终边在 x 轴上的角的集合为k 180o,k终边在 y 轴上的角的集合为oo k 180o 90o, k终边在坐标轴上的角的集合为k 90o, kk 360o,k3、与角终边相同的角的集合为*n4、已知是第几象限角，确定n所在象限的方

12、法：先把各象限均分n 等份，再从 x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则原来是第几象限对应的标号即为n 终边所落在的区域5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度口诀：奇变偶不变，符号看象限公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2k）sincos（2k）costan（2k）tancot（2k）cot公式二：设为任意角，的三角函数值与的三角函数值之间的关系：sin（）sincos（）costan（）tancot（）cot 公式三：任意角与-的三角函数值之间的关系：sin （）sincos（）costan（）tancot（）cot 公式四：利用公式二

13、和公式三可以得到- 与的三角函数值之间的关系：sin（）sincos（）costan（）tancot（） cot公式五：利用公式一和公式三可以得到2 - 与的三角函数值之间的关系：sin（2）sincos（ 2）costan（2）tancot（2）cot 公式六： /2±及3 /2±与的三角函数值之间的关系：sin（/2）coscos（/2）sintan（/2）cotcot（/2）tansin（/2）coscos（/2）sintan（/2）cotcot（/2）tansin(3/2)coscos(3/2)sin tan(3/2)cotcot(3/2)tansin(3/2）co

14、scos(3/2）sintan(3/2)cotcot(3/2)tan(以上k Z)其他三角函数知识：同角三角函数基本关系同角三角函数的基本关系式倒数关系:tan?cot1sin?csc1cos?sec1商的关系：sin /costansec /csccos /sin cotcsc /sec平方关系：sin2( ) cos2( )11 tan2( ) sec2( )1 cot2( ) csc2( )两角和差公式两角和与差的三角函数公式sin()sin coscos sinsin()sin coscos sincos()cos cossin sincos()cos cossin sintantan

15、tan()1 tan ?tantantantan()1 tan ?tan倍角公式二倍角的正弦、余弦和正切公式(升幂缩角公式)sin22sin coscos2cos2( ) sin2( ) 2cos2( ) 1 12sin2( )2tantan21 tan2( )半角公式半角的正弦、余弦和正切公式(降幂扩角公式)1 cossin2( /2) 21 coscos2( /2) 21 cos tan2( /2) 1 cos万能公式万能公式2tan( /2)sin1 tan2( /2)1 tan2( /2)cos1 tan2( /2)2tan( /2)tan1 tan2( /2)和差化积公式三角函数的和

16、差化积公式 sinsin2sin ?cos -2 2 sinsin2cos ?sin 2 2coscos2cos ?cos -2 2coscos2sin ?sin2 2积化和差公式sincos?cos0.5sin（）?sin0.5sin（）cossin?cos0.5cos（）?sin0.5cos（）sin()sin()cos()cos()5 平面解析几何初步两点距离公式：根号(x1-x2)2+(y1-y2)2中点公式：X=(X1+X2)/2 Y=(Y1+Y2)/2直线的斜率倾斜角不是90°的直线， 它的倾斜角的正切，叫做这条直线的斜率.通常用k来表示， 记作：k=tga(0 

17、6;a< 180°且a 90° )倾斜角是90°的直线斜率不存在，倾斜角不是 90°的直线都有斜率并且是确定的点斜式 :y-y1=k(x-x1) ；斜截式：y=kx+b ；截距式：x/a+y/b=1直线的标准方程：Ax+Bx+C=0圆的一般方程：x2 y2 Dx Ey F 0圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 2 表示平方圆与圆的位置关系：1 点在圆上( 点到半径的距离等于半径)点在圆外(点到半径的距离大于半径)点在圆内(点到半径的距离小于半径)2 (1)相切:圆心到直线的距离等于半径(2)相交:圆心到直线的距离小于半径(3)相离:圆心到

18、直线的距离大于半径3 圆的切线是指垂直于半径,直线到圆心距离等于半径的直线,垂足叫切点4 圆心距为Q 大圆半径为R 小圆半径为r两圆外切Q=R+r两圆内切Q=R-r ( 用大减小)两圆相交Q<R-r两圆外离Q>R+r两圆内含Q<R-r直线与圆的位置关系有三种:相离,相交,相切.有如下关系相离则d>r,反之d>r 则相离,相切则d=r,反之d=r 则相切,相交则d<r,反之d<r 则相交.空间直角坐标系的定义ABCD A B C O 是长方体，以 O 为原点， 分别以射线OB、 OA 、 OB 为正方向，OB、OA 、 OB 建立三条坐标轴：x轴、 y

