八下数学第一章三角形的证明讲义讲解

1、第一章 三角形的证明1.1等腰三角形(一)一、问题引入：列举我们已知道的公理：.(1)公理：同位角,两直线平行.(2)公理：两直线,同位角.(3)公理： 的两个三角形全等.(4)公理： 的两个三角形全等.(5)公理： 的两个三角形全等.(6)公理：全等三角形的对应边 ,对应角注：等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看作公理.二、基础训练：1 .利用已有的公理和定理证明：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等:2 .议一议：(1)还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？(2)等边对等角三线合一三、例题展示：在 ABC中，AD是角平分线，DELAB, DF XAC ,试猜想EF与AD之间有什

2、么关系？并证明你的猜想.四、课堂检测:条件，下列条件中，哪一个不能使1.如图，已知：AB / CD, AB=CD, 若要使 ABEzXCDF,仍需添加一个 ABEzXCDF 的是()A./A=/B ; B . BF=CE; C. AE / DF; D. AE=DF.2 .如果等腰三角形的一个内角等于 500则其余两角的度数为 3 . (1)如果等腰三角形的一条边长为3,另一边长为5,则它的周长为(2)等腰三角形的周长为13cm,其中一边长为3cm,则该等腰三角形的腰长4 . AABC 中， AB=AC,且 BD=BC=AD ,求/ A 的度数.5 .如图，已知 D.E 在4ABC 的边 BC

3、上,AB=AC,AD=AE,求证:BD=CE中考真题：已知：如图， ABC中, 是垂足，求证：(1) G是CE中点.(2) /B=2/BCE.1.1等腰三角形(二)一、问题引入：1 .在等腰三角形中作出一些相等的线段(角平分线 .中线.高)，你能发现其中一 些相等的线段吗？你能证明你的结论吗？2 .等腰三角形的两底的角平分线相等吗？怎样证明已知:求证:证明:得出定理：.问题：等腰三角形两条腰上的中线相等吗？高呢？还有其他的结论吗？请你证明 二、基础训练；1 .请同学们阅读P6的问题（1） . （2）,由此得到什么结论？2 .我们知道等腰三角形的两个底角相等， 反过来此命题成立吗？并与同伴交流,

4、 由此得到什么结论？得出定理：;简称：三、例题展示：如图， ABC中，D.E分别是AC.AB上的点，BD与CE / 相交于点O,给出下列四个条件/ EBO=/DCO;触40/ BEO=/CDO;BE=CD;OB=OC,上述四个条工 匚件中，哪两个条件可判定是等腰三角形，请你写出一种情形，并加以证明四、课堂检测:1 .已知：如图，在直角 ABC中，角C为45度，AD垂直于BC,DE垂直于AB, 则图中等腰直角三角形共有（）D.6个第3题匚第4题2 .已知：如图，在 ABC中，AB=AC, /BAC=120, D.E是BC上两点，且AD=BD , AE=CE,猜想 ADE是 三角形.3 .如图，在

5、4ABC中，/ ABC与/ACB的平分线交与点。，若AB=12 , AC=18 , BC=24,则AABC的周长为（）A.30B.36C.39D.424 .在4ABC中，AB=AC, /A=360,BD.CE是三角形的平分线且交于点 O,则图 中共有 个等腰三角形.5 .如图：下午14: 00时，一条船从处出发，以28海里/小时的速度，向正北航 行，16: 00时，轮船到达B处，从A处测得灯塔C在北偏西280，从B处测得 灯塔C在北偏西560，求B处到灯塔C的距离.C5.1 等腰二角形（二）一、问题引入：1 .已知 ABC中，AB=AC=5cm ,请增加一个条件 使它变为等边三角形.2 .有一

6、个角是600的等腰三角形是等边三角形吗？试着证明你的结论 .得出定理：有一个角是 的 三角形是等边三角形.二、基础训练：做一做：用两个含300角的三角板，你能拼出一个怎样的三角形？能拼出一个等 边三角形吗？说说你的理由.根据操作，思考：在直角三角形中，300角所对直角 边与斜边有什么关系？并试着证明.得出定理：在直角三角形中，300角所对直角边等于斜边的 . 三、例题展小：1 .等腰三角形的底角为150,腰长为2a,求腰上的高.2 .判断：（1）在直角三角形中，直角边是斜边的一半.（） （2）有一个角是600的三角形是等边三角形.（）3 .证明三个角都相等的三角形是等边三角形四、课堂检测1 .

