初中数学中考专题复习《等边三角形》

1、第 10 页 共 35 页初中数学中考专题复习等边三角形【目标】1. 掌握等边三角形的性质和判定.2. 掌握含30°角的直角三角形的一个主要性质3. 熟练运用等边三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算知识点一、等边三角形等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形.知识点解释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形也就是说等腰三角形包括等边三角形知识点二、等边三角形的性质等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60知识点三、等边三角形的判定等边三角形的判定：（ 1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个

2、角是60°的等腰三角形是等边三角形知识点四、含30°的直角三角形含 30°的直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.知识点解释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”， 是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.一、等边三角形例题1、 如图 在等边ABC中， ABC与ACB的平分线相交于点O，且 OD AB， OE AC（ 1）试判定ODE的形状，并说明你的理由；2）线段BD、 DE、 EC三者有什么关系？写出你的判断过程【思路】 （ 1 ）根据平行线的

3、性质及等边三角形的性质可得到ODE是等边三角形；（ 2）根据角平分线的性质及平行线的性质可得到DBODOB，根据等角对等边可得到DB DO，同理可证明EC EO，因为DE OD OE，所以BD DE EC【答案】解： （ 1）ODE是等边三角形，其理由是：ABC是等边三角形，ABCACB60°， OD AB， OE AC，ODEABC60°，OEDACB 60°ODE是等边三角形；（ 2）答：BD DE EC，其理由是：OB平分ABC，且ABC 60°，ABOOBD30°，OD AB，BODABO30°，DBODOB，DB DO，同理

4、， EC EO， DE OD OE， BD DE EC【总结】本题主要考查学生对等边三角形的判定及性质的理解和应用.举一反三：【变式】等边ABC， P 为 BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P 上，使三角板绕P点旋转如图，当P 为 BC的三等分点，且PE AB时，判断EPF的形状 .【答案】解： PE AB，B 60°，因此直角三角形PEB中，BE 1 BP 1 BC PC，BPE 30°，EPF 60°， FP BC，BC 60°，BE PC，PEBFPC 90°，BEPCPF， PE

5、PF，EPF 60，EPF是等边三角形例题2、已知：如图，ABC中，AB AC，ABC 60°， ，AD CE，求BPD的度数.第 53 页 共 35 页60°的等腰三角形是等证明：在ABC中，AB AC，ABC 60ABC为等边三角形（有一个角为边三角形） AC BC，AECB 60°在 ADC 和 CEB 中AC CB （已证）AECB（已证）AD CE （已知）ADC CEB（ SAS）1 2（全等三角形对应角相等）DPB23（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）DPB13ACBDPB 60° .【总结】 这道题利用等边三角形每个角都是60

6、°的性质，并借助全等三角形，和三角形的外角性质使问题得以解决.例题3、 （ 1）如图，点O是线段AD的中点，分别以AO和 DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和 BD，相交于点E，连接BC，求AEB的大小；2）如图，OAB固定不动，保持OCD的形状和大小不变，将OCD绕着点O旋转（OAB和OCD不能重叠），求 AEB的大小【思路】 （ 1）由于OCD和OAB都是等边三角形，可得OD OC OB OA，进而求出BDA与CAD的大小及关系，则可求解AEB （ 2）旋转后， BOD与AOC仍然保持全等， ACOBDO， AEDACODCOCDBBDO60&

7、#176;CDB60°CDO120°，从而得到AEB的值.【答案】证明： （ 1） O是 AD的中点， AO DO又等边AOB和等边COD AO DO CO BO，DOCBOCAOB 60° CAOACOBDODBO30°AEBBDOCAO 60°（ 2） BODDOCBOC，AOCAOBBOCBODAOC在BOD与AOC中，BO AOBOD AOCDO COBODAOC（ SAS）ACOBDOAEDACODCOCDBBDO 60°CDB 60°CDO 60°60°120°AEB 180

8、6;AED 60° .【总结】 这道题利用等边三角形每个角都是60°的性质，并借助全等三角形，和三角形的外角性质使问题加以解决.举一反三：【变式】如图，已知ABC和CDE都是等边三角形，AD、 BE交于点F，求AFB 的度数.【答案】解：ABC和CDE都是等边三角形， AC BC， CE CD，又ACBBCDECDBCD，即ACDBCE，ACDBCE，CADCBE，设 AD与 BC相交于P点，在ACP和BFP中，有一对对顶角，AFBACB60°例题4、已知：如图，B、 C、 E 三点共线，ABC， DCE 都是等边三角形，连结AE、 BD分别交CD、 AC于 N、

