经典《极坐标与参数方程》综合测试题(含答案)

1、极坐标与参数方程综合测试题1 .在极坐标系中，已知曲线 C: p =2cos,B将曲线C上的点向左平移一个单位， 然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的 2倍，得到曲线G,又已知直线I过点 P( 1,0)，倾斜角为工，且直线I与曲线Ci交于A，B两点.3(1)求曲线Ci的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；()求蔺W.2 .在直角坐标系xoy中，圆C的参数方程伫爲e ("为参数)，以0为极 点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求圆C的极坐标方程;B=与圆C的交(2)直线I的极坐标方程是2 p sin(肝)=3；，射线0M :点为0、P,与直线I的交点为Q，求线段PQ的长.3.在极坐

2、标系中，圆C的极坐标方程为：p=4 p (cos +sin 0 - 6.若以极点0 为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系.(I)求圆C的参数方程；(U)在直角坐标系中，点P (x, y)是圆C上动点，试求x+y的最大值，并求 出此时点P的直角坐标.4 .若以直角坐标系xOy的0为极点,标系，得曲线C的极坐标方程是Ox为极轴，选择相同的长度单位建立极坐6cos 8(1) 将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；'_3彳(2) 若直线I的参数方程为円 t(t为参数)，p 2o L当直线|与曲线CIS丿相交于A，B两点，求I2|ab|pa|pb5在平面直角坐标系x

3、Oy中，以原点0为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线Ci的参数方程为=385寸为参数)，曲线C2的极坐标方y =2si n 日程为-1 - |.(1)求曲线Ci的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)设P为曲线G上一点，Q曲线C2上一点，求|PQ|的最小值及此时P点极 坐标.6. 在极坐标系中，曲线C的方程为p=，点R (2 :,).l+2sin4(I)以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线 C的 极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；(U)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴， 求矩形PQRS周长的最小值.7.

4、 已知平面直角坐标系中，曲线 Ci的参数方程为' 1 (©为参数)，y-L+3sin$以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为p =2cos 0(I)求曲线Ci的极坐标方程与曲线C2的直角坐标方程；(n)若直线0= (p R)与曲线Ci交于P，Q两点，求|PQ的长度.8 .在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，己知直线I的极坐标方程为p cos-0 p sin 0，曲线C的极坐标 方程为 p sin0 =2pcos 0p> 0).(1) 设t为参数，若x=- 2+，t，求直线I的参数方程；2 已知直线

5、I与曲线C交于P、Q,设M (- 2, - 4 )，且|PQ2=|MP|?|MQ|， 求实数p的值.9 在极坐标系中，射线 I :B=与圆C: p =2交于点A,椭圆r的方程为 p=，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOyl+2sin2 B(i)求点a的直角坐标和椭圆r的参数方程；(u)若e为椭圆r的下顶点，f为椭圆r上任意一点，求：i?的取值范围.10已知在直角坐标系中，曲线的 C参数方程为为参数)，现ly=l+2sin(P以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线I的极坐标方程为=4卩 cosB -sin0 '(1) 求曲线C的普通方程和直线I的直角坐标方程

6、； 在曲线C上是否存在一点P，使点P到直线I的距离最小？若存在，求出距 离的最小值及点P的直角坐标；若不存在，请说明理由.11. 已知曲线Cl的参数方程为 （t为参数），以原点0为极点，以x轴I 尸一 4t-2的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为.-一1 -cos H（I）求曲线C2的直角坐标系方程；（II）设Mi是曲线Ci上的点，M2是曲线C2上的点，求|MiM2|的最小值.12. 设点A为曲线C: p =2cos在极轴Ox上方的一点，且OW，以极点为4原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系 xOy,（1）求曲线C的参数方程；（2）以A为直角顶点，A0为一条直角边作等腰直角

7、三角形 OAB（ B在A的右下 方），求B点轨迹的极坐标方程.13在平面直角坐标系xOy中，曲线Ci：为参数，实数a> 0),|.y=asin$曲线Q：(尸比口启°(©为参数，实数b>0).在以O为极点，x轴的正ty=b+bsin(P半轴为极轴的极坐标系中，射线1： 9 =( p> 0，0< a< )与Ci交于O、2A两点，与C2交于O、B两点当a =0寸，|OA|=1 ;当a=时，| OB| =2.(I)求a，b的值；(n) 求 2| OA| 2+|OA|?| OB| 的最大值.14.在平面直角坐标系中，曲线a为参数)经过伸缩变换*(y2si

