第二章用拉格朗日方程建立系统数学模型

1、第二章 用拉格朗日方程建立系统的数学模型§21概述拉格朗日方程一一属于能量法，推导中使用标量，直接对整个系统建模特点：列式简洁、考虑全面、建模容易、过程规范适合于线性系统也适合于非线性系统，适合于保守系统，也适合于非保守系统§22拉格朗日方程1.哈密尔顿原理 系统总动能L 二TGqq, qn,qi,q2,q3, q”)(2- 1)系统总势能U =U (qi, q2, q3, qN, t)(2- 2)非保守力的虚功'Wnc = Q1、qQ2"qQN "；qN(2- 3)哈密尔顿原理的数学描述：6 f （T -U ）dt 十 f 6Wncdt = 0

2、（ 2- 4）t1-t12.拉格朗日方程：拉格朗日方程的表达式： =Qi （i=1,2,3, N）（2- 5）dt :qi:qi :q（推导：）将系统总动能、总势能和非保守力的虚功的表达式代入哈密尔顿原理式中（变分驻值原理），有r（红阿+旦和2+旦际 tiqBn汀q2qPn-:Uqi2L-Pn9nQi、q QzqQN、qN)dt=0(2- 6)i#利用分步积分#(2 7)(2 8)并注意到端点不变分(端点变分为零)Qi (ti) = qi 住)=0t2t1qidtg(2 9)3#9(工)卫dt :qi:qi汀-Qi(212)从而有t2 Nd :T:T: Ut C -d(-)丄一出 Q、q)dt

3、=0(210)tl i 4dt : q:q:q由变分学原理的基本引理：(设n维向量函数M(t)，在区间鮎出内处处连续，在to,tf内具有二阶连续导数，在t0,tf处为零，并对任意选取的n维向量函数n (t)，有tf T(t)M(t)dt=0t 0则在整个区间t0,tf内，有M(t)±0 ) 我们可以得到:(211)#对非保守系统，阻尼力是一种典型的非保守力，如果采用线性粘性阻尼模型,则阻尼力与广义速度q成正比，在这种情况下，可引入瑞利耗散(耗能)函数D，(2 13)D q Cq 2阻尼力产生的广义非保守力为：#Qi 二:D(2 14)对于仅受有势力和线性阻尼力作用的系统，其拉格朗日方

4、程为:d(汀)_ 汀e = ° dt；:q(2 15)#如果系统上还作用了除有势力和阻尼力以外的非保守力，如结构受到的外激励力（对应的广义非保守力可通过非保守力的虚功求得，仍记为 Q ）,则系统的拉格朗日方程为：(2 16)d TT;U；D()Qidt ；qi；-qi：q；q§2.3拉格朗日方程在振动系统建模中应用在某些结构振动冋题中，取分离体、确定各分离体的受力情况，然后利用 牛顿第二定律建立方程的方法不一定可用，或者很不方便，这时，采用拉格朗 日方程来建立振动方程就很方便。1. 集中参数模型中应用【例】质量为M的长直杆上有一个集中质量 m 可在杆上滑动。杆绕固定点摆动，

5、建立其自由振动方程。势能U二-Mg丄mgu cost（以0点为势能零点）2动能 1（1ML2p21m（u2 u2）2 32选广义坐标为UR，且Qu =0，Q厂°代入拉格朗日方程得到:mu -mu日2 _mgcos0 =01L(ML2 mu2)亠2muu 亠Mgmgusin - 032以上是对离散系统应用拉格朗日方程建立振动方程，如果利用拉格朗日方 程建立连续系统的方程，则它是一种同时将系统离散化、变量分离并达到系统 降阶的途径。2. 连续参数模型中应用一一与假设模态法联合使用对一维连续系统，假设位移为:(217)则系统具有N个自由度，N个广义坐标为qdt)(i =1,2,N)i (x

6、)不一定是系统的真实模态，可以是假设的一种变形模态。只要' i (x)满足以下条件:(1)是位移形函数，反映某种可能的位移形状(2)构成一组线性无关向量(3)连续导数阶次满足势能中所要求的阶次(4)满足位移边界条件(不一定满足力边界条件)2.1杆的纵向振动轴向位移为u =u(x,t)1 l 2T ° ：?A(u )dx1 l2UEA(u ) dx将 u(x,t)=為!/i(x)qi (t)代得到:Vi'-1 tmqj 匕M q(2 18)kjqqj十心帅(219)5#其中分布轴力p(x, t)在广义坐标上的虚功l= ( p(x,t)§u(x,t)dx =广义

