初二数学最短路径问题知识归纳+练习

1、初二数学最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题,点之间的最短路径.算法具体的形式包括：旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结确定起点的最短路径问题即已知起始结点，求最短路径的问题.确定终点的最短路径问题确定起点终点的最短路径问题与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题.-即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径.全局最短路径问题求图中所有的最短路径.【问题原型】【涉及知识】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”【出题背景】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等.,“轴对称

2、”【解题思路】我对称点实现“折”转“直”,近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查.【十二个基本问题【问题11作法图形原理B在直线1上求一点P,使PA+PB值最小.【问题2】“将军饮马”A，在直线1上求一点P,使PA+PB值最小.【问题3112在直线11、12上分别求点M、N,使PMN的周长最小.【问题4】12在直线11、12上分别求点M、N,使四边形PQMN的周长最小.【问题5】飞告桥选班”连AB,与l交点即为P.AP作法图形两点之间线段最短.PA+PB最小值为AB.原理作B关于1的对称点B，连AB/,与1交点即为P.AB1P,B'两点之间线段最短.PA+PB最小值为AB/作法图形

3、原理分别作点P关于两直线的对称点P7和P，连PzP7与两直线交点即为M,N.作法分别作点Q、P关于直线11、12的对称点Q/和P7连Q/P，与两直线交点即为M,N.P'PNP''两点之间线段最短.PM+MN+PN的最/4值为线段PzP，/的长.图形12原理Q'QPN.图形两点之间线段最短.四边形PQMN周长的最小值为线段P，P，/的长.P'范文mnMmMB*AM+MN+BNm值最/作法AAABBl/MN(MN点向左平A''MN并使*作法P'PAB作法BNAA关于作点12MB连A/B*作法【问题AAB1*位得A称点A点B交1MA&#

4、39;11A向右平移li直线1的交点即为P111i关于11的对称a个单位得MAM+MN+NB的值最/JAM+MN+NB的值最/J作点B1于点N12的对称点12a个长度单关于1的无11上求点A11P关于11的对称点PA，B,交直线在12上求值最小.将点A向下平移MN的长度连AB,作AB的中垂线与1于NA/B7交12于MA为11上一定点，B为12m/nA/B,使PA+AB上分别求点M、N,使MN于点N,过N作NMmaNm、n,A，B,交nN,单位得A，A.12上求点M,AAMmn112121P两点之间线段最短.AM+MN+BN的最小值为A，B+MN.原理两点之间线段最短.AM+MN+BN的最小值为

5、A，B+MN.原理点到直线，垂线段最短.PA+AB的最小值为线段P7B的长.原理两点之间线段最短.AM+MN+NB的最小值为线段A，B7的长.原理垂直平分上的点到线段两端点的距离相等.在直线1上求一点P,使PAPB的值小小.PAPB=0.【问题10作法图形原理ABl在直线l上求一点P,使作直线AB,与直线l的交点即为P.1三角形任意两边之差小于PA-PB<AB.PA一PB|的最大值=AB.pAPB叩值最大.原理【问题11】#11IoLJ.在直线l上求一点P,使作B关于l的对称点B/作直线AB，与l交点即为P.三角形任意两边之差小于第三边.|PA_PB|<ABPA-PB最大值=AB7

6、pA-PB口勺值最大.【问题12“费马点”作法图形原理 ABC中每一内角都小于120° ,在 ABC 内求一点 使PA+PB+PC值最小.所求点为“费马点”，即满足/ APB=/ BPC = /APC= 120.以 AB、AC为边向外作等边ABD、 ACE ,连 CD、BE 相交于P，点P即为所求.两点之间线段最短.PA+ PB+ PC 最小值 =CD .【精品练习】1 .如图所示，正方形 ABCD的面积为12, ABE是等边三角形，点一点P,使PD +PE的和最小，则这个最小值为（）E在正方形 ABCD内，在对角线AC上有A. 2 3B. 2 6C. 3 R2.如图，在边长为 2的

7、菱形 ABCD中，/ ABC = 60 交于点E、F ,则 CEF的周长的最小值为（）A. 2B. 2 第C. 2 -*3D. 4,若将 ACD绕点 A旋转，当 AC，、AD，分别与BC、CD3.四边形ABCD中，/B=/D=90°,/C=70。，在BC、CD上分别找一点M、N,使AMN的周长最小时,/AMN+/ANM的度数为（A. 120 B. 130C. 110 D. 1404 .如图，在锐角ABC 中,AB =4 V2，/ BAC = 45 ° , / BAC 的平分线交上的动点，则 BM +MN的最小值是BC于点D, M、N分别是 AD和ABC5 .如图，RtA A

8、BC 中，/ C= 90 ° , / B= 30 ° , AB= 6,点 E 在 AB 边上，点（不与点B、且ED = AE,则线段 AE的取值范围是 .C重合），D在BC边上6 .如图,AOB = 30 ，点 M、N分别在边 OA、OB上，且 OM = 1 , ON = 3,点P、Q分别在边则MP + PQ+ QN的最小值是 （注“勾股定理” 即 RtAABC 中，/ C= 90° ,则有 AC 2 BC 2 AB2 ）OB、 OA 上,:直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方,7.如图，三角形 ABC 中，/ OAB =/ AOB = 15，点B在x轴的正

9、半轴，坐标为 B（ 63 , 0）.OC平分/ AOB，点M在OC的延长线上，点N为边 OA上的点，则 MA + MN的最小值是 范文8.已知 A ( 2, 4)、B (4, 2) . C在y轴上，D在x轴上，则四边形 此时C、D两点的坐标分别为ABCD的周长最小值为 ,yh.ABM1O9.已知 A ( 1 , 1)、B (4, 2).(1) P为X轴上一动点，求 PA+PB的最小值和此时P点的坐标;BA*Ox(2) P为x轴上一动点，求pA _PB !的值最大时 P点的坐标;BA*O*x(3) CD为x轴上一条动线段,D在C点右边且 CD = 1 ,求当 AC+ CD+ DB的最小值和此时C点的坐标;范文10.点C为/AOB内一点.(1)在OA求作点D,OB上求作点E,使CDE的周长最小，请画出图形；(2)在(1)的条件下，若/AOB=30°,OC=10,求CDE周长的最小值和此时/DCE的度数.11 . ( 1)如图， ABD和 ACE均为等边三角形,BE、CE 交于 F,连 AF,求证：AF +BF +CF = CD ;(2)在ABC中，