9、 M，连结MN.求证：AE BD， MN BE.证明：ABC，DCE都是等边三角形 BC AC， CE CD，13 60 1 23 180°2 60° BCD ECA在 BCD 和 ACE 中BC ACBCD ACE （已证）CD CEBCDACE （ SAS） BD AE（全等三角形对应边相等）45 （全等三角形对应角相等）在 BMC 和 ANC中45BC AC （已证）12BMCANC（ ASA） MC NC（全等三角形对应边相等）2 60°MCN是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）6 60°，61 MN BE（内错角相

10、等，两直线平行）【总结】 本题应从等边三角形的性质出发，利用三角形全等证明AE BD；为证明MN BE，可先证明MNC为等边三角形，再利用角去转化证明 .例题5、如图，ABC为等边三角形，延长BC到 D，延长BA到 E，使AE BD，连接CE、 DE. 求证：CE DE.E此题如果直接找含有CE和 DE的三角形找不到，也不方便证ECDEDC，联想的全等三角形的性质，把原等边ABC扩展成大等边BEF后，易证EBCEFD.【答案】证明：延长BD至 F，使DF AB，连结EFABC为等边三角形 AB BC, B 60o AE BD， DF AB AE AB BD DF即 BE BFBEF为等边三角形

11、 BE EF, F 60o在EBC与EFD中EB EFBFBC DFEBCEFD EC ED【总结】 本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定，关键是在现有图形不能解决问题时，将原图补全成为有对称美感的等边三角形，对学生综合运用知识解答问题的能力要求较高.举一反三：【变式】如图所示，ABC是正三角形，BDC是顶角BDC 120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、 AC边于M、 N两点，连接MN试探究线段CN、 BM、 MN之间的关系，并加以证明【答案】 对于此类题，三条线段之间的关系一般是它们的和差关系，证明方法通常采用截长补短法证明：如图

12、所示，延长AC至 M1，使CM1 BM，连接DM1 ABC是正三角形， ABCACB 60° BDC 120°，且BD CD， DBCDCB 30° ABDACD 90°又 BD CD， BM CM1， Rt BDM Rt CDM1(SAS)DM DM1，BDMCDM1， MDM1MDCCDM1MDCBDMBDC 120°又 MDN 60° M1DNMDN 60°又DM DM1， DN DN， MDNM1DN(SAS)MNM1N NCM1CCNBM二、含30°的直角三角形例题 1、如图所示，A60°，CE

13、AB于E，BDAC于D，BD与CE相交于点H， HD 1， HE 2，试求BD和 CE的长【答案】解：BD AC于 D，A 60°，ABD 90°60°30°，在 Rt BEH中，HEB 90°，EBH 30° BH 2EH 4同理可得，CH 2HD 2， BDBHHD415CECHHE224【总结】 已知条件中出现60°角与直角三角形并存时，应考虑到 “在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，进而把三角形中角与角的关系转化为边与边之间的关系，充分应用转化思想来解决问题举一反三：

14、, ABC中 , ACB 90° , ABC 60° , AB的中垂线交 BC的延长线于D，交AC于 E, 已知DE 2. 则 AC 的长为3；提示：举一反三：所以AC 3.连接AD，证ABD为等边三角形，则DEAE2，CE1，如图所示，在ABC中，AB AC， D是 BC边上的点，DE AB，DF AC，垂足分别为点E、 F，BAC 120°证明：在 ABC中， AB AC， BAC 120°，1 B C (180 BAC) 30 DE AB， DF AC，11 DE BD ， DFCD221 DE DF BC2例题2、如图所示，在等边ABC中，AE

15、CD， AD、 BE相交于点P，BQ AD于 Q，求证：BP 2PQ【思路】 (1) 从结论入手，从要证BP 2PQ联想到要求PBQ 30°(2)不能盲目地用截长补短法寻找要证的“倍半”关系本题适合用“两头凑”的方法，从结论入手找已知条件，即BP 2PQ PBQ 30°，另一方面从已知条件找结论，即由条件 ACDBAE BPQ60° PBQ 30°，分析时要注意联想与题目有关的性质定理【答案】证明： ABC为等边三角形， AC BC AB，CBAC 60°在ACD和BAE中，AC ABC BAE,CD AEACDBAE（SAS）CADABE C