7、力代入拉格朗日方程得:l° EA i jdx(2 20)l° p(x,t)Ci(x)、q(t)dx = pr qiilPi (t)二 0 p(x,t)- i (x)dx、mj、' kg 二 Pi (i =1, 2, N)jj(2 21)(2 22)(2 23)#1 LT 二一2 0.2 1:A(u) dxmi jijqiqj(2 25)势能1L21U El (u )2dx 二kgqj(2 26)2 '02 ijLL0，匕二 0)El'jdx(2 27)分布外力做的功：:W :LL=0 p(x,t)6u(x,t)dx = 0 p(x,t)(送屮 i (

8、x)6qi (t)dx1i(2 28)=工i(0 p(x,t)- i(x)dx)、q(t)八 Qi qi(t)iQiL=0 p(x,t)'- i (x)dx(2 29)代入拉格朗日方程:zmg 、Z 二 Qi(i 7 2, N)(2 30)jjMqKq二P(2008-3-26)2.2梁的横向振动横向位移函数u(x,t)二 ' r(x)qj(t)i动能(2 24)(2 22)或矩阵方程：Mq Kq二Q(2 31)注意假设模态法与有限元素法的区别：这里的' i (x)是对整个结构的假 设模态(相当于整个结构变形的形函数)，不是单元的位移形函数，对复 杂结构，确定精度(品质)

9、较高的假设模态是比较困难的。3. 粘性阻尼系统中阻尼的处理假设结构中具有分布粘性阻尼力p(x,t) - -(x)u(x,t)(2-32)广义力LLQi = 0 p(x,t)=(x)dx =。一(x)j(x)qj(t)- ,x)dxL( 2-33)二-' qj(t) 0 (x)-i(x)- j(x)dx =，Cijqj(t)jjLGj° (xr r jdx(2 -34)代入拉格朗日方程得到Mq Cq Kq二Q(2-35)上式中Q为其他的广义非保守力§2.4坐标约束与拉格朗日乘子通常对一个N维结构系统，采用拉格朗日方程建立振动方程时，广义 坐标qr,q2,qN是线性独立

10、的，但是实际问题中，有时希望采用一套不是独 立的坐标来建立方程，可能更加方便 。记系统不独立的坐标为qi,q2,qM (M N)则被约束坐标数C=M-N(2-36)对广义坐标，有C个约束方程：fj©,q2, 7m) =0 (j =1,2/ C)(2-37)如果令每一个坐标qi取变分，贝fj - q1- q2 9m =0(2 - 38):q12m:fj、Jq =0 (j =1,2, C)(2-39)i上式说明这m个g不独立，而是由上述C个方程联系起来。7在哈密尔顿原理式中，将坐标数由 N扩展到M，即得到:t2Md:T:T: U弋瓦+Qiqid0(2 40)1i 4dtg:q；q注意，由

11、于此时的q不独立，不能直接由变分学基本原理，得出方括号内的项等于零的结论。对上面的约束方程引入拉格朗日乘子 (或称为 拉格朗日乘子函 数)j(t) (j =1,2, C)，得到:CM ：fjMC ；:fj二 “_ qi 八 1 j _ qi = 0(2 41)j =1i 4 Qii=4j=4代入哈密尔顿原理方程式中，t2Md:T:T:uC；:f j瓦-三(学)+二-竺+Q +瓦知柯idt = 0(2 42)t4idt:qi:qi: qij我们可以选择C个 j，使C个qi相应的方括号表达式为零，那么其余N=M-C个独立的qi对应的方括号内的项必为零。从而得到带约束的拉格朗日方程(修正的拉格朗日方

12、程)为:d,汀、汀:U J：fj()jQidt :q：q:qij 吕：qfj(q1,q2, qM)=0 (j =1,2, C)(i 72, M)(2 43)联立上两个方程，就可确定 M+C个未知数qj, (i= 1,2, M; j 二 1,2, C)【应用实例】求两端固疋杆的轴向自由振动微分方程。、【解】令，u(x,t) =()qi () q2(2-44)L L 即假设模态为i(x) f2(x)吩)2约束边界条件：2-45)u(x, t)Lxu(O,t) =0u(L,t) =0(2 46)9第一个条件由形函数满足，第二个条件实际为:f(qq2)三 u(L,t)q2 =0(2 47)a11a#这

