高三数学一轮复习必备精品10空间中的平行关系

1、-WORD格式 - 可编辑 -第 10 讲空间中的平行关系备注：【高三数学一轮复习必备精品共 42 讲 全部免费欢迎下载 】一【课标要求】1 平面的基本性质与推论借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理：公理1 ：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内；公理2 ：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；公理3 ：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；公理4 ：平行于同一条直线的两条直线平行；定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角

2、相等或互补2 空间中的平行关系以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明：一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行；两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行；垂直于同一个平面的两条直线平行能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题二【命题

3、走向】立体几何在高考中占据重要的地位，通过近几年的高考情况分析，考察的重点及难点稳定，高考始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的性质和判定作为考察重点。在难度上也始终以中等偏难为主，在新课标教材中将立体几何要求进行了降低，重点在对图形及几何体的认识上，实现平面到空间的转化，示知识深化和拓展的重点，因而在这部分知识点上命题，将是重中之重。预测 2019年高考将以多面体为载体直接考察线面位置关系：（ 1）考题将会出现一个选择题、一个填空题和一个解答题；（ 2）在考题上的特点为：热点问题为平面的基本性质，考察线线、线面和面面关系的论证，此类题目将以客观题和解答题的第一步为主三【要点精讲】1平

4、面概述（1）平面的两个特征：无限延展平的（没有厚度）（ 2）平面的画法：通常画平行四边形来表示平面（3）平面的表示：用一个小写的希腊字母、等表示，如平面 、平面；用表示平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面AC 。2三公理三推论:公理 1 ：若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在这个平面内：- 完整学习资料分享-WORD格式 - 可编辑 -Al ,Bl ,A,Bl公理 2 ：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集1- 完整学习资料分享-WORD格式 - 可编辑 -合是一条过这个公共点的直线。公理 3 ：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个

5、平面。推论一：经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。推论二：经过两条相交直线,有且只有一个平面。推论三：经过两条平行直线,有且只有一个平面3空间直线 :（ 1）空间两条直线的位置关系：相交直线有且仅有一个公共点；平行直线在同一平面内，没有公共点；异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点。相交直线和平行直线也称为共面直线。异面直线的画法常用的有下列三种：bbbaaa（ 2）平行直线：在平面几何中，平行于同一条直线的两条直线互相平行，这个结论在空间也是成立的。即公理 4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。（ 3 ）异面直线定理： 连结平面内一点与平面外一点的直线， 和这个平面内不经

6、过此点的直线是异面直线。推理模式：A, B,a, BaAB 与 a 是异面直线。4直线和平面的位置关系（ 1）直线在平面内（无数个公共点）；（ 2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（ 3）直线和平面平行（没有公共点）用两分法进行两次分类。它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为a， aA ， a /。aaaA线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。推理模式：a,b, a / ba /aabPbP- 完整学习资料分享-WORD格式 - 可编辑 -线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行 ，a2b- 完整学习资料分享-WO

7、RD格式 - 可编辑 -经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行推理模式：a /, a,ba / b5两个平面的位置关系有两种：两平面相交（有一条公共直线）、两平面平行（没有公共点）（ 1）两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，那么这两个平面平行。baa定理的模式： bab P/ca /b /推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行。推论模式：abP, a, b, abP ,a,b,a / a ,b / b/（ 2）两个平面平行的性质（ 1 ）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另

8、一个平面；（ 2 ）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。四【典例解析】题型 1 ：共线、共点和共面问题例 1 （ 1 ）如图所示，平面ABD平面 BCD直线BD， M、N 、 P 、 Q分别为线段 AB 、 BC 、 CD 、 DA 上的点，四边形 MNPQ 是以 PN 、 QM 为腰的梯形。试证明三直线 BD 、 MQ 、 NP 共点。证明：四边形MNPQ是梯形，且MQ、 NP 是腰，- 完整学习资料分享-WORD格式 - 可编辑 -直线 MQ、 NP 必相交于某一点 O 。3- 完整学习资料分享-WORD格式 - 可编辑 -O直线 MQ；直线 MQ平面 ABD， O

9、平面ABD 。同理， O平面 BCD ，又两平面ABD、 BCD的交线为BD，故由公理二知，O直线 BD ，从而三直线 BD、 MQ、 NP 共点。点评：由已知条件，直线MQ、 NP 必相交于一点O ，因此，问题转化为求证点O 在直线 BD上，由公理二，就是要寻找两个平面，使直线BD是这两个平面的交线，同时点O 是这两个平面的公共点即可“三点共线”及“三线共点”的问题都可以转化为证明“点在直线上”的问题。（ 2）如图所示，在四边形 ABCD 中，已知 AB CD ，直线 AB ， BC ， AD ， DC 分别与平面 相交于点 E ， G ，H ，F求证： E ， F ， G ， H 四点必定

