第四章向量组的线性相关性总结

1、第四章向量组的线性相关性§ 1n维向量概念、向量的概念 定义in个有次序的数aa2,，K所组成的数组称为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量，第i个数a,称为第i个分量.注1分量全为实数的向量称为 实向量.分量不全为实数的向量称为复向量.注2n维向量可以写成一行的形式a =(ai,a2,，an ),出可以写成一列的形式a?,前者称为行向量,a =:而后者称为 列向量.行向量可看作是一个1 n矩阵,故又称行矩阵；而列向量可看作一个n 1矩阵，故又称作列矩阵.因此它们之间的运算就是矩阵之间的运算，从而符合矩阵运算的一切性质.向量之间的运算只涉及到线性运算和转置运算.为叙述方便，特别约定

2、：在不特别声明时说到的向量均为列向量，行向量视为列向量的转置.注3用小写黑体字母a,b,a,B等表示列向量，用aT bT J PT表示行向量.例 1 设 w =(1,1,0)t,V2=(0,1,1)丁皿=(3,4,0)T，求 W -V2 及 3« 2V2-V3.解 wV2=(1,1,0)t -(0,1,1)T=(10,1-1,0 1)T =(1, 0,1)T3w 2V2 -V3 =3(1, 1, 0)t2(0, 1, 1)T-(3, 4, 0)t=(3 1 2 0-3, 3 1 2 1 -4, 3 0 2 1 -0)t= (0, 1, 2)t定义设v为n维向量的集合，如果集合 V非空

3、，且集合V对于加法与数乘两种运算封闭(即若a v, 3 V,有a+ 3 V；若a V, k R,有ka V),称V为向量空间。§ 2向量组的线性相关性一、向量组的线性组合定义3给定向量组 A：印月2,am,对于任何一组实数 k1,k2/ ,km,称向量k1a1 k2akmam为向量组A的一个线性组合，k1，k2,km称为这个线性组合的系数定义4给定向量组 A：印月2,am和向量b,若存在一组实数 、，匕,'m,使得b = '£1 2*2' mam则称向量b是向量组 A的一个线性组合,或称向量b可由向量组 A线性表示.a2注1任一个n维向量a =:都可

4、由n维单位向量组©，佥，耳线性表示：0 .丿a =6 a262anC.注2向量b可由向量组 A：耳月2,an线性表示(充要条件)=方程组aiXi - a?X2 anXn =b有解=Am nX 二 b 有解由向量印月2, ,an线二 R(A) =R(A,b)注3由于线性方程组的解分为：无解，有唯一解，有无穷多解三种情况，所以向量 性表示的情形也分为三种：不能线性表示，唯一线性表示，无穷多种线性表示，且线性表示式中的系数就 是对应线性方程组的解。二、向量组的等价1、定义定义5设有两个n维向量组A: q,a2,，am, B: b，d，若向量组B中每个向量都可由向量组 A线性表示，则称向量组

5、B可由向量组 A线性表示；若向量组 A与向量组B可以互相线性表示，则称这两个向量组等价.注1向量组的等价是一种等价关系 ，即向量组的等价具有：自反性、对称性、传递性2、向量组等价的条件定理1向量组B： gd，,bl可由向量组A: a,a2/ ,am线性表示=存在矩阵K,使B二AK .证明由于一个向量b可由向量组 A线性表示可等价地表示成方程b = kjak2aJam,那么若向量组B可由组A线性表示，则对组B的任意向量bj有bj =kjk2j2 宀km/' m，：1厂2,：m),j =1,2,s二 bi,b2, ,bs 二印耳，,amkiik21煜k1sk22k2sk m2kms称矩阵K

6、m s =(Kj)为这个线性表示的系数矩阵或表示矩阵推论1向量组B: bb,，b|可由向量组A: aa2, 為线性表示二存在矩阵K ,使B = AK二矩阵方程AX二B有解二 R(A)二 R(A, B)推论2向量组A： aid, ,am与向量组B： bb, ,b等价R(A)二R(B)二R(代B).3"£3、-1101-11,a2 =1,bi =1,b2 =0,Q 27设a1二,证明向量组a1,a2与向量组b|,b2,b3等价.R( A)二 R(A,B)R(B) =2 .R(A)二 R(B)二 R(A, B)=2.向量组a1,a2与向量组Ebb等价.书1 =勺+。3 +%卩2