7、等腰三角形的底边等于15,腰长为20,则这个三角形腰上的高是2 .在 RtzXABC 中，/ACB=90, A = =30, CD LAB, BD=1 ,则 AB=3 .在 4ABC 中，AB=AC, ZBAC=120,D 是 BC 的 中点，DELAC, WJAE:EC=4 .如图，在RtAABC中，/ C=90，沿B点的一条直线恰好落在AB的中点D处，则/ A=.5 .在RtAABC中，/ C=300, ADXBC,你能看出BD与BC的大小关系吗?中考真题：已知：如图， ABC中，BDXAC, DEL AC,点D是AB的中点,/A=30, DE=1.8,求 AB 的长.1.3线段的垂直平分

8、线（一）、问题引入：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”你能证明这一结 论吗?二、基础训练：议一议：写出“线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”这一命题的逆命题？它是真命题吗？如果是，请证明，并与同伴交流.二、例题展小：例：如图在 ABC中，AD是/BAC平分线,AD的垂直平分线分别交 AB.BC延长线于F.E求证：(1) /EAD=/EDA ;(2) DF/AC(3) / EAC= / B四、课堂检测:1 .已知：线段 AB及一点P, PA=PB,则点P在 上.2 .已知：如图，/ BAC=1200,AB=AC,AC 的垂直平分线交 BC 于 D 则 / A

9、DC=.第1题第4题第5题3 . AABC中，/ A=50, AB=AC , AB的垂直平分线交 AC于D则/ DBC的度 数.4 . AABC中，DE.FG 分别是边 AB.AC 垂直平分线，则/ B/BAE , /C /GAF ,若 / BAC=1260,贝叱 EAG= .5 .如图，ZXABC 中，AB=AC=17 , BC=16, DE 垂直平分 AB, WJBCD 的周长 是.6 .有特大城市A及两个小城市B.C,这三个城市共建一个污水处理厂，使得该 厂到B.C两城市的距离相等，且使 A市到厂的管线最短，试确定污水处理厂 的位置.中考真题：已知：如图，DE是4ABC的AB边的垂直平分

10、线，分别交 AB.BC于 D.E, AE 平分/ BAC ,若/ B=300,求/ C1.3线段的垂直平分线(二)一、问题引入：1 .等腰三角形的顶点一定在 上.2 .在4ABC中，AB.AC的垂直平分线相交于点 P,则PA.PB.PC的大小关系 是.3 .在 ABC中，AB=AC , / B=580, AB的垂直平分线交 AC 于N ,则 / NBC=:4 .已知线段AB,请你用尺规作出它的垂直平分线.A B二、基础训练：1.三角形的三边的垂直平分线是否相交于一点，这一点到三个顶点的距离是否 相等？上面的问题如何证明？定理：三角形三条边的垂直平分线相交于 ,这一点到三个顶点的距 离.三、例题

11、展小：(1)如图，在4ABC中，/ A=400,O是AB.AC的垂直平分线的交点，求/ OCB 的度数；(2)如果将(1)中的的/ A度数改为70,其余的条件不变，再求/ OCB的 度数；(3)如果将(1)中的的/ A度数改为锐角a,其余的条件不变，再求/ OCB 的度数.你发现了什么规律？请证明；(4)如果将(1)中的的/ A度数改为钝角a,其余的条件不变，是否还存在同样的规律？你又发现了什么?四、课堂检测:1 .在三角形内部，有一点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P一定是(:A.三角形三条角平分线的交点；B.三角形三条垂直平分线的交点；C.三角形三条中线的交点；D.三角形三条高的交点.2

12、 .已知 ABC的三边的垂直平分线交点在 ABC的边上，则 ABC的形状为 ( )A.锐角三角形；B.直角三角形； C.钝角三角形； D.不能确定3 .等腰RtAABC中，AB=AC , BC=a,其斜边上的中线与一腰的垂直平分线交于 点O,则点O到三角形三个顶点的距离是 .4 .已知线段a.b,求彳以a为底，以b为高的等腰三角形.ab中考真题：已知：如图，RtAABC中，/ ACB=900, / BAC=60, DE垂直平分BC,垂足为D,交AB于点E,点F在DE的延长线上，且 AF=CE,试探究图中相等的线段.1.4角平分线（一）一、提出问题：1 .角平分线的定义：2 .问题1:还记得角平

13、分线上的点有什么性质吗？你是怎样得到的？你能证明它吗？定理归纳：问题2:你能写出这个定理的逆命题？它是真命题吗？如果是，你能证明它?定理归纳：二、基础训练：用尺规怎样做已知角的平分线呢？并对自己的做法加以证明.三、例题解释：例：如图，已知AD为八ABC的角平分线，/ ABC=90 , EFXAC, 交BC于点D,垂足为F, DE=DC, 求证：BE=CF.四、课堂检测1. OM平分/ BOA, P是OM上的任意一点，PDXOA, PEXOB,垂足分别为D.E,下列结论中错误的是（）A: PD=PE B: OD=OE C: /DPO=/EPO D: PD=ODE, DFXAC,垂足为F,则2、如