8、na后，曲线为C2,以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建极坐标系.(I)求C2的极坐标方程；(n)设曲线C3的极坐标方程为p si n(芈-9) =1,且曲线C3与曲线C2相交于P，Q两点，求| PQ|的值.15已知半圆C的参数方程为丄",a为参数，a - _ ,二.(y-1+sina22(I)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极 坐标系，求半圆C的极坐标方程；(U)在(I)的条件下，设 T是半圆C上一点，且OT二=，试写出T点的极坐标.16已知曲线Ci的参数方程为；zp4+5costi尸5+5虽口七(t为参数)，以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极

9、坐标系，曲线C2的极坐标方程为p =2sin.B(I)把Ci的参数方程化为极坐标方程；(U)求Ci与C2交点的极坐标(p> 0，0 < 9< 2n)极坐标与参数方程综合测试题答案一解答题（共16小题）1 .在极坐标系中，已知曲线 C: p =2cos,B将曲线C上的点向左平移一个单位， 然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的 2倍，得到曲线G,又已知直线I过点P（1,0），倾斜角为上，且直线I与曲线Ci交于A，B两点.3（1）求曲线Ci的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；（2） 求+ '.|PA| |PB|【解答】解：（1）曲线C的直角坐标方程为：x2+y2- 2x=0即

10、（x- 1） 2+y2=1.一2n曲线G的直角坐标方程为一=1，4曲线C表示焦点坐标为（-励，0），（雄，0），长轴长为4的椭圆2 n（2）将直线I的参数方程代入曲线C的方程| , -=1中，得13t2 4t -12=0 .4设A、B两点对应的参数分别为t1，t2，=2 五.32. 在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程 卩二齢匚丁（©为参数），以o为极 tysin'P点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆C的极坐标方程;（2）直线I的极坐标方程是2p si n（0+）=3二射线OM : 0=与圆C的交3 3唸:弈（e为参数）点为O、P,与直线I的交点为Q，求线段PQ

11、的长.【解答】解：（I）利用cos ©+sin2© =1把圆C的参数方程"化为（x- 1） 2+y2=1，p - 2 p cos 0 =0即 p =2cos.0f P !=2cos 8 i0）为点P的极坐标，由”口冗ji _P 2=3°2=Tr P 2(sin 6 2+Vsc0S 6 2)=3/s设（p, 62）为点Q的极坐标，由'兀,解得、0i= 6,二 | PQ = p - p| =2.I PQ =2.3. 在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：p=4 p （cos+sin 6 - 6.若以极点0 为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系.（

12、I）求圆C的参数方程；（U）在直角坐标系中，点P （x, y）是圆C上动点，试求x+y的最大值，并求 出此时点P的直角坐标.【解答】（本小题满分10分）选修4 - 4:坐标系与参数方程解：（I）因为 p=4 p （cos +sin ）- 6，所以 x2+y2=4x+4y - 6，所以 x2+y2 - 4x- 4y+6=0，即（x- 2） 2+ （y-2） 2=2为圆C的普通方程.（4分）所以所求的圆C的参数方程为丄 （6为参数）.（6分）（y=2+V2sinB（儿）由（】）可得， ：丨 _ ： ： ； i .二7 分）当一十时，即点P的直角坐标为（3, 3）时，（9分）x+y取到最大值为6.（

13、10 分）4. 若以直角坐标系xOy的O为极点，Ox为极轴，选择相同的长度单位建立极坐 标系，得曲线C的极坐标方程是p=.（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；厂3（2）若直线I的参数方程为* P （t为参数），P 3,0，当直线I与曲线Cy=V3t2 丿相交于A, B两点，求|2ab|PA| |PB（II）设（p，【解答】解：（1）：p 二， p sin2 0 =6 p cos 9sin2 e曲线C的直角坐标方程为y2=6x.曲线为以（：；，0）为焦点，开口向右的抛物2线.（2）直线I的参数方程可化为丁 ，代入 y2=6x 得 t2- 4t - 12=0.1y 2

14、 T解得 ti= - 2, t2=6.ab|2PA PB5. 在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立x - 3cos极坐标系，曲线G的参数方程为'G为参数），曲线C2的极坐标方程为=2si n日-' .i.（1）求曲线Ci的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C上一点，Q曲线C2上一点，求|PQ|的最小值及此时P点极 坐标.【解答】解：（1）由消去参数a，得曲线Ci的普通方程为 工+X二1 . ：.-!- :由- - II得，曲线C2的直角坐标方程为 '二江（2）设 P （2 近 cos a 2sin a，贝 U点P至U曲 线

