二次型及应用问题1矩阵的等价相似合同辨析答两个矩阵等

1、二次型及应用问题1:矩阵的等价、相似、合同辨析答：(1)两个矩阵等价：A和B等价，即表示为A二B ； A和B是同型矩阵；满 足，PAQ二B, P、Q可逆，即将A通过行初等变化和列初等变换后得到 B的矩 阵，其中 r(A) =r(B)。(2) 两个矩阵相似：A和B相似，即表示为加斓；A和B是n阶方阵；满足，PAP=B ,P可逆， 即也A二B，其中，r(A)=r(B)、 A二 B(3) 两个矩阵合同：A和B合同，即表示为ALB ； A和 B是n阶方阵； 满足，PTAP二B ,P可逆，即也A二B，其中，r(A) = r(B)问题2:通过正交变换或可逆变换得到的标准形一样吗？答：不同点：i) 正交变换

2、得到的实二次型的标准形：对角线元素是实对称阵的特征值；且标准 形在不计特征值顺序时是唯一的。ii) 可逆线性变换得到的实二次型的标准形：对角元素不一定是实对称阵的特征 值，且其形式也不唯一。相同点：i) 平方项中非零项的个数相同ii) 平方项中正(负)项的个数相同问题3：判断下面三个矩阵那些相似？哪些合同？-2 1-10 1 _-_1 0 01A =1、B =-2_1、C =-1 2-3 一1 '3 一1.2 2 一i. A是对角阵，A是上三角阵，且有3个互异特征值与A相同，所以B可以相似 对角阵为A。即A与B相似。ii. 因为A是对角阵，所以与A合同的矩阵必然是对称阵，而B不是对称阵

3、，A与B不合同。iii. 又因为E-C =0得人=-2,妇=1,扎3 =3，C是又实对称矩阵,所以存在正交矩阵Q，使得q'cQ=QTCQ = A, C与A既相似又合同，在由传递性可知，C与B也相似。但C与B不合同，因为C是对称阵，与对称阵合同的矩阵必然是对称阵，而 B不是对称阵,所以C与B不是合同矩阵。问题4:设A是n阶实对称矩阵， AB BtA是正定矩阵，证明A可逆。证明：任意x=0，由于AB BTA正定，总有xtAB BtAx 二Axt Bx BxTAx 0因此，对任意x=0，恒有Ax=0，即齐次方程组 Ax=0只有零解，所以，A 可逆。问题5:用正交变换化二次型为标准形的步骤及其

4、正交变换矩阵，并举例说明。 答：步骤：1、将二次型的矩阵表示；2、求出二次型矩阵A的特征值及其对应的特征向量。分别讨论特征值对应的特征向量，将重根对应的特征向量正交化单位化， 将单根特征值对应的特征向量单位化，3 、由标准型中特征值的位置决定的，由2步中算出的单位正交向 量的列构成矩阵P。4、写出二次型在正交变换下化成的标准形。例：设二次型为 f 捲,x2, x3 = 4x； -3x3 4x2 - 4x3 8x2x3。解：1 二次型矩阵为：_0 2 -21A= 24424-3_2求出A所对应的特征值1 =1,鼻=6, =6,1 =1= r珂-2,0,1丁单位化得5二 =6二.二1,5,2T单位化得P2 =,3030 '3构建以Pl, P2, P3为列向量的矩阵1.305.302 30. 6那么，ptap'I=A =6_6得正交变换X =