7、"Z+5，证明向量组讣2,.n与向量组-1, -2/' , 'n 等价.广13 213广13 2 13、-110 1-10 2 1111110 20 0 0 0 01-13120 丿卫0 0 0 0丿(A,B)二=2证明记AhC,:-2>:n)，B=(-1，-2/，-n)，K,则由已知有B = AK .=(-1严(n -1) = 00 A 二 BK，向量组:1,三、线性相关与线性无关1、向量组线性相关的概念K可逆.可由向量组-1, '2/' , 'n线性表示，从而两向量组等价定义1给定向量组 A：q,a2,am ,若存在不全为零的数 k1

8、, k2 / ,km,使k<1 k22 宀J =02则称向量组A是线性相关的否则称它为线性无关 注1向量组耳，,am线性无关：二当且仅当、二= = 0时,才有H 2二匚2亠 亠；n% =注2对于一个向量组，不是线性相关，就是线性无关注3只含一个向量a的向量组，若a = 0,则它线性相关；若a = 0,则它线性无关.注4任一含有零向量的向量组线性相关注5两个向量线性相关的充要条件是其对应分量成比例注6两向量线性相关的几何意义是两个向量共线；三个向量线性相关的几何意义是三个向量共面2、向量组线性相关的条件定理1向量组A：ai,a2,am(m 1)线性相关=A中至少有一个向量可由其余向量线性表

9、示.证明 设向量组AgQ,am线性相关，则有不全为零的数 K,k2,km使kvk22 kmm = 0不妨设k0 ,则厲2 +厲3 +%,即卩ai可由a2,，am线性表示；ikl丿1%丿反之，设向量组A中有一个向量可由其余m-1个向量线性表示，不妨设为am ,则存在实数 '1, '2,，m使22幕歸m_1，故 22人m_1> m J：；： T a 0 .因为'1, '2；，m_1, 这m个数不全为零，所以向量组A线性相关.定理2向量组A®®, ,am线性相关二有不全为零的数 K,k2,，0使冷、 k22kmm = 0.二齐次线性方程组1咅

10、*2X2 W7*mXm =0有非零解.u R( A) ；： m ,其中 A = (a1,a2,，am).推论1向量组A：aa2， ,am线性无关=齐次线性方程组1為=协2川川*mXm =0只有零解.u R( A) = m ,其中 A = (a1,a2, , am).推论2m个m维向量组aa2,，am线性相关二 A=0,其中A = (qa?,，am).例3设向量组aa2，a3线性无关，b|=aa2,tb=a2a3,b3二a3'ai,讨论向量组dbb的线性相关性.解法一设存在x!，x2,x3使x1b1x2b2x3b3=0，即心2)，x2C1-：i3)x3(3 T) =°,亦即 ：

11、'1,' 2,' 3线性无关x-ix3=0x-ix2=0x2x3=0101(1)常110=2式0011解法二记 A = (ai,a2,a3), B = (d,b2, bs), K10 1、1 1 0,x =X21° 1 bBx = 0广101、叮(b1,d,b3)=(a1,a2,a3)110L011 JB=AK. A(Kx)=O' A的列向量线性相关.Kx =0又-.向量组b!，b2,b3线性无关.解法三记 A =(ai,a2,a3), B =(bi,b2,d), K 二(b1,b2,b3)=(a1,a2,a3)二 K =2鼻0 二 R(A)=R(B)

12、叮 向量组 a1,a2,a3 线性无关二 R(A) = 3二R(B) = 3-向量组b|,b2,b3线性无关.3、向量组线性相关的性质性质1若向量组Aaa?, ,am线性相关,则向量组B：a,a2, ,am,am 1也线性相关;反之，若向量组B：aa2， ,am,am1也线性无关,则向量组ApQ, Q也线性无关.注1性质1的结论可以简述为：部分相关则整体相关，整体无关则部分无关.证明 记A=(a1,a2,am) B =(印, 咼1),则R(B)乞R(A) 1 .由于若向量组A线性相关，故R(A) < m ,于是R(B)乞R(A) V： m 1,从而向量组B线性相关.方程组只有零解x-=x