15、C2的 距 离 为|270鈕兰迄灯辺-5|限2（°叶）咗| 5-3口9（舟）d= 7i=7?=75'当）二1时，d有最小值书，所以| PQ的最小值为首. 在极坐标系中，曲线C的方程为p=，点R （2 '：，）.l+2sin2e4(I)以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线 C的 极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；(U)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴， 求矩形PQRS周长的最小值.【解答】解：(I)由于x= p cos，y=p sin，O2则：曲线C的方程为p=，转化成匚卜-'-l+2

16、sinZ 93点R的极坐标转化成直角坐标为：R (2, 2).(U)设 P (一 ；T )根据题意，得到Q (2，sin )则：|PQ=2卫eg Q，| QR|=2 - sin 0 所以：丨 PQ+| QR =4-2min 6 十-) 当 3时，(IPQI + I QR ) min=2，&矩形的最小周长为4.7 已知平面直角坐标系中，曲线Ci的参数方程为P=V3+3cos* (©为参数)，ly=-l+3sin$以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为p =2cos. 0(I) 求曲线Ci的极坐标方程与曲线C2的直角坐标方程；(n)若直线0= ( p

17、 R)与曲线G交于P，Q两点，求|PQ的长度.6t=a/+3cos【解答】解：(I)曲线Ci的参数方程为. (©为参数)，利用平方关ly=-l+3sin0系消去©可得：上：；+ (y+i) 2=9,展开为：x2+y2- 2沙x+2y-5=0，可得极坐标方程：- . p cos+2 p sin -0 5=0.曲线C2的极坐标方程为p =2cos,0即p =2 p cos, 0可得直角坐标方程：x2+y2=2x.(II) 把直线0=( p R)代入 p 2 -2/3 p cos0 p sin 0 5=0，整理可得：p2-2p-5=0,p+ p=2, p? p2= - 5, |P

18、Q=| p-p|=|. j , = / I !,： =28 .在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位 建立极坐标系，己知直线I的极坐标方程为p cos- p sin 0 =2S线C的极坐标方 程为 p si2i0 =2pcos 0p>0).(1) 设t为参数，若x=- 2+，t，求直线I的参数方程；2(2) 已知直线I与曲线C交于P、Q,设M (- 2 ,-4),且|PQ2=|MP|?|MQ| , 求实数p的值.【解答】解：(1)直线I的极坐标方程为p cos- p sin 0 =2化为直角坐标方程：xy- 2=0.I x=- 2+ t, y=x- 2=- 4

19、+ t，直线I的参数方程为:2 2参数).(2)曲线 C 的极坐标方程为 p si?i0 =2pcos 0p>0),即为 psin2 0 =2p p co( 0> 0),可得直角坐标方程：y2=2px.把直线I的参数方程代入可得：t2-( 8+2p)-t+8p+32=0. t1+t2= (8+2p):, t1t2=8p+32.不妨设 |MP|=t1, | MQ| =t2.| PQ| =|t1-划=/( t 】+1 2)T t t(呂+ ) 2-432)=命十32p 2 | PQ2=| MP| ?| MQ| , 8p2+32p=8p+32,化为：p2+3p - 4=0,解得p=1.9

20、 .在极坐标系中，射线 1: 0=与圆C: p =2交于点A,椭圆r的方程为6p2=，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOyl+2sin2e（i）求点a的直角坐标和椭圆r的参数方程;（u）若e为椭圆r的下顶点，f为椭圆r上任意一点，求“的取值范围.【解答】解：（i）射线I: b=与圆c： P =2交于点a（2, 2L）,点a的直角坐 6 6标（二，1）；椭圆r的方程为 p =，直角坐标方程为一+y2=1，参数方程为l+2sin e3严（B为参数）；I尸sin 9（U）设 F （忑cos 0, sin 0，- E（ 0，- 1），血=（-V5，- 2）， AF = 3cos 0-