19、轴、 z 轴， 这样就建立了一个空间直角坐标系O xyz，点 O 叫做坐标分别叫做xOy 平原点， x、 y、 z 轴叫做坐标轴，由两条坐标轴组成的平面叫做坐标平面，面、yOz 平 zOx 平 面 ， 这 种 坐 标 系 叫 做 右 手 直 角 坐 标空间直角坐标系内点的坐标表示方法设点 M 为空间的一个定点，过点M 分别作垂直于x、 y、 z 轴的平面，依次交x、 y、 z 轴于点P、Q、R 设点P、Q、R 在x、y、z轴上的坐标分别为x、y、z，那么就得到与点M 对应惟一确定的有序实数组（x， y， z） ，有序实数组（x， y， z）叫做点M 的坐标，记作M（x，y， z），其中x、 y

20、、 z 分别叫做点M 的横坐标、纵坐标、竖坐标。空间内两点之间的距空间中两点P1（x1 ， y1， z1）、 P2（x2， y2， z2）的距离|P1P2|（x1 - x2）2 + （y1 - y2）2 + （z1 - z2）2空间中点公式空间中两点P1（x1 ， y1， z1）、 P2（x2， y2， z2）， 中点 P 坐标（ x1+x2） /2,（y1+y2）/2,（z1+z2）/2例题：1 直线 L 与直线 3x+4y-7=0 平行，且和两坐标轴围成的三角形面积为24，求直线L 的方程。解：直线 L 与 3x+4y-7 平行，所以斜率相等，同为-3/4设直线的方程是y=(-3/4)x+

21、b它与两坐标轴的交点坐标分别是(0,b),(4b/3,0)和两坐标轴围成的三角形面积为24(1/2)*|b|*|4b/3|=24|b2|=36b=± 6直线 L 有两条，方程分别是y=(-3/4)x+6 或 y=(-3/4)x-62 求两点 (-5,-1),(-3,4) 连成线段的垂直平分线的方程.解设 y=k1x+b1 过两点 (-5,-1)(-3,4) 得 -1=-5k1+b1 4=-3k1+b1解之得 k1=5/2 ； b1=23/2y=5x/2+23/2因为 k1*k2=-1所以 k2=-2/5(x1+x2)/2=(-5-3)/2=-4(y1+y2)/2=(-1+4)/2=3

22、/2(-4,3/2)过所求方程y=k2x+b3/2=-2/5*(-4)+bb=-1/10所以 y=-2x/5-1/10化简 4x+10y+1=06 基本初等函数从其中一个顶点向一个边引一条线，交另一边上某一点，则这个图形变成有一条公共边且另一组边在同一直线上的两个三角形。有六个内角，其中公共边与另一组在同一直线上的边相交形成的两个角中，每一个角都是一个三角形的一个内角，且是另一个三角形的一个外角另外还有大于平角小于周角的角。正弦函数sin=y/r余弦函数cos=x/r正切函数tan=y/x余切函数cot=x/y正割函数sec=r/x余割函数csc=r/y同角三角函数间的基本关系式：·

23、平方关系：sin2( )+cos2( )=1tan2( )+1=sec2( )cot2( )+1=csc2( )·积的关系：sin =tan *cos cos =cot *sin tan =sin *sec cot =cos *csc sec =tan *csc csc =sec *cot ·倒数关系：tan·cot=1sin·csc=1cos·sec=1一个园,弧长和半径相等时所对应的角度是1 弧度 .弧度和角度的换算关系弧度 *180/（2* ）=角度诱导公式常用的诱导公式有以下几组：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（

24、2k）sincos（2k）costan（2k）tancot（2k）cot公式二：设为任意角，+的三角函数值与的三角函数值之间的关系：sin（）sincos（）costan（）tancot（）cot 公式三：任意角与-的三角函数值之间的关系：sin （）sincos（）costan（）tancot（）cot 公式四：利用公式二和公式三可以得到- 与的三角函数值之间的关系：sin（）sincos（）costan（）tancot（）cot公式五：利用公式一和公式三可以得到2 - 与的三角函数值之间的关系：sin（2）sin cos（ 2）costan（2）tancot（2）cot 公式六： /2 &

25、#177;及3/2±与的三角函数值之间的关系：sin(/2 )coscos(/2 )sintan(/2 )cotcot(/2 )tansin(/2)coscos(/2)sintan(/2 )cotcot(/2 )tansin(3/2)coscos(3/2)sin tan(3/2)cotcot(3/2)tansin(3/2 )coscos(3/2)sintan(3/2)cotcot(3/2)tan(以上k Z)函数类型第一象限第二象限第三象限第四象限正弦+余弦+正切+余切+正弦函数的性质：解析式：y=sinx图像波形图像(由单位圆投影到坐标系得出)定义域R(实数)值域：-1 ， 1 最