13、2=x3=0 向量组鸟山2山3线性无关性质 , am2若n维向量组a ai0ma2m线性无关，则n + s维向量组zaii、£ '''aim "a2ia22a2 mB : bi =anib2 =an 2,bm anm也线性无关biiabi2bi m<bsilbs2 丿bsm anm丿注2性质2可简述为：无关组添加分量后仍无关；反言之，相关组减少分量后仍相关证明 记人珂耳旦,am) , B =(b,b2,bm),则R(A)乞R(B)乞m.由于向量组A线性无关,故R(A) = m ,于是R(B)二m ,从而向量组B线性无关.性质3当m时，m个n维向

14、量线性相关.注3性质3可简述为：向量个数大于维数时必线性相关.证明 记m个n维向量qq,，am构成矩阵Am耳,，am),则R(A)岂n ： m ,故向量组aa, ,am线性相关.性质4若向量组Aym,am线性无关，而向量组Bga,am,b线性相关，则向量b可由向量组 A线性表示，且表示方式是惟一的.证明 记A = (ai, a2,，am) B = (ai,，am, b).由于若向量组 A线性无关，故R(A) = m,故R(B)_ R(A)二m；又由向量组B线性相关知R(B)：m，1.于是m R(B) ： m T,所以R(A) =R(B)二m ,方程组Ax =b有唯一解.这表明向量b可由向量组

15、A线性表示，且表示方式是惟一的 例4设向量组ai，a2，a3线性相关，而向量组a2，a3,a4线性无关，证明(1) a能由a2,a3线性表示；(2) a不能由a,a2,a3线性表示.证明(1)''向量组a2,a3,a4线性无关.向量组a2,a3线性无关又；向量组ai,a2,a3线性相关.ai能由a2,a3线性表示(2)设a4能由ai，a2, a3线性表示,由于ai能由a2, a3线性表示，故设a能由a2, a3线性表示,矛盾.4.向量组线性相关性的几种判定向量组的线性相关的几种常用方法归纳如下：I定义法这是判定向量组的线性相关性的基本方法，既适用于分量没有给出的抽象向量组，也适

16、给出的具体向量组定义设向量组a1,a2, , ,an(n > 1)，若数域F中存在不全为零的数k,k2, ,kn使得k1a1 +k2 a2+, +knan= 0，则称向量组a, a2, , , an线性相关，否则，则称向量组a,a2, , , an.例仁 设'-1= a, + a2,-2 =+比，-3 = a3 + a4,二印+印，证明向量组匚线性相证明：设存在四个数k,k2,k3,k4,使得k,+k2：2 + k3：3 +k4：4 = o ,将=a,+a2,:2 =az，：3 = a3 +创，:4 =a4 + ai，代入上式整理得(k, +k4)a,+(k,+ k?)a?+(k

17、3+ 匕)a3+(ks + k4)a°= o，贝U令k, =k3=, k2 =k4= o ，则有k,a, +k2a2+k3a3+k4色=o，所以由线性相关的定义知：,：2, -3，-4线性相关2利用向量组的线性相关的充要条件向量组a, a2 , , , an (n > 2)的线性相关的充要条件是向量组中至少有一个向量可由其余向量线性表示.而对于单个向量 a, , q线性相关的充要条件是a, = 0 .如例,-4= '-,+ -2+ -3，即B 4可由其余三个向量线性表出，故向量组*, -2, -3,-4线性相关3方程组法方程组法就是将向量组的线性相关性问题转化为齐次线性

18、方程组的有无非零解的问题对于各分量都给出的向量组a,a2, , ,an线性相关的充要条件是以a,a?,寺 的列向量齐次线性方程组有非零解；若齐次线性方程组只有零解，则向量组线性无关例 2 :讨论向量组 a, = (,-2,5),a2 =(0,2,-5),a3 = (-,0,2)的线性相关性.解：以a,还，爲 为系数的齐次线性方程组是k,-2 k2+3k3 = o& o k,+2k2 -5 k3 = o& /k, +ok2 +2k3 = 0解之得k, =2 k3 = c,k2=3k3 = C2(其中c, , C2为任意常数)，故a, a：, a3线性相关.4.矩阵秩法矩阵秩法就是

