中国人民大学附中特级教师梁丽平-高考数学综合能力题30讲第18讲-直线与二次曲线

1、数学高考综合能力题选讲18直线与二次曲线100080 北京中国人民大学附中 梁丽平题型预测直线与圆锥曲线的位置关系，是高考考查的重中之重主要涉及弦长、弦中点、对称、参量的取值范围、求曲线方程等问题解题中要充分重视韦达定理和判别式的应用解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”范例选讲例1已知双曲线G的中心在原点，它的渐近线与圆相切过点作斜率为的直线，使得和交于两点，和轴交于点，并且点在线段上，又满足求双曲线的渐近线的方程；求双曲线的方程；椭圆的中心在原点，它的短轴是的实轴如果中垂直于的平行弦的中点的轨迹恰好是的渐近线截在内的部分，求椭圆的方程讲解

2、：设双曲线的渐近线的方程为：，则由渐近线与圆相切可得：所以，双曲线的渐近线的方程为：由可设双曲线的方程为：把直线的方程代入双曲线方程，整理得则 ，共线且在线段上， ，即：，整理得：将代入上式可解得：所以，双曲线的方程为由题可设椭圆的方程为：下面我们来求出中垂直于的平行弦中点的轨迹设弦的两个端点分别为，的中点为，则两式作差得：由于，所以，所以，垂直于的平行弦中点的轨迹为直线截在椭圆S内的部分又由题，这个轨迹恰好是的渐近线截在内的部分，所以，所以，椭圆S的方程为：点评：解决直线与圆锥曲线的问题时，把直线投影到坐标轴上也即化线段的关系为横坐标或纵坐标之间的关系是常用的简化问题的手段；有关弦中点的问题

3、，常常用到“设而不求”的方法；判别式和韦达定理是解决直线与圆锥曲线问题的常用工具例2设抛物线过定点，且以直线为准线求抛物线顶点的轨迹的方程；假设直线与轨迹交于不同的两点，且线段恰被直线平分，设弦MN的垂直平分线的方程为，试求的取值范围讲解：设抛物线的顶点为，则其焦点为由抛物线的定义可知：所以，所以，抛物线顶点的轨迹的方程为： 因为是弦MN的垂直平分线与y轴交点的纵坐标，由MN所唯一确定所以，要求的取值范围，还应该从直线与轨迹相交入手显然，直线与坐标轴不可能平行，所以，设直线的方程为，代入椭圆方程得：由于与轨迹交于不同的两点，所以，即又线段恰被直线平分，所以，所以，代入可解得：下面，只需找到与的

4、关系，即可求出的取值范围由于为弦MN的垂直平分线，故可考虑弦MN的中点在中，令，可解得：将点代入，可得：所以，从以上解题过程来看，求的取值范围，主要有两个关键步骤：一是寻求与其它参数之间的关系，二是构造一个有关参量的不等式从这两点出发，我们可以得到下面的另一种解法：解法二设弦MN的中点为，则由点为椭圆上的点，可知：两式相减得：又由于，代入上式得：BB又点在弦MN的垂直平分线上，所以，所以，由点在线段BB上B、B为直线与椭圆的交点，如图，所以，也即：所以，点评：解决直线和圆锥曲线的位置关系问题时，对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项系数和判别式，有时借助图形的几何性质更为方便涉及弦中点问题，

5、利用韦达定理或运用平方差法时设而不求，必须以直线与圆锥曲线相交为前提，否则不宜用此法从构造不等式的角度来说，“将直线的方程与椭圆方程联立所得判别式大于0”与“弦MN的中点在椭圆内”是等价的高考真题11991年全国高考双曲线的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，过双曲线右焦点且斜率为的直线交双曲线于P、Q两点假设，且，求双曲线的方程21994年全国高考已知直线l过坐标原点，抛物线C顶点在原点，焦点在x轴正半轴上.假设点A(-1,0)和点B(0,8)关于l的对称点都在C上，求直线l和抛物线C的方程31996年全国高考已知ll,l2是过点P()的两条互相垂直的直线,且ll,l2与双曲线y2-x2=1各有两个交点,分别为A1,B1和A2,B2. (