导数及偏导数计算

1、第四讲导数及偏导数计算实验目的1进一步理解导数概念及其几何意义.2 .学习 matlab的求导命令与求导法.实验内容1 .学习matlab命令.建立符号变量命令sym和syms调用格式：x=symx, 建立符号变量x；syms x y z ,建立多个符号变量x, y, z；matlab求导命令diff调用格式：diff函数,求,1的一阶导数；diff函数，m ,求f :的n阶导数1 n是具体整数;3fdiff函数 m，变量名,求.u：对二的偏导数二：;竺diff函数,变量名-,n,求“对:的n阶偏导数 T ；matlab求雅可比矩阵命令jacobian,调用格式：jacobian函数；函数函数

2、,=给出矩阵:耐&说苍辭瓦 a/-创曲一勿册一创 附&勿-滋尿&2 导数概念.导数是函数的变化率，几何意义是曲线在一点处的切线斜率.(1) 点导数是一个极限值.例3.1.设，用定义计算丿；.解:二在某一点.的导数定义为极限：. Ax0 +A x) - /(xo)lim 山尤dA I我们记：丄工，输入命令:syms h limit(exp(0+h)-exp(0)/h, h, 0)得结果:ans=1 .可知(2) 导数的几何意义是曲线的切线斜率.例3.2.画出白；匚在门处广- I )的切线及假设干条割线，观察割线的变化趋 势.解:在曲线，上另取一点T Jp，贝打口的方程是：y - 1/ - 1工.

3、即丿一 1y=:工十1h取：二丄1/. syms x; dy_dx=diff(sin(x)/x)得结果：dy_dx=cos(x)/x-sin(x)/xA2.matlab的函数名允许使用字母、空格、下划线及数字，不允许使用其他字符,在这里我们用dy_dx表示例3.4.求fl工厂二的导数.解：输入命令：dy_dx=diff(log(sin(x)得结果：dy_dx=cos(x)/sin(x).在matlab中，函数二用log(x)表示，而log10(x)表示尹例3.5.求-I f二的导数.解：输入命令:dy_dx=diff(xA2+2*x)A20).得结果：dy_dx=20*(xA2+2*x)A19

4、*(2*x+2).注意二-输入时应为2*x.例3.6.求匚=厂的导数.解：输入命令:dy_dx=diff(xAx).得结果：dy_dx =xAx*(log(x)+1).利用matlab命令diff 一次可以求出假设干个函数的导数.例3.7.求以下函数的导数：22直=加銘+2coj2x4血=Mnx解：输入命令：a=diff(sqrt(xA2- 2*x+5) , cos(x2)+2*cos(2*x), 4八(sin(x), log(log(x)得结果：a=1/2/(xA2-2*x+5)A(1/2)*(2*x-2) , -2*sin(xA2)*x-4*sin(2*x),4Asin(x)*cos(x)

5、*log(4), 1/x/log(x).dy1_dx=a(1)dy1_dx=1/2/(xA2-2*x+5)A(1/2)*(2*x-2).dy2_dx=a (2)dy2_dx=-2*sin(xA2)*x-4*sin(2*x).dy3_dx=a (3)dy3_dx=4Asin(x)*cos(x)*log(4).dy4_dx=a (4)dy4_dx=1/x/log(x).a(i)表示向量a的由本例可以看出，matlab函数是对矩阵或向量进行操作的， 第i个分量.(2)参数方程所确定的函数的导数.X = x(t)( 尸叹)确定函数 Kh),那么B的导数例3.8.设i小；，求解：输入命令：dx_dt=d

6、iff(a*(t-sin(t); dy_dt=diff(a*(1-cos(t); dy_dx=dy_dt/dx_dt.得结果：dy_dx=sin(t)/(1-cos(t).其中分号的作用是不显示结果.4 .求多元函数的偏导数.例3.9.设： 厂求u的一阶偏导数.解：输入命令:diff(xA2+yA2+zA2)A(1/2) ,x).得结果：ans=1/(xA2+yA2+zA2)A(1/2)*x.在命令中将末尾的x换成y将给出y的偏导数：ans=1/(xA2+yA2+zA2)A(1/2)*y.也可以输入命令:jacobian(xA2+yA2+zA2)A(1/2), x y).得结果：ans=1/(