19、将向量组构成矩阵，利用矩阵的初等变换，将矩阵化为阶梯形矩阵.当矩阵的秩小于向量的个数，向量线性相关；当矩阵的秩等于向量的个数，向量线性无关5行列式值法若向量组a, a2 ,，是由n个n维向量所组成的向量组，且向量组a, a2 , , , an所构成的矩阵为A = ( a, a2 , , , an)，即A为n阶方阵.则(1) 当丨A I = 0 ,则向量组 印，a2 , , , an线性相关;(2) 当丨A |工0，则向量组ai, a2 , , , an线性无关 § 3极大线性无关组-、定义1. 最大线性无关组： 在向量组A :r,2,，s中，存在部分向量组：j,i2,，ip满足:门)

20、： i1,i2,ip线性无关;(2)对于向量组A中任一个向量as，都有:-i1/- i2 / / ip，as线性相关。则称:i1,i2,，： ip是：r,2，s的一个最大线性无关组,i1i2,ip 是2. 向量组的秩：称最大线性无关组中所含向量的个数为向量组的秩，如上面定义中冷，2,，s的一个最大线性无关组，则称1，2,，s的秩为p，记为R(：1，： 2， ，: s)二P。例:求向量组:-1=(3,6, -4,2,1)丁，： 2 =(-2, -4,3,1,0)T二(-1,-2,1,2,3)：4 =(1,2, -1,3,1)丁的秩及一个最大线性无关组，并将其余的向量用最大线性无关组表示。分析：容

21、易发现用定义的形式很难求秩和最大线性无关组，为此我们从方程组和矩阵之间的关系以及 方程组和向量组之间的关系可以得到，向量组的秩及其最大线性无关组应该与其对应的矩阵的秩以及矩阵 的最高阶非零子式之间有某种关系，为此我们给出： 定理：矩阵的秩等于其行向量组的秩，也等于其列向量组的秩；矩阵A的行向量组的秩等于 r。解：3-2-11、<1031、<1031、6-4-226-4-2201-41A =(£SSSS )=-431-1T-431-1T0010212321230000031<3-2-11000>所以 R(：1,： 2,： 3,： 4)=R(A) =3，：'

22、;1,23是12,34的一个最大线性无关组。(当然易见124亦是1,23,4的一个最大线性无关组)<10010101为了把 叫用宀,线性表示，把 A再变成行最简形矩阵 at00100000<0000丿2.注意(1) 向量组最大无关组一般不惟一；(2) 最大无关组中所含向量个数相同，即向量组的秩惟一；(3) 若向量组线性无关，它的最大无关组是惟一的，就是它本身；(4) 判断向量组的线性相关与线性无关性的方法：由Ax =0的解是有惟一零解或有非零解来判断向量组的线性相关与线性无关性:n维向量组2,Cm线性无关:Ax=o有唯一零解线性相关:Ax=o有非零解由向量组的秩来判断来判断向量组的

23、线性相关与线性无关性:若RC 1, ： 2, , ： m) ： m，向量组线性相关；若 R(：1,：2, ，: m)二m，向量组线性无关.(5) 矩阵的等价与向量组的等价有区别：两个矩阵的等价是它们同型且秩相等而两个向量组的等价是它们的秩相等且能相互线性表示但应注意，若矩阵A与矩阵B行(或列)等价，则 A的行(或列)向量组与B的行(或列)向量组等价。3. 性质(1) 单位坐标向量组e,e2,，編是Rn的一个最大无关组；(2) 向量组(I)与它的最大无关组 T是等价的；(3) 同一向量组的任意两个最大无关组是等价的；(4) 两个等价的线性无关的向量组所含向量个数相同；(5) 等价的向量组具有相同

24、的秩；(6) 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩.3.求秩与极大无关组的常用方法方法1将向量组G：排成矩阵3 :(列向量组时)或(行向量组时)(*)并求的秩"，则，即是该向量组的秩；再在原矩阵A中找非零的丁阶子式'，则包含：的，个列（或行）向量即是口的列（或行）向量组的一个极大无关组.方法2将列（或行）向量组巴 排成矩阵如（*）式，并用初等行（或列）变换化1为行（或列） 阶梯形矩阵G （或匸），则厂（或匕'）中非零行（或列）的个数即等于向量组的秩，且 气 W 是该 向量组的一个极大无关组， 其中是（或匚'）中各非零行（或列）的第1个非零元素所

