高一数学：函数的单调性知识点+例题讲解+课堂练习

1、.第 3 讲函数的单调性资料x ， y 同号，平均变化率x 0，y增函数；x ， y 异号，平均变化率x 0，y减函数课时数量2 课时（ 120 分钟）适用的学生水平? 优秀? 基础较差? 中等理解函数的单调性定义，会根据函数图象写出单调区间并判断函数单调性根据定义证明给定函数在指定区间上的单调性教学目标 （考试要求）能讨论简单复合函数的单调性渗透数形结合的数学思想，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力重点：函数的单调性定义，证明给定函数在指定区间上的单调性教学重点、难点难点：复合函数的单调性分析建议教学方法数形结合，讲练结合教学内容一、知识梳理单调性定义设函数 y f ( x) 的定义

2、域为 A，区间 MA .如果取区间 M 上的任意两个值 x 1 , x 2，改变量 x x2x1 0，则当yf ( x2 )f (x1 ) 0 时，就称函数f ( x) 在区间 M上是增函数；当yf ( x2 )f (x1 ) 0 时，就称函数f ( x) 在区间 M上是增函数如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是减函数， 就说这个函数在这个区间 M 上具有单调性（区间M 称为单调区间） ;.提示函数 f ( x) 、g( x) 公共定义域指f ( x) 的定义域与g( x) 的定义域的交集提示这一连串的看似相同的结论，结合单调函数的图象不难理解.二、方法归纳在同一单调区间上，两个增（减）函

3、数的和仍为增（减）函数，但单调性相同的两个函数的积未必是增函数设 x1 , x2 a,b ，若有（ 1） f (x1 )f (x2 ) 0，则有 f (x)在 a, b 上是增函数x1x2（ 2） f (x1 )f (x2 ) 0，则有 f (x)在 a, b 上是减函数x1x2在函数f (x) 、 g (x) 公共定义域内，增函数 f (x)增函数 g( x) 是增函数；减函数 f (x)减函数 g( x) 是减函数；增函数 f (x)减函数 g( x) 是增函数；减函数 f (x)增函数 g( x) 是减函数函数的单调性常应用于如下三类问题：（ 1）利用函数的单调性比较函数值的大小（ 2）

4、利用函数的单调性解不等式，常见题型是，已知函数的单调性，给出两个函数的大小，求含于自变量中的某个特定的系数，这时就应该利用函数的单调性“脱”去抽象的函数“外衣”，以实现不等式间的转化（ 3）利用函数的单调性确定函数的值域，求函数的最大值和最小值若函数 yf ( x) 在定义域a,b上递增，则函数值域为( f (a) ， f (b) ) ；若函数 yf ( x) 在定义域a,b上递减 ,则函数值域为 (f (b) ， f (a) )；若函数 yf ( x) 在定义域a,b上递增，则函数值域为 f ( a) ， f (b) ；若函数 yf ( x) 在定义域a, b上递减，则函数值域为 f (b)

5、 ， f (a) ；若函数 yf ( x) 在定义域a,b上递增， 则函数的最大值为f (b) ，最小值为f ( a) ；若函数 yf ( x) 在定义域a,b上递减， 则函数的最大值为f (a) ，最小值为;.f (b) ；三、典型例题精讲例 1若 yax 与 yb 在 0,上都是减函数，对函数 yax 3bx 的单x调性描述正确的是 ()A. 在,上是增函数B.在0,上是增函数C. 在,上是减函数D. 在,0 上是增函数， 在 0,上是减函数解析:由函数yax在0,上是减函数，得0a ，又函数 yb在 0,上是减函数，得b 0，x于是，函数 ax3 ， bx 在,上都是减函数， 函数 ya

6、x3bx 在,上是减函数，故选【技巧提示】熟悉函数yax ， yax 3 ， ybx ， yb 的符号的关系，就能正确的描述由它们组合而成的函数的单调性例 2求函数f ( x)x1x3 的最大值Cb的单调性与a 、x提示利用函数的单调性求函数的值域这是求函数的值域的又一种方法解析：由 f ( x)x1x34，xx 13知函数 f (x)x 1x3在其定义域3，+上是减函数所以 f ( x)x1x3 的最大值是 f (3)2 【技巧提示】显然由x1x 34使得问题简单化，x 1x 3当然函数定义域是必须考虑的又例已知 x0,1，则函数 yx 21x 的值域是.解析：yx21x 在 x0,1上单调