7、xA2+yA2+zA2)A(l/2)*x,1/化八2+丫八2+北八2)八(1/2)*丫f du Su 给出矩阵-丄例3.10.求以下函数的偏导数：zi = arctff1.2d解：输入命令：diff(atan(y/x).得结果：ans=-y/xA2/(1+yA2/xA2).输入命令:diff(atan(y/x),y).得结果：ans=1/x/(1+yA2/xA2).输入命令:diff(xAy,x).得结果：ans=xAy*y/x.输入命令:diff(xAy,y).得结果：an s=xAy*log(x).使用jacobian命令求偏导数更为方便.输入命令:jacobian(atan(y/x),

8、xAy, x, y).得结果:ans= -y/xA2/(1+yA2/xA2), 1/x/(1+yA2/xA2)xAy*y/x , xAy*log(x).5 求高阶导数或高阶偏导数.例 3.11 设：八，求.-f.解:输入指令：diff(xA2*exp(2*x) , x, 20).得结果：ans =99614720*exp(2*x)+20971520*x*exp(2*x)+1048576*xA2*exp(2*x)例3.12设上=一 3十2h帮,求刀工创解:输入命令:diff(xA6-3*yA4+2*xA2*yA2 , x, 2)d2z可得到二一：ans=30*xA4+4*yA2.将命令中最后一个

9、x换为y得ans=-36*yA2+4*xA2.输入命令:diff(diff(xA6-3*yA4+2*xA2*yA2，x)，y)可得圧芒:ans=8*x*y同学们可自己计算九比拟它们的结果.注意命令:diff(xA6-3*yA4+2*xA2*yA2 , x, y)，是对y求偏导数，不是求6求隐函数所确定函数的导数或偏导数du岂例3.13.设亠一一 一，求八解“ ；计-匸，先求二，再求壮输入命令:df_dx=diff(log(x)+exp(-y/x)-exp(1), x)得到上:df_dx=1/x+y/xA2*exp(-y/x).输入命令:df_dy=diff(log(x)+exp(-y/x)-e

10、xp(1), y)得到i ；：df_dy=-1/x*exp(-y/x)输入命令:dy_dx=-df_dx/df_dy可得所求结果：dy_dx=-(-1/x-y/xA2*exp(-y/x)*x/exp(-y/x).字例 3.14设川：=I V-，求二，解：.：.； =：T：JI a w r -f 输入命令：a=jacobian(sin(x*y)+cos(y*z)+tan(z*x), x, y, z) 可得矩阵I皿a=cos(x*y)*y+(1+tan(z*x)A2)*z , cos(x*y)*x-sin(y*z)*z,-sin(y*z)*y+(1+tan(z*x)A2)*x.输入命令:dz_dx

11、=-a(1)/a(3)得：dz_dx=(-cos(x*y)*y-(1+tan(z*x)A2)*z)/(-sin(y*z)*y+(1+tan(z*x)A2)*x) 输入命令:dz_dy=-a(2)/a (3)得：dz_dy=(-cos(x*y)*x+sin(y*z)*z)/(-sin(y*z)*y+(1+tan(z*x)A2)*x)练习1.求以下函数的导数. y = xsin x In xy * x t 1-11xy = In(x . x2a2 )y = 2sin2 4(3)x22.求以下参数方程所确定的函数的导数X = t4y = 4t(1)3.求以下隐函数的导数.x = ln (1 +t2)y = t _ arctgt(1)y；_2arctg ln . x2 x 、y2xy = yxex cosx，求 y(4)5.验证y二ex sin x满足关系式y _2y 2y =06.求以下函数的偏导数.(1)z = x2