25、在的列（或 行）.方法3当向量组中向量个数较少时， 也可采用逐个选录法：即在向量组中任取一个非零向量作为 迟， 再取一个与 叫的对应分量不成比例的向量作为，又取一个不能由订 和&线性表出的向量作为,继续进行下去便可求得向量组的极大无关组 对于抽象的向量组，求秩与极大无关组常利用一些有关的结论，如“若向量组（I）可由向量组（n）线性表示，则（I）的秩不超过（n）的秩”，“等价向量组有相同的秩”，“秩为的向量组中任意厂个线性无关的向量都是该向量组的极大无关组”等§ 4线性方程组解的结构一、齐次线性方程组解的结构1、齐次线性方程组解的性质性质1如果冷，是方程Ax =0的解向量,则:

26、< ：2也是它的解； 性质2如果是方程Ax =0的解向量,k为实数,则k>也是它的解.注1 一般地,如果5 *,亠是方程Ax =0的解向量,k!,k2/ ,ks为实数,则kv1 k2： 2亠'亠O s也是它的解.2、齐次线性方程组的基础解系定义1齐次线性方程组的解集 S| Ax二ol的最大无关组称为该方程组的基础解系.定理1设R（ A） = r,则n元齐次线性方程组 Ax = 0的基础解系含n - r个向量.（1）方程组的解集S中的任一向量x可由-2,n#线性表示；（2）12，：2线性无关所以12,n +是解集S的最大无关组，即冷2,n+是方程AX = 0的基础解系即齐次线

27、性方程组Ax =0的基础解系含n - r个向量.3、齐次线性方程组的基础解系的求法定理1给出了求齐次线性方程组 Ax=O基础解的一种方法.即先求出齐次线性方程组的通解 ，再根据 通解写出基础解系实际上，可根据以下方法先求出基础解系 ，再写出其通解：X1 X2 - X3 - X4 = 0 例1求齐次线性方程组2Xi -5x2 3x3 2x4 =0的基础解系和通解.7xi - 7x2 3x3 X4 = 0第一步将系数矩阵A的用初等行变换化为行最简形为解.f11-1-1、<10-2/7_3/7、2-53201_5/7-4/7I7-73 1000丿A =B写出原方程的同解方程第二步根据矩阵原方程

28、组的同解方程为23X3X47754X3X477第三步依次让自由未知量 xr 1,xr ,2/- ,xn取下列n-r组数依次令f 、X3ro'f 、X11X27 '7、聞；¥丿，于是方程组的基础解系为i 2/7 '1 3/7、5/7，4/710< 0< 11 =第四步写出方程组的通解f yX17、3/7 X2=5/7+ r* o4/7X331U 201X4丿'、0< 1丿方程组的通解为,(C1, C2 R)例2求齐次线性方程组X1 X2 X3 4x4 - 3x5 = 02X1 ' X2 3X3 5X4 -5X5 = 0的基础解系

29、和通解.Xt - x2 3x3 - 2x4 - x5 = 03x1 x2 5x3 6X4 - 7x5 = 01114-3、 (1021-2、2135-501-13-11-13-2-1000001567 j20000-X42X5X1=-2x3原方程组的同解方程为X2 =X3 -3X4X5o O 11 - ， JO 1 O丿1 o O1 2，于是方程组的基础解系为(2(-1 )1-311,巴2 =0,巴3 =00101°.方程组的通解为ki1k22k33(,k2,kR)二、非齐次线性方程组解的结构1、非齐次线性方程组解的性质性质3如果冷，2是方程Ax = b的解,则： - ：-2是对应的齐次线性方程组 Ax = 0的解；性质4如果是方程Ax二b的解,而是对应的齐次线性方程组 Ax = 0的解,则.八】也是方程 Ax = b 的解例3设1,，s是非齐次线性方程组 Ax二b的s个解，匕,，ks为实数，满足kk2 ，ks = 1.定理2设是非齐次线性方程组 Ax二b的一个特解，亠2,，