14、图所示，AD平分/ BAC, DELAB,垂足为 下列结论不正确的是（）A:AAEGAAFGB:AAEDAAFDC:ADEGADFGD:ABDEACDF3 . AABC 中，/ABC./ACB的平分线交于点 O,连结 AO,若/ OBC=25 , /OCB=30 ,贝叱 OAC=4 .与相交的两直线距离相等的点在（）A: 一条直线上B: 一条射线上C:两条互相垂直的直线上D:以上都不对5 . / AOB的平分线上一点 M, M至ij OA的距离为2CM，则M到OB的距离为6 .在 RTAABC 中，/ C=90 , AD 是/ BAC 的平分线，若 BC=16, BD=10,则D到AB的距离是

15、.7 .如图在两条交叉的公路L1与L2之间有两家工厂A.B ,现在要修一个货物中 转站，使它到两条公路的距离相等，以及到两个工厂距离相等，你能帮助确定中转站的地址吗？请试试中考真题:如图，梯形ABCD , ABCD , AD=DC=CB , AD.BC的延长线相交于CEXAG 于 E, CFXAB 于 F,（1）请写出图中4组相等的线段（已知的相等线段除外）（2）选择（1）中你所写的一组相等的线段，说说它们相等的理由1.4 角平分线（二）基础训练：1 .如图：设 ABC的角平分线BM.CN交于P,求证：P点在/ BAC的平分线 上定理：三角形的三条角平分线交于 点，并且这一点到三条边的距离.引

16、中：三角形的三条角平分线交于一点，若设这一点到其中一边的距离为 m,三 边长分别为a.b.c,则三角形的面积S=.2 .已知：ZXABC中，BP.CP分别是/ ABC和/ACB的角平分线，且交于 P若P 到边 AB的距离为3cm, AABC 的周长为18cm,则4ABC 的面积 为.3 .到三角形三边距离相等的点是（）A.三条中线的交点；B.三条高的交点；C.三条角平分线的交点 D.不能确定三、例题展小： 例：ZXABC 中，AC=BC, /C=900,AD 是AABC 的角平分线，DELAB 于 E.(1) 已知：CD=4cm,求 AC 长(2)求证：AB=AC+CD四、课堂检测:1. 到一

17、个角的两边距离相等的点在 .2. AABC 中，/C=90, /A 的平分线交 BC 于 D, BC=21cm, BD:DC=4:3 ,则 D到AB的距离为.3. RtABC 中，AB=AC , BD 平分/ABC, DEXBC于 E, AB=8cm , DE+DC=cm.4. AABC中，/ ABC和/ BCA的平分线交于 O,则/ BAO和/ CAO的大小关系为.5. RtAABC 中，/ C=90, BD 平分/ABC, CD=n, AB=m ,则 4ABD 的面积6. 已知：OP 是/MON 内的一条射线，ACXOM ,ADON,BEOM , BFXON, 垂足分别为C.D.E.F,且

18、AC=AD求证：BE=BF中考真题：三条公路围成了一个三角形区域，今要在这个三角形区域内建一果品 批发市场到这三条公路的距离相等，试找出批发市场的位置 .第一章单元检测一、填空题（每小题3分）：1 .如图，修建抽水站时，沿着倾斜角为300的斜坡铺设管道，若量得水AB的长度为80米，那么点B离水平面的高度BC的长为:2 .如果一个三角形的一条角平分线恰好是对边上的高，那么这个三角形 是 三角形.3 .如图，已知AC=DB要使 ABCiADCB只需增加的一个条件是 或.4 .命题：“全等三角形的对应角相等”的逆命题是这条逆命题是命题（填“真”或“假”）5 .如图，一个顶角为40o的等腰三角形纸片，

19、剪去顶角后，得到一个四 边形，则 12 ;6 .在ABCt,已知 AB= AC, AD是中线，/ B= 70 , BO 15cmi 则/BA生, /DAC=, BD= cm ;7 .已知，如图，。是 ABC的/ ABC./ACB勺角平分线的交点，ODI AB交BC于D, OEI AC交BC于E,若BC = 10,则 ODE勺周长8 .如图，在RtzXABC中，/ B=90 , / A=40 , AC的垂直平分线MNtf AB相交于D点，则/ BCD勺度数是-9 . ABC+, / C=90 , AD平分/ BAC 交 BC于点 D.若 DC=7 则 D 到 AB的距离是 .10 .如图，/ AOPW BOP=15 , PC/ OA PDL OA 若 PC=4 贝U PD的长为 二、选择题（每小题3分）1 .等腰三角形底边上的高与底边的比是 1 : 2,则它的顶角等于（A.900B.600C.120D.1502 .下列两个三角形中，一定全等的是（）A.有一个角是40 ,腰相等的两个等腰三角形B.两个等边三角形C.有一个角是100 ,底相等的两个等腰三角形D.有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形3 .到ABC勺三个顶点距离相等的点是 ABC的（）A.三边中线的交点B.三条角平分线的交点C.三边上高的交点D.三边垂直平分线的交点4 . ABCt, /