7、递增，函数 yx21x 的值域是f (0), f (1)即21,3;.提示关于复合函数及复合函数的单调性问题，可由学生先初步了解，待学习基本初等函数时，逐步积累，再总结提示讨论给定函数在指定区间上的单调性，通常利用单调性的定义。作差，变形，判别符号是常规步骤。资料f (x)baxx(a 0,b0) 被称为对号函数对号函数是奇函数，其图象是双曲线， y 轴和直线 yax 是其渐近线.再例 求函数 yx12x 的值域解析：yx12x在定义域1 ,上是增函数，2函数yx12x 的值域为1,2例 3函数 f ( x) 在 R 上为增函数，求函数yf ( x1) 单调递减区间解析：令 ux1 ，则 u

8、在 ( , 1 上递减，又函数 f ( x) 在 R 上为增函数， 函数 yf ( x1) 单调递减区间为 ( , 1 .【技巧提示】这是一个求复合函数的单调性的例子，同时又含有抽象函数只要知道函数 x 1 的单调性， yf ( x 1) 与 x1 的单调性和单调区间相同如果变函数f ( x) 在 R 上为减函数，那么函数yf ( x1)的单调性与函数x 1 的单调性相反，即函数 y f ( x1) 单调递增区间为 ( , 1 .又例设函数 f ( x) 在 R 上为减函数，求函数yf (1) 单调区间x再例设函数 f ( x) 在 R 上为增函数，且f (x) 0，求证函数y1在 Rf (

9、x)上单调递减例 4试判断函数 f ( x)axb(a0, b0)在 0,上的单调性x并给出证明 .解析：设 x1x2 0，f x1f x2x1x2ax1 x2b由于 x1x2 0x1x2故当 x1 , x2b ,时 fx1fx20 ，此时函数 fx在b ,aa上增函数，同理可证函数f x在 0,b上为减函数 .a;.【技巧提示】f ( x) axb(a0, b0) 是一种重要的函数模型，要引起足够x的重视 事实上， 函数 fxaxb0, b 0的增函数区间为ba,xa和b ,，减函数区间为0,b 和b ,0但注意本题中不能说 f xaaa在,bb ,上为增函数，在 0,bb ,0上为减函数

10、,aaaa在叙述函数的单调区间时不能在多个单调区间之间添加符号“”和“或”又例：求函数 yx25 的最小值x 24解析：由 yx25x 241u1g u , u2,用单x 24x24u调性的定义法易证g u1在 2,上是增函数，易求函数x25 的yuux 24最小值为 5 为所求2再例：已知函数 fxx 22 xa , x1,.若对于 x1, f ( x)x 0恒成立，试求 a 的取值范围 .解析：由 f (x) x22xaxa2, x1,.xx当 a 0 时，f xxa2显然有 f ( x) 0在 1.恒成立；xa 0 时，由 fxx22xaa2, x1,知其为增函数，只需xxxf ( x)

11、 的最小值 f(1) 3 a 0, 解之， a 3.当 a 3 时， f ( x) 0 在 1,上恒成立 .例 5已知 f (x) 是定义在 R上的增函数， 对 x R有 f ( x) 0，且 f (10) 1，设 F (x) = f ( x)1，讨论 F ( x) 的单调性，并证明你的结论f ( x)解析：在R 上任取 x1 、 x2 ，设 x1 x2 ， f ( x2 ) f ( x1 ) ，;.F ( x2 ) F ( x1 ) f ( x2 )11f ( x2 ) f ( x1 )f ( x1 ) f (x2 )f ( x1 ) 11,f (x1 ) f (x2 ) f ( x) 是

12、R 上的增函数，且f (10) 1，当 x 10时 0 f ( x) 1，而当 x 10 时 f (x) 1； 若 x1 x2 10，则 0 f ( x1 ) f ( x2 ) 1， 0 f ( x1 ) f ( x2 ) 1，110，f ( x1 ) f ( x2 ) F (x2 ) F ( x1 ) ； x2 x1 10，则 f ( x2 ) f ( x1 ) 1 ， f ( x1 ) f ( x2 ) 1 ，110，f ( x1 ) f ( x2 ) F ( x2 ) F (x1 ) ；综上， F (x) 在（， 10）为减函数，在（10，）为增函数.【技巧提示】该题属于判断抽象函数的单