26、值： 最大值：当x=( /2)+2k 时， y(max)=1 最小值：当x=-( /2)+2k 时， y(min)=-1值点：(k ,0)对称性：1)对称轴：关于直线x=( /2)+k 对称 2)中心对称：关于点(k ,0)对称周期：2奇偶性：奇函数单调性：在 -( /2)+2k ,( /2)+2k 上是增函数，在( /2)+2k ,(3 /2)+2k 上是减函数余弦函数的性质：余弦函数图像：波形图像定义域：R值域： -1 ， 1最值：1)当 x=2k 时 ,y(max)=12)当x=2k +时 ,y(min)=-1零值点：( /2+k ,0)对称性：1 )对称轴：关于直线x=k对称2)中心对

27、称：关于点( /2+k ,0)对称周期： 2奇偶性：偶函数单调性：在 2k - ,2k 上是增函数在 2k ,2k + 上是减函数定义域：x|x ( /2)+k ,k Z值域： R最值：无最大值与最小值零值点：(k ,0)对称性：轴对称：无对称轴中心对称：关于点(k ,0)对称周期：奇偶性：奇函数单调性：在(- /2+k , /2+k )上都是增函数7 平面向量坐标表示法平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量作为基底。由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量可表示成，由于与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)

28、 ，其中 x 叫作在 x 轴上的坐标，y 叫做在 y 轴上的坐标。在数学中，我们通常用点表示位置，用射线表示方向在平面内，从任一点出发的所有射线，可以分别用来表示平面内的各个方向向量的表示向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向向量也可用字母a、b、c 等表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示向量 的大小，也就是向量的长度 (或称模)， 记作 |a|长度为 0 的向量叫做零向量，记作0 长度等于 1 个单位长度的向量，叫做单位向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量向量a、 b、 c 平行，记作a b c 0 向量长度为零，是起点与终点重

29、合的向量，其方向不确定，我们规定0 与任一向量平行长度相等且方向相同的向量叫做相等向量向量a与 b 相等，记作a=b零向量与零向量相等 任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关向量的运算1 、向量的加法：AB+BC=AC设a=（ x,y）b=（x',y'）则 a+b=（x+x',y+y'）向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。向量加法的性质：交换律：a+b=b+a结合律：（a+b）+c=a+（b+c）a+0=0+a=a2、向量的减法AB-AC=CBa-b=（x-x',y-y'）若 a/b则 a=eb则 xy

30、-xy=0若 a 垂直 b则 ab=0则 xx+yy=03、向量的乘法设a=（ x,y）b=（x',y'）a· b（点积）=x · x'+y · y'=|a|· |b|*cos 夹角1 、向量有关概念：（ 1 ）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示， 注意不能说向量就是有向线段，为什么？ （向量可以平移）。 如已知A（ 1,2） ， B（ 4,2） ，则把向量按向量 （1,3）平移后得到的向量是（答：（ 3,0） ）（ 2）零向量：长度为0 的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向

31、是任意的；（ 3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是）；（ 4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；（ 5） 平行向量 （也叫共线向量）： 方向相同或相反的非零向量、 叫做平行向量，记作： ，规定零向量和任何向量平行。提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！（因为有）；三点共线 共线；（ 6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是例题：1.已知点 A（1,1）,B（-1,

32、5） 及 AC 向量 =1/2AB 向量， AD 向量 =2AB 向量， AE 向量 =-1/2AB 向量，求点C， D， E 的坐标。设 C 点（x，y），则AB （2，4），AC（x1，y1）.由 AC 1/2AB 得：x1 1/2×（2）1，y1 1/2×42所以，x 0， y 3，所以点C 的坐标是（0,3）设 D 点 （x， y），则AD （x 1， y 1）.由 AD 2AB 得：x1 2×（2）4，y1 2×48所以，x3， y 9，所以点C 的坐标是（ 3,9）设 E 点 （x， y），则 AE （x 1， y 1）.由AE 1/2AB

33、得：x1 1/2× （ 2） 1 ，y1 1/2× 42所以，x 2， y1 ，所以点C 的坐标是（2, 1）8 三角恒等变换两角和差公式两角和与差的三角函数公式sin（）sin coscos sinsin（）sin coscos sincos（）cos cossin sincos（）cos cossin sintantan（）1 tan · tantan tantan（）1 tan · tan倍角公式二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）sin22sin coscos2cos2（ ） sin2（ ） 2cos2（ ） 1 1 2sin2（ ）2t