10、共线证明： AB CD ，A AB ， CD 确定一个平面BDC又 AB E ，AB， E ， E ，H即 E 为平面 与 的一个公共点。 E F同理可证 F ，G ， H 均为平面 与 的公共点两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线， E， F ， G， H 四点必定共线。点评：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，常运用公理2，即先证明这些点都是某二平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论。例 2 已知： a， b ， c ，d 是不共点且两两相交的四条直线，求证：a， b ， c ， d共面。证明： 1 o 若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a， b ，

11、c 相交于一点A，但 A d ，如图 1 所示：2o 当四条直线中任何直线 d 和 A 确定一个平面 。三条都不共点时，又设直线E， F ，G，d 与 a ， b ， c 分别相如图 2 所示：交于则 A ， E ， F ， G 。 A， E ，A ， E a ，a 。同理可证 b ， c 。 a ， b ， c， d 在同一平面 内。- 完整学习资料分享-A-WORD格式 - 可编辑 -adcbd图 2a E F b G c图 1HK这四条直线两两相交，则设相交直线a， b 确定一个平面。4- 完整学习资料分享-WORD格式 - 可编辑 -设直线c 与 a ， b 分别交于点H， K ，则

12、H ， K 。又 H ， K c ， c 。同理可证 d 。 a ， b ， c， d 四条直线在同一平面内点评：证明若干条线(或若干个点 )共面的一般步骤是：首先根据公理3 或推论，由题给条件中的部分线 (或点 )确定一个平面，然后再根据公理 1 证明其余的线 ( 或点 )均在这个平面内。本题最容易忽视“三线共点”这一种情况。因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义。题型 2 ：异面直线的判定与应用例 3 已知：如图所示， a ， b ，a b A ，c ，c a 。求证直线 b 、c为异面直线证法一： 假设 b 、c 共面于由 Aa ，a c 知， Ac ，而 ab A ，a ，

13、 A，A。又、 都经过直线 c 及其外的一Ac，点，与重合，于是 a，又 b。都经过两相交直 a 、 b ，从又 、线而、重合。 a 矛、 、 为同一平面，这与盾 b 、 c 为异面直线证法二：假设b 、 c 共面，则相交或平b ， c行。b A 矛（1）若 b c ，又 a c ，则4 知 a ，这与 a由公理b盾。（2）若cP，已知，则是 、 的公共点， 由公2，PabbcP理，又c P ，即 P c ，故 ac P，这与 a c 矛盾b综合（ 1 ）、（ 2 ）可知， b 、 c 为异面直线。- 完整学习资料分享-WORD格式 - 可编辑 -证法三：a ， ab A ， Aa 。a c

14、， Ac ，5- 完整学习资料分享-WORD格式 - 可编辑 -在直线上任取一点 P （ P 异于 A ），则（否则 b，又 a，bP则、 都经过两相交a 、 b，重合，矛直线则、与a 盾）。又 c，于是根据“过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线”知，为异面直b 、 c线。点评：证明两直线为异面直线的思路主要有两条：一是利用反证法；二是利用结论“过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线。异面直线又有两条途径：其一是直接假 b 、 c 共面而产生矛盾；其二是b 、 c 平行与相交；分别设假设产生矛盾。判定直线异面，若为解答题，则用得最多的是

15、证法一、二的思路；若为选择或填空题，则往往都是用证法三的思路。用反证法证题，一般可归纳为1）否定结论；四个步骤：（4）肯定结（ 2 ）进行推理；（ 3 ）导出矛盾；（论宜用反证法证明的命题往往1）基本定理或某一知识系统的初始阶段的命题是（如立体2 ）肯定或否定型的命题（如结论几何中的线面、面面平行的判定定量的证明等）；（中出现“必有”、“必不存在”等一类命3 ）唯一型的命题（如“图形唯一”、“方程题）；（解唯一”等一类命4 ）正面情况较为繁多，而结论的反面却只有一两种情况的一题）；（类命题；（ 5 ）结论中出现“至多”、“不多于”等一类命题。例 4 （ 1 ）已知异面直线a,b 所成的角为70