16、ADBAPBAC 60°，ABEBAP60°，BPQ60° BQ AD， BQP 90°， PBQ 90°60°30°， BP 2PQ【总结】 本题主要考查了等边三角形的性质、三角形外角的性质、含30°直角三角形的性质及全等三角形的判定与性质， 考查了学生综合运用知识解答问题的能力.A】1 如图，ABC是等边三角形，点 D在 AC边上， DBC=3°，5 则 ADB（）A 25°B 60°C 85°D 95°2以下叙述中不正确的是（）A等边三角形的每条高线都是角平分

17、线和中线；B有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形；C等腰三角形一定是锐角三角形；D在一个三角形中，如果有两条边相等，那么它们所对的角也相等；反之，在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等3. 下列每组三角形中，不一定全等的是（）A. 有一个角是60°且腰长相等的两个等腰三角形B.周长相等的两个等边三角形C.有一个角是100°，腰长相等的两个等腰三角形D.有两条边分别相等的两个等腰三角形4. ABC中三边为a、 b、 c， 满足关系式（ a b） （ b c） （ c a） 0，则这个三角形一定为（）A等边三角形B等腰三角形C等腰钝角三角形D等

18、腰直角三角形5. 等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是（）A.105°B.120 °C.135 °D.150 °6. 如图， 等边三角形ABC中，D为 BC的中点，BE平分ABC交 AD 于E，若CDE的面积等于1，则ABC的面积等于（）A 2B 4 C 6D 127. 如图，等边ABC的周长是9， D是 AC边上的中点，E在 BC的延长线上若DE DB , 则 CE的长为 _8如图，ABC为等边三角形，DC AB， AD CD于 D若ABC的周长为12cm ，则CD cm 9. 下列命题是真命题的是有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角

19、形有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形三个外角都相等的三角形是等边三角形10. ABC为等边三角形，D、 E、 F 分别在边BC、 CA、 AB上， 且 AE=CD=B， F则DEF为 三角形 .11. 如图所示，ABC为等边三角形，AQ PQ， PR PS， PR AB于 R，PS AC于 S， ? 则四个结论正确的是P 在A的平分线上；ASAR； QPAR； BRPQSP.12. 如图， ABC是等边三角形，点 D是 BC边上任意一点，DE AB于点 E ， DF AC 于点 F 若 BC 4，则BE CF 13. 已知：如图， ABD

20、为等边三角形，ACB为等腰三角形且ACB 90°，DE AC交 AC延长线于E，求证：DE CE.14. 已知，如图，ADC是等边三角形，B 是 DC边中点，E在 AC延长线上且CE BC.请判断ABE的形状并证明你的结论.15. 如图，直角ACB中，ABC 90°，BAC 30°，而ACD和ABE都是等边三角形，AC， DE交于F. 求证：FD FE且 CF 3AF.【高效练习A答案与解析】1. 【答案】D；【解析】ADBDBCC 35°60°95° .2. 【答案】C；【解析】等腰三角形顶角还可能是直角或钝角.3. 【答案】D；【

21、解析】D选项腰长相等的锐角三角形和钝角三角形不全等.4. 【答案】B；【解析】由题意a b或 b c或 a c，这个三角形一定是等腰三角形 .5. 【答案】B；【解析】等边ABC的两条高线相交于O，OABOBA 30°，故AOB 120° .6. 【答案】C；【解析】AE 2DE，ABC的面积是CDE面积的6倍 .7. 【答案】3 ；2【解析】DBEDEB 30°，CE DC 1 AC 3228. 【答案】 2；【解析】在直角三角形中，30°的直角边等于斜边的一半.9. 【答案】【解析】 一般等腰三角形的两个底角的外角都相等；等腰三角形底边上的高就是底边

22、的中线.10. 【答案】等边；【解析】利用SAS可以判定EAFFBDDCE，从而可得，EF=FD=D，即 EDEF为等边三角形.11. 【答案】；12. 【答案】 2；【解析】BE1BD；CF1 DC，BE CF 1 （BDDC）2.22213. 【解析】证明：连接DC，ABD为等边三角形，DABDBA 60°90°，又 ACB 为 等 腰 三 角 形 且 ACBCABCBA 45°，BDCADC 30CBD 15°，DCB 180°30°15°135又AC BC，DCE 45° DE ACDEC为等腰直角三角形

23、DE CE14. 【解析】 ABE为等腰三角形.证明：ADC是等边三角形，B是 DC边中点ACD 60°，DABCAB 30°又CE BC，CBECEB，CBECEBACD 60°CEB 30°在ABE中，CABCEB 30°ABE为等腰三角形.15. 【解析】证明：作DG AC于 G，ACD和ABE都是等边三角形，CDG 30°，DC AC， AB AE， CGAG在ABC与DGC中ABC DGCBAC CDG 30AC DCABCDGC（ AAS） DG AB AE在DGF和EAF中，DFG EFA DGF EAFDG AEDGF