34、antan21 tan2（ ）半角公式半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）1 cossin2（ /2） 21 coscos2（ /2）21 cos tan2（ /2） 1 cos万能公式万能公式2tan（ /2）sin1 tan2（ /2）1 tan2（ /2）cos1 tan2（ /2）2tan（ /2）tan1 tan2（ /2）和差化积公式三角函数的和差化积公式 sinsin2sin · cos -22 sin sin2cos · sin 22 coscos2cos · cos 22 coscos2sin · sin 22积化和差公式三角函数

35、的积化和差公式sin· cos0.5sin（）sin（）cos · sin0.5sin（）sin（）cos · cos0.5cos（）cos（）sin· sin 0.5cos（）cos（）9 解三角形步骤 1.在锐角ABC 中，设三边为a， b， c。作 CH AB 垂足为点DCH=a · sinBCH=b · sinA a· sinB=b · sinA得到a/sinA=b/sinB同理，在ABC 中，b/sinB=c/sinC步骤2.证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R ：如图，任意三角形ABC,

36、作 ABC 的 外接圆 O.作直径 BD 交 O 于 D.连接 DA.因为直径所对的圆周角 是直角,所以DAB=90 度因为同弧所对的圆周角相等,所以 D 等于 C.所以c/sinC c/sinD=BD=2Ra/SinA=BC/SinD=CD=2R类似可证其余两个等式。二 . 正弦定理的变形公式(1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC;(2) sinA : sinB : sinC = a : b : c;a2=b2+c2-2*b*c*CosAb2=a2+c2-2*a*c*CosBc2=a2+b2-2*a*b*CosCCosC=(a2+b2-c2)/2abCosB=(a2

37、+c2-b2)/2acCosA=(c2+b2-a2)/2bc证明：如图，有a+b=c c· c=(a+b) · (a+b) c2=a· a+2a· b+b· b c2=a2+b2+2|a|b|Cos( - )整理得到c2=a2+b2-2|a|b|Cos(注意：这里用到了三角函数公式)再拆开，得c2=a2+b2-2*a*b*CosC同理可证其他，而下面的CosC=(c2-b2-a2)/2ab 就是将 CosC 移到左边表示一下。例题：1 已知( B+C) ： ( C+A) ： ( A+B ) =4： 5： 6，求此三角形的最大内角解：设 b+c=

38、4x，可得 a=7x/2,b=5x/2,c=3x/2, 再用余弦定理cosA=-1/2, 即 A=12021. 在三角形ABC 中 ,已知(b+c);(c+a);(a+b)=4;5;6, 则 sinA;sinB;sinC=解： 、 a/sinA=b/sinB=c/sinC(b+c);(c+a);(a+b)=4;5;6(sinB+sinC):(sinC+sinA):(sinA+sinB)=4k:5k:6k解得sinA=7k/2 sinB=5k/2 sinC=3k/2所以sinA:sinB:sinC=7:5:310 数列一、 等差数列如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这

39、个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d 表示。等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d (1)前 n 项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2 或 Sn=n(a1+an)/2(2)从 (1) 式可以看出，an 是 n 的一次数函(d 0)或常数函数(d=0)， (n， an)排在一条直线上，由(2)式知， Sn 是 n 的二次函数(d 0)或一次函数(d=0， a1 0)，且常数项为0。在等差数列中，等差中项：一般设为Ar， Am+An=2Ar, 所以 Ar 为 Am， An 的等差中项。且任意两项am， an 的关系为：an=am+(n-m)d它可以看作等

40、差数列广义的通项公式。从等差数列的定义、通项公式，前n 项和公式还可推出：a1+an=a2+an-1=a3+an-2= =ak+an-k+1 ， k 1,2, ,n若 m， n， p， q N*，且 m+n=p+q ，则有am+an=ap+aqSm-1=(2n-1)an ， S2n+1=(2n+1)an+1Sk， S2k-Sk， S3k-S2k，Snk-S(n-1)k 或等差数列，等等。和(首项末项)×项数÷ 2项数(末项-首项)÷公差1首项=2 和÷项数-末项末项=2 和÷项数-首项等差数列的应用：日常生活中，人们常常用到等差数列如：在给各种