16、 0 ，则过 O，与两条异面直a,b空间一定点线都成 600 角的直线有 )(条A 1B 2C 3D 4（2 ）异面直线 a,b所成的, 空间中有一定点O，过点 O有3 条直线所成角角为与 a,b都0是 60，则的取值可能是（）A00003BCD0 50 60 90解析：（ 1 ）过空间O 分别作 a a,b 一点b 。60 0角将两对对顶角的平分O 点分别在竖直平面内转动，总能得a , b 都线绕到与成的直线。故过O 与 a,b都成 600 角的直线有 4 条，从而选 D 。点（2 ）过点 O 分别作 a b ，则过点 O有三条 a,b所成角600 ，等价a、 b直线与都为于过点 O 有三条

17、直a ,b所成角都为 600 ，其中一角的平分线。 从而可得选项线与条正是为 C 。点评：该题以学生对异面直线所成的角会适当转化，较好的考察了空间想象能力题型 3 ：线线平行的判定与性质例 5 （ 2009 江苏和为不重合的两个平面，给出下列卷）设命题：- 完整学习资料分享-WORD格式 - 可编辑 -（ 1 ）内的两条相交直线分别平行平行若于内的两条直线，则 于；（ 2 ）外一条直线内的一条直线平行，若l与l ，则l 和平行；（ 3 ）相交于直线内有一条直线垂直l ，则设和若于和 垂直；（ 4 ）直线 l垂直的充分必要条件l 与内的两条直线垂与直。是上面命题中，真命的序（写出所有真命题的序题

18、号号） .6- 完整学习资料分享-WORD格式 - 可编辑 -【解析】 考查立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理。真命题 的序号是 (1)(2)例 6 两个全等的正方形 ABCD 和 ABEF 所在平面相交于 AB ，M AC ，N FB ，且 AM=FN ，求证： MN 平面 BCE 。证法一：作MP BC ， NQ BE ，P、 Q 为垂足，则MP AB ，NQ AB 。MP NQ ，又 AM =NF ， AC=BF，DCMC =NB ， MCP = NBQ=45 Rt MCP Rt NBQMPMP =NQ ，故四边形 MPQN 为平行四边形MN PQABNPQ平面 BCE ，

19、 MN 在平面 BCE外，QFEMN 平面 BCE 。证法二：如图 M 作 MH AB 于 H，则 MH 过BC ， AMAHDCACAB连结 NH ，由 BF=AC ，FN =AM ，得 FN AHMBFAB NH/AF/BEAH由 MH/BC, NH/BEB得 : 平面 MNH/平面 BCENFE MN 平面 BCE 。题型 4 ：线面平行的判定与性质例 7 (2009 山东卷理 ) （本小题满分 12 分 ）如图，在直四棱ABCD-A 1B 1C1D 1中，底面柱ABCD为等腰梯形， AB/CDAA1， AB=4,BC=CD=2,=2,E、E1、F 分别是棱 AD 、AA1、AB 的中D

20、1C1点。（1证明：直线 EE 1 / 平面A 1B1）FCC1；（2求二面角 B-FC1-C 的余DE1C）弦值。E解法一：（ 1 ）在直四ABCD-A 1B 1C 1D1AB棱柱中，取A 1B1 的中点FF1，D 11- 完整学习资料分享-WORD格式 - 可编辑 -连接 A1 D ，C1F 1， CF 1，因为 AB=4, CD=2,且CAB/CD，/B/A 1F11所以 CD= A 1F1， A 1F1CD 为平行四CF1/A边形，所以1D ，又因为 E 、 分别是棱 AD 、的中点，所以1DPEAAEE 11EC11/AD ，O所以 CF1/EE 1，又因平面EAB为 EEFCC，

21、CF平面 FCC，1111F7- 完整学习资料分享-WORD格式 - 可编辑 -所以直线EE 1 /平面 FCC 1 .（ 2）因为 AB=4, BC=CD=2, 、 F 是棱 AB 的中点 , 所以 BF=BC=CF, BCF 为正三角形 ,取 CF的中点 O, 则 OB CF, 又因为直 ABCD-A1B1C1D1中 ,CC 1平面 ABCD, 所以四棱柱CC 1BO,所以 OB 平面 CC1F, 过 O 在平面 CC1F内作 OP C1F, 垂足为 P, 连接 BP, 则 OPB 为二面角B-FC 1 -C 的一个平面角, 在 BCF 为正三角,在 Rt CC1F 中 , 形中 ,OB3

22、OPF CC1F, OPOFOP122 ,CC 1C1 F2 22 222在 Rt OPF 中,2O 2114OPB3, cosBP227面角 B-FC1 -C 的余弦值为.7解法二 : （ 1 ）因为 AB=4,是棱 AB的中BC=CD=2, F点 ,所以 BF=BC=CF, BCF 为正三角形 , 因为ABCD 为,取AF的等腰梯形 , 所以 BAC= ABC=60中点 M,连接 DM,则DM AB, 所以DM CD,以 DM 为 x 轴 ,DC 为 y 轴,DD 1 为 z 轴建立空间直角坐标系3 ,-1,0 ） ,F,则 D,1,0 ） ,C）,（ 0,0,0 ） ,A （ 3（ 0,