21、 V5，sin 1），AE?AF=- 3cos 0+3 - 2 （sin （- 1） "psin （ 0+a） +5， 的取值范围是5-5+.10已知在直角坐标系中，曲线的C参数方程为Jk=1+2cos © |y=l+2sin（©为参数），现以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线I的极坐标方程为=4卩 cosB -sin0（1）求曲线C的普通方程和直线I的直角坐标方程;（2）在曲线C上是否存在一点P，使点P到直线I的距离最小？若存在，求出距离的最小值及点P的直角坐标；若不存在，请说明理由.【解答】解：（1）曲线的c参数方程为1 -： ：，（©

22、为参数），普通方程为|y=l+2sin（P（x- 1） 2+ （y- 1） 2=4，直线I的极坐标方程为p=，直角坐标方程为x-y-4=0;cos y -sin y（2）点P到直线I的距离V2V2y=-4 X -211. 已知曲线Ci的参数方程为A - '-_i (t为参数)，以原点0为极点，以x轴 的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为.'(I) 求曲线C2的直角坐标系方程；(II) 设Mi是曲线Ci上的点，M2是曲线C2上的点，求|MiM2|的最小值.【解答】解：(I)由.可得 p =)e2，.p2= (x-2) 2，即 y2=4 (x- 1);(U)曲线Ci

23、的参数方程为P=2t_1 (t为参数)，消去t得：2x+y+4=0.y=-4t-2曲线Ci的直角坐标方程为2x+y+4=0. Mi是曲线G上的点，M2是曲线C2上的点， | MiM2|的最小值等于M2到直线2x+y+4=0的距离的最小值. 设M2 (r2- i，2r)，M2到直线2x+y+4=0的距离为d，代入 p=2cos 0并整理得，门；：上一：-:代入 p=2cos 0并整理得，门；：上一：-:依题意，|MiM2|的最小值为一.10i2.设点A为曲线C: p =2cos在极轴Ox上方的一点，且0W BW，以极点为 原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系 xOy,(1) 求曲线C的参数方

24、程；(2) 以A为直角顶点，AO为一条直角边作等腰直角三角形 OAB( B在A的右下 方)，求点B轨迹的极坐标方程.x =i+ cos日k【解答】(iMx 1:(0覗兰一，0为参数)ly=si2(2):设 A ( p0， 0)，且满足 p=2cos 0， B ( p, 0)，rP=V2P 0爭p代入 p=2cos 0并整理得，门；：上一：-:所以点B的轨迹方程为-；:l-:7 一一匚13在平面直角坐标系xOy中，曲线Cl： ：1 （ ©为参数，实数a>0）,曲线C2：'（©为参数，实数b>0）.在以O为极点，x轴的正半轴y=b+bsin 0为极轴的极坐标

25、系中，射线1: 0 =（ p>0，o< a一）与Ci交于o、a两点，2与C2交于O、B两点当a =0寸，|OA=1 ;当口=时，| OB|=2.（I）求a，b的值；（n） 求 2| OA| 2+|OA|?| OB| 的最大值.【解答】解：（I）由曲线Ci：（尸（©为参数，实数a>0），化为普通方程为（x- a） 2+y2=a2，展开为：x2+y2- 2ax=0,其极坐标方程为 p=2a p cos, 0即p =2acos 0由题意可得当 0 =0寸，| OA| = p =1 二 a=.2曲线C2：' 1（©为参数，实数b>0），ty=b+bs

26、in化为普通方程为x2+ （y- b） 2=b2，展开可得极坐标方程为 p =2bsin,0由题意可得当9 弓时，| OB|=p =2二b=1.厶（儿）由（I）可得C1，C2的方程分别为p =cos,0 p =2sin.0 2| OA| 2+| OA| ?| OB| =2co$ 0+2sin 0 cos 0 =s+COs0 +1曲垃2 8 + 晋"）+1，T 20+ 丄"-_i+1 的最大值为 匚+1，当2 0+=时，0=时取到最大值.42814.在平面直角坐标系中,曲线C1:|.y2sina（a为参数）经过伸缩变换'yv后的曲线为C2,以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（I）求C2的极坐标方程；(U)设曲线C3的极坐标方程为p sin(2L- 9) =1，且曲线C3与曲线C2相交于P, Q两点，求|PQ|的值.【解答】解：(I) C2的参数方程为("ZE (a为参数)，普通方程为(X-1) 2+y'2=i, C2的极坐标方程为p =2cos；(n) C2是以(1, 0)为圆心，2为半径的圆，曲线G的极坐标方程为p sin(6-9 =1，直角坐标方程为x-wEy- 2=0,V