24、 EAF（ AAS）AF GF， FD FE CG AG， AF GF AG CF 3AF.B】1. 以下命题中，正确的是（）A. 等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离之和大于腰上的高B. 一腰相等的两个等腰三角形全等C. 有一角相等和底边相等的两个等腰三角形全等D. 等腰三角形的角平分线、中线和高共有7 条或 3 条2如图，B、 C、 D在一直线上，ABC、ADE是等边三角形，若CE 15cm ， CD 6cm ，则AC（） cmA.9B.8C.7D.103. 已知AOB 30°，点 P在AOB的内部，P1与 P关于OB对称，P2与 P 关于OA对称，则P1， P2与 O三点构成的

25、三角形是（）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 视 P点的位置而定4. 如图， 木工师傅从边长为90cm的正三角形木板上锯出一正六边形木块，那么正六边形木板的边长为（）A.34 cm B.32 cm C.30 cm D.28 cm5. 已知ABC是等边三角形，D是 BC边上的任意一点，连接AD并作等边三角形ADE，若DE AB，则BD 的值是（）DCA.1 B. 2C.1 D.32326. 如图，A、 C、 B三点在同一条直线上，DAC和EBC都是等边三角形，AE、 BD分别与CD、 CE交于点M、 N，有如下结论：ACEDCB； CM CN； AC DN 其中，正确结论的个

26、数是（）C.1个 D.0 个7.如图，已知AB AC BC AD,則BDC8. 如图， 在ABC中， 12，EDCBAC， AEAF，B60°，则图中的线段: AF 、 BF、 AE、 CE、 AD、 BD、 DC、 DF中与 DE的长相等的线段有条.9. 如图，已知ABC中，AB AC，BAC 120°，DE垂直平分AC交BC于 D，垂足为E，若DE 2cm，则BC cm.个点P，使PAB,10. 在等边三角形ABC所在平面内能找到PBC, PAC都是等腰三角形.11如图，已知ABC是等边三角形，点O是 BC上任意一点，OE、OF 分别与两边垂直，等边三角形的高为1 ，则

27、OE OF 的值12如图，等边三角形ABC中，D、 E分别为AB、 BC边上的两个动点，且总使ADBE，AE与CD交于点F，AGCD于点G，则FAGF13. 已知ABC为正三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM CN，直线BN与 AM相交于点Q下面给出BQM的大小，然后猜测BQM是否为定值并利用其中一图证明你的结论14. 已知ABC和DEF为等边三角形，点D在ABC边 AB上，点F在直线 AC上(1) 若点C和点F重合 (如图所示 )，求证AE BC；(2) 若 F 在 AC的延长线上( 如图所示 ) ， (1) 中的结论是否成立，给15. 数学课上，李老师出示了如

28、下框中的题目在等边三角形ABC 中， 点 E 在AB 上，点 D 在 CB 的延长线上，且ED EC , 如图 . 试确定线段AE 与DB 的大小关系，并说明理由.小明与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：1）特殊情况，探索结论E 为 AB 的中点时，如图1 ，确定线段AE与 DB的大小关系， 请你直接写出结论：AED（填B“>”,“<” 或 “”）图1图22）一般情况，证明结论如图2，过点E 作 EF/ BC，交AC于点F.1）中所填写结论的证明）证明：B 答案与解析】1. 【答案】D；【解析】一般等腰三角形的角平分线有7 条，等边三角形的角平分线有 3 条 .2. 【答案】A；【解

29、析】证ABDACE，ACBCBDCDCECD1569cm .3. 【答案】C；【解析】根据对称性，P1OP2 60°，且OP1 OP2 OP .4. 【答案】C ；【解析】 图中小三角形也是正三角形，且边长等于正六边形的边长，所以正六边形的周长是正三角形的周长的2 ， 正六边形的3周长为90× 3× 2 180cm，所以正六边形的边长是1803÷ 6 30cm5. 【答案】C；【解析】 根据题意：若 DE AB， 必有BDE 30°，而EDA 60°；故 AD BC；即BD DC；故BD 的值是 1DC6. 【答案】B；【解析】 正确. 证ACEDC（B SAS） ， EMCBN（CASA） .7. 【答案】150°；【解析】设CBD