13、就是约束方程。根据2.3节的公式（2-20），可以求出轴向振动的杆的质量矩阵和刚度矩阵为:1 uM = PAl|,4145 一K二EA 1(2 48)a#a#现在用修正的拉格朗日方程来建立方程：本例只有一个约束方程，故只需一个拉格朗日乘子，即在拉格朗日方程中引入 （工）和（工）项，且外cq2(2 49) = = 4-:qi代入修正的拉格朗日方程中，并联立约束方程得到:_1PAL 31_411q1j1（EA）9卫(2 50)q1 q0可由此解出q1, q2, 殳5受约束结构的振动此处的约束是指结构的附加惯性约束或附加弹性约束， 即一个结构由于 添加了质量或弹簧而对结构表现为一种约束，而不是指通常

14、的坐标约束。一般说来，给结构添加一个弹簧，弹簧将对结构的运动表现为一种弹性 约束而使系统的固有频率增加，相反，添加一个质量，也表现为对系统的惯 性约束，但使其固有频率降低。看一个例子：对于一个未受约束的一维结构，受分布力f（x,t）和分布力矩J（x,t）作用, 现求其强迫振动假定其主模态i(x)、固有频率.i已知，则其任一点处的挠度可以表示为：y(x,t)八 l(x)qi(t)( 2-51)i代入拉格朗日方程可得到广义坐标满足的方程：21 LLq'i(tr - i qi(tH 0 f(x,t) l(x)dx。叫x,t) i(x)dx(2 - 52)M i为对应主模态：i (x)的广义质

15、量。如果在x =a处还作用了集中力F(a,t)和集中力矩(a,t)，则相应的广义力虚功由下式确定：(2-53)、W = F (a,t)、y(a,t) 一 I (a,t)、y (a,t)二 F(a,t)' ，i(a)、qi(t)(a,t)' (a'gt)ii则广义力为：(2-54)Qi 二 F(a,t) (a) M (a,t) 1(a)所以，运动方程为：(2 - 55)1qi(t) J qi(t)F(a,t) (a)(a,t)(a)M i方程(2- 53)就是本节分析受约束结构振动的基本方程。当结构上x = a处添加一个刚度系数为k的弹簧时F(a,t) ky(a,t) =

16、 -k' (a)qj(t)(2-56)j当结构上x = a处添加一个集中质量m0时F(a,t) - -m°y(a,t) - -m。' (a)qj(t)(2-57)j【注意】在讨论受约束结构时，均假定未受约束结构的模态参数是已知的，【例】如图所示的一个简支梁，受弹簧约束，求其运动方程 对线弹簧k，F(a,t)二-ky(a,t) = -lo(a)qj(t)j(2 58)对扭簧K ,F(a,t) Ky(a,t) K' (a) qj(t)j(2 59)代入上基本方程:2 1qe z市*ycKgjgj(切(2 60)受弹性约束后结构的主振动仍然是简谐的，所以:(2 61

17、)代入上方程得到:1(2 62)Mi(亠 2)*(a)'j jj-Kg 巧朗(i =1,2, N)由上式中N个qi的系数行列式为零，就得到受约束结构的频率方程。m°n【例】如图所示，在简支梁的x = a处添加一个质量m°，求运动方程。F(a,t) - -m°y(a,t) - -m。' q/ j (a)(2 63)j与上例推导相同，可得到： 1 qi(t)i2qi(t)-m。：i(a)' ：j(a)qj(t)(2 64)Mij从而:a15(2 65)qi=M"，) E(a)'j qj j(a)当仅取未受约束简支梁的第一阶振型时，上方程简化为:Mj 一 2) =2m0 f(a)(2 66)#(2 67)1m0 . 210 i (a)M 1由此式可以看到，如果添加的质量放置在该阶振型的节点处，由于! (a) =0,故此时= !。同样，如果添加的弹簧放置在该处，同样不会对 固有频率产生影响。因此，要通过附加质量或附件弹簧(刚度)的方式