13、调性问题，用单调性定义解决是关键例 6已知 1a1 ，若 f ( x)ax22x1在区间 1， 3上的最大值为3M (a) ，最小值为 N ( a) ，令 g (a)M (a)N (a) （ 1）求函数 g (a) 的表达式；（ 2）判断函数 g (a) 在区间 1， 1上的单调性，并求g (a) 的最小值3解析：（ 1） 1a1 函数 fx 的图像为开口向上的抛物线，且对称轴3为 x11,3.a1 fx 有最小值N (a)1.a111M af 1a 1；当 2 3时， a , f (x) 有最大值a32;.当 11 2 时， a ( 1 ,1,f ( x) 有最大值 M （ a） f(3)

14、9a 5；a2a1(1a1),232g (a)a1 (19a6a1).a2（2）设 1a1a21 , 则32g (a1 ) g (a2 )( a1a2 )(11)0,g(a1)g(a2 ),a1 a2g (a)在1,1 上是减函数32设 1a1a21,则 g(a1 )g(a2)(a1 a2 )(91 )0,g(a1 )g(a2 ),2a1a2g (a)在 (1 ,1 上是增函数当 a1时， ga 有最小值1 2122【技巧提示】当知道对称轴为 x1,3后，要求 f ( x)ax22x 1在区a间 1，3上的最大值为M (a) ，最小值为N (a) ，就必须分类讨论本题对培养学生分类讨论的思想有

15、很好的作用第（ 2）问讨论一个分段函数的单调性并求最值，也具有一定的典型性四、课后训练1、函数f ( x)x1 ( x 0) 的单调性描述，正确的是（）xA 、在 (， )上是增函数；B 、在 (， 0) (0， )上是增函数；C、在 (， 1) (1， )上是增函数；D 、在 (， 1) 和(1， )上是增函数2、证明函数f x x 2 在 0，）上是增函数3、证明函数 y4x1在 1,) 上是增函数x24、对于任意 xR ，函数 fx表示x 3，3 x1， x 24x 3 中的较22大者，则f x 的最小值是 _.;.5、已知函数f (x) 、 g(x) 在 R上是增函数，求证：f ( g

16、( x) 在 R上也是增函数 .f xx226、已知函数2x 3 ，那么（）A y fx 在区间1,1 上是增函数BCDyfx 在区间,1 上是增函数yfx 在区间1,1上是减函数yfx 在区间,1 上是减函数7、函数f ( x) 是定义在 0,) 上的单调递减函数，则f (1x2 ) 的单调递增区间是8、函数 y2x 的递减区间是；函数 y2x 的3x63x6递减区间是9、设 yfx 是 R 上的减函数，则y fx 3 的单调递减区间为10、求函数f ( x)x 22ax1在区间 0,2 上的最值11、若函数f ( x)x22x2 当 x t, t1 时的最小值为 g(t) ，求函数g (t

17、) 当 t 3,2时的最值12、讨论函数f ( x) ax(a0)，在 1 x 1 上的单调性21x五、参考答案1 D2略13解析：设x1 x2 ，则f ( x2 ) f ( x1 ) 4 x21 （ 4x11 ）x2x1 4( x2x1 )x1x2 ( x2 x1 )4x1 x 21 ，x1 x 2x1 x2 x2 x10 ， x1 x21 ， f ( x2 ) f (x1 ) 04;. 函数 y4x1在 1 ,) 上是增函数x24 25证明：设x1 x2 ，则 f (x1 ) f ( x2 ) 0， g( x1 ) g (x2 ) 0，即 g (x1 ) g ( x2 )于是f ( g (

18、x1 ) f ( g(x2 ) 0 f (g ( x) 在 R上也是增函数 .6 C7 0,18 (,2)和( 2,)(2,29 3,)10解析：函数f ( x)x 22ax1( xa)2(a21) ，当 a0时， f ( x) 在区间 0,2 上的最小值为fmin (x) f (0) 1f ( x) 在区间 0,2上的最大值为f max (x) f (2) 34a ；当0a1时， f ( x) 在区间 0,2 上的最小值为f min ( x) (a 21)f ( x) 在区间 0,2上的最大值为f max (x) f (2) 34a ；当1a2时， f ( x) 在区间 0,2 上的最小值为f min ( x) (a 21)f ( x) 在区间 0,2上的最大值为f max (x) f(0) 1；当 a2 时， f ( x) 在区间上的最小值为f min ( x) f ( 2) 34af ( x) 在区间 0,2上的最大值为f max (x) f (0) 1；11解析：因为函数 f ( x)x22x2 ( x1)21当 t 0 时，最小值 g(