23、2,0OP27OPB,所以二BP1472zD1C1A1B1E1DCyEAMFBx（3,-1,1）,所以C131,E,1（0,2,2）,E（,0 ）22EE3,1,0) ,3,1,2)设平面11(3 ,1) , CF(CC(0,0,2)FC( CC1F的法向11223x, y, 则n CF0xy0量为 n ( z所 以取 n (1, 3,0), 则n CC 10z031EE 1, 所以直线 EE 1/平面n EE 12 13 1 0 0 , 所以 n FCC 1 .- 完整学习资料分享-WORD格式 - 可编辑 -2,设平面 BFC1的法向量n1FB0（ 2 ） FB (0,2,0)为 n 1(

24、 x1 , y1, z1 ) , 则所 以n1FC 10y10,取3), 则 n n 1n 1(2,0,2130032 ,3x 1 y12 z 1 08- 完整学习资料分享-WORD格式 - 可编辑 -| n | 1( 3) 22 , | n 1 |220(3) 27 ,n n 127B-FC 1 -C为锐角 , 所以所以 cos n, n 1| n |,由图可知二面角二面角n 1 |2777B-FC 1 -C 的余弦值为.7【命题立意】 : 本题主要考查直棱柱的概念、线面位置关系的判定和二.考查空间面角的计算, 以及应用向量知识解答问题的能想象能力和推理运算能力力.例 8（ 2008 四川

25、19 ，理 21 ）（本小题满分12 分）如图，平面ABEF平面ABCD ，四边形 ABEF形 ，BADFAB90，BC 1AD ，BE 1AF22（）证明：C 、 D 、 F 、 E 四点共面；（）设AB BCBE ，求二面角AEDB 的大小解析：不是会不会的问题，而是熟不熟的问题，答题时间是最大问题（） ABEF 面AB 90面ABCD ， AF面 AF ABCD 以 A 为原点，以 AB， AD ， AF 所在直线为 x轴， y 轴， z 轴，建立如图所示的空间直角A xyz 坐标系a ， 2b ，不妨设 AB2c ，则ADAFA(0,0， B,0)(a,0,0) ，C(a, b,0)，

26、D(0,2b,0)，E(a,0, c) ， F (0,0, 2c)(0, DF 2b,2c) ，CE (0, b, c)，与 ABCD都是直角梯FEADBC- 完整学习资料分享-WORD格式 - 可编辑 - DF 2CE ， DF/CE， E DF ， DF / CE ， C、 D 、E、F 四点共面（）设 AB1，则 BCBE1 ， B (1,0,0)， D(0,2,0)， E(1,0,1)设平面 AED的法向(x1 , y 1 ,量为 n1z1 ) ，由0 ，x10 ， n 1(1,0,n1 AE得z11)n1 AD02y 109- 完整学习资料分享-WORD格式 - 可编辑 -设平面 B

27、ED的法向量( x2 ,为 n2y2 , z2 )由n2BE0 ，得 z20， n (2,1,0)nx21BD022 y20n1,ncosn21n2210n1n2255由图知，二面EDB 为锐角 A角，其大小arcc10为os5点评： 证共面就是证平行，求二面角转为求法向量夹角，时间问题是本题的困惑处心浮气燥会在计算、书写、时间上丢分因建系容易，提倡用向量法本时耗时要超过17 题与 18 题用时之和题型 5 ：面面平行的判定与性质例 9 如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 a 。证明：平面 ACD 1 平面 A1C1B 。证明：如图， A1BCD 1是矩形， A1BD1C 。又

28、 D 1C平面 D1CA，A1B平面 D1CA ，A1B平面 D1CA 。同理 A1C1平面D1CA，又A1B A1，平面D 1CA平A1C1面 BA1C1点评：证明面面平行，关键在于A1C1与 A1B 两相交直线分别与平面证明ACD 1例 10 P 是 ABC 所在平面外A、 B、 C分别是 PBC、 PCA 、一点，PAB 的重心。（1）求证：平面AB C平面 ABC ；（2） SS的值。A BC ABC解析： (1) 取AB 、BC 的中点M 、N，平行。PCPA2则PMPN3 AC MNA C 平面ABC 。同理 A B面 ABC ， AB C面 ABC.A CPA22211MNPN33323A C=