41、产品的尺寸划分级别时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级。若为等差数列，且有an=m,am=n.则a(m+n) 0。等比数列如果一个数列从第2 项起， 每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示。( 1 )等比数列的通项公式是：An=A1*q ( n 1)若通项公式变形为an=a1/q*qn(n N*), 当 q> 0 时， 则可把 an 看作自变量n 的函数， 点 (n,an)是曲线 y=a1/q*qx 上的一群孤立的点。( 2)求和公式：Sn=nA1(q=1)Sn=A1(1-qn)/(1-q

42、)=(a1-a1qn)/(1-q)=a1/(1-q)-a1/(1-q)*qn ( 即 A-Aqn)(前提： q 不等于 1)任意两项am， an 的关系为an=am· q(n-m)( 3) 从等比数列的定义、通项公式、前 n 项和公式可以推出：a1· an=a2· an-1=a3· an-2=ak· an-k+1 ， k 1,2, ,n( 4)等比中项：aq · ap=ar*2 ， ar 则为ap， aq 等比中项。记 n=a1· a2 an，则有2n-1=(an)2n-1 ， 2n+1=(an+1)2n+1另外， 一个各项

43、均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之， 以任一个正数 C 为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。性质：若m、n、p、qN* ，且mn=pq，则 am · an=ap·aq；在等比数列中，依次每k 项之和仍成等比数列.“ G 是 a、 b 的等比中项”“ G2=ab( G 0) ” .(5) 等比数列前n 项之和 Sn=A1(1-qn)/(1-q)在等比数列中，首项A1 与公比 q 都不为零.注意：上述公式中An 表示 A 的 n 次方。等比数列在生活中也是常常运用的。如：

44、银行有一种支付利息的方式- 复利。即把前一期的利息赫本金价在一起算作本金，在计算下一期的利息，也就是人们通常说的利滚利。按照复利计算本利和的公式：本利和=本金*(1+ 利率)存期例题1 已知数列：( An),Sn=3an+2, 求证， An 是等比数列。解：当 n=1 时 a1=3a1+2 得 a1=-1当 n>=2 时 有 Sn=3an+2 1 式S(n-1)=3a(n-1)+2 (括号代表下标下同)2 式1 式 -2 式 得 an=3an-3a(n-1) 【 an=Sn-S(n-1)】所以 3a(n-1)=2an an=3/2a(n-1)所以 an 是以 -1 为首项 以 3/2 为

45、公比的等比数列2 已知等差数列AN 的前 N 项和为 SN，且 A3=5 ， S15=225.数列 BN 是等比数列，B3=A2+A3 ， B2B5=128.( 1)求数列AN 的通项 AN 及数列 BN 的前 9项的和 T9解1.设等差数列an的首项为a1,公差为d；等比数列首项b1,公比为qa3=a1+2d=5s15=(a1+a15)*15/2=(a1+a1+14d)*15/2=225解出 a1=1 d=2所以数列an 通项公式an=a1+(n-1)d=2n-1可以求出a2=3,a3=5,所以 b3=8b3=b1q2=8b2b5=(b1q)*(b1q4)=b12*q5=128解出b1=1

46、q=2所以bn=b1*q(n-1)=2(n-1)tn=a1(1-qn)/(1-q)=2n-1所以t9=29-1=51111 不等式不等式 （inequality）用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。例如2x2y2xy，sinx1，ex>0 ，2x<3等 。根据解析式的分类也可对不等式分类，不等号两边的解析式都是代数式的不等式，称为代数不等式；只要有一边是超越式，就称为超越不等式。例如 lg（1 x）> x 是超越不等式。通常不等式中的数是实数，字母也代表实数，不等式的一般形式为F（x， y，z） G（x，y，z ） （其中不等号也可以为<，>中某一个），两边的

47、解析式的公共定义域称为不等式的定义域，不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题。不等式的最基本性质有：如果x>y，那么y<x；如果y<x，那么x> y；如果x>y，y> z；那么x>z；如果x>y，而z 为任意实数，那么xz>yz；如果 x>y，z>0，那么 xz> yz；如果x> y， z< 0，那么xz< yz。由不等式的基本性质出发，通过逻辑推理，可以论证大量的初等不等式，其中比较有名的有：柯西不等式：对于2n 个任意实数x1 ， x2， xn 和y1， y2，yn，恒有（x1y1 x2y2 xnyn） 2（x12 x22 xn2） （ y12 y22yn2） 。排序不等式：对于两组有序的实数x1 x2 xn， y1 y2 yn，设 yi1 ， yi2，yin 是后一组的任意一个排列，记S x1yn x2yn-1 xny1 ， M x1yi1 x2yi2 xnyin ， L x1y1 x2y2 xnyn，那么恒有S M L。根据不等式