两条直线的夹角

1、两条直线的夹角一、 教学目的：1. 分清直线丨1到直线12的角与直线12到直线|1的角以及两条直线li与12的夹角的区别 与联系2. 掌握直线li到直线12的角的计算公式3. 掌握直线li与直线1 2的夹角的计算公式情感目标:通过对两直线的倾斜角与夹角的关系探索，找出夹角的正切值与两直线斜率之间的关系；运用两角差的正切公式，进一步渗透解析几何的思想，即用代数运算解决几何图形问题；培养学生思维的缜密性、条理性、深刻性。三、教学重、难点：1 ?当一条直线斜率不存在时，如何求解两直线的夹角。2?根据题意正确使用夹角，到角公式，注意根据图形进行舍解。四、教学过程：一引入：平面内两条直线的位置关系有平行

2、、重合和相交。我们分别用直线的代数形式去描述了它们的位置关系。 在相交直线中特殊的位置关系是垂直，即两条直线所成角为90。因此，我们可以用两直线的夹角大小来描述两条相交直线的位置关系。平面上，两条相交直线li和12构成四个角，它们是两对对顶角。为了区别这些角，通常规定：直线li绕着交点M按逆时针方向旋转到和1 2重合时所得到的角，叫做li到12的角。直线1 2绕着交点M按逆时针方向旋转到和li重合时所得到的角，叫做 丨2到li的角。当li _ 12时，即li到12的角为90。二k*2 二-I或一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在。通过这充要条件启发我们,li到12的角的大小是否也可以与li、

3、12的斜率建立关系呢?b : y =k2X b2 k,k?均存在,h 到 J二推导：设两条直线方程分别是h: y的角V:-1 禾口2，贝S ki =tg : r , k2 = tg :2如果kikA -1，设li和12的倾斜角分别是如果k*2二1，那么*90都有 tg-tgs-rAA，即 tg-晋1+tgG 2tga11+k2k1一条直线到另一条直线的角,可能不大于直角,也可能大于直角，如果只需要考虑不 大于直角的角日叫做两条直线的夹角，那么有tg日=| kA 日鼻90 1 + k2kJ当两条直线平行或重合时，那么它们的夹角是零度角，此时公式仍适用三例题：例1求以下两直线的夹角二。111: x

4、+2y-5=0, 12： 2x-3y+1=0 ;211 : x-3y-2=0,12 : 2y+3=0 ；311 : x-5=0, 12 : 2x+4y+3=0 ;第一小题求出直线斜率后直接套用夹角公式；第二小结：直线方程求夹角大小问题。倾斜角的补角；小题其中一条直线斜率为零，既可以套用公式，又可以观察图像，显然夹角不是倾斜角就是 第三小题其中一条直线斜率不存在，不能使用公式，只能观察图像，分析倾 斜角与夹角的关系。例 2 求经过点 -5,6 且与直线 2x+2y-5=0 的夹角为 45 的直线方程。小结：夹角大小求直线方程问题。据题意直线过点 -5， 6，因此只需确定直线斜率 k，就可写出直线

5、的点斜式方程。 由夹角公式可求出 k 的值。根据图像特征，过一点必定会有两 条直线与直线的夹角成 45 度，这就提示我们必须解出两个 k 的值。这道题一解 k=0 时, 直线方程为 y-6=0 ;另一解 k 不存在，意味着直线方程为x+5=0 。而往往同学们会忽略后一个答案，认为 k 无解，直线方程就不存在。例3等腰厶ABC ,底边BC所在的直线方程是x+y=0 ,顶点A2,3，它的一条腰AB平行于直线x-4y+2=0 , 求另一条腰 AC 所在直线的方程。小结：此题也是运用夹角公式或到角公式求解直线方程的一种类型,它在题目的条件上比拟隐蔽,没有直接指出夹角的大小。而在解题过程中,我们也不需要

6、知道夹角大小,只是利用夹角相等建立等式,求出所需直线的斜率,从而确定直线方程。四作业：练习册 P5 8、10、11五、反思：通过两条相交直线所成角的大小来描述两条相交直线的位置关系。 之前同学 们已经接触了互相垂直的直线,它们的斜率成积为 -1。这一结论的得出,也是建 立 在观察直线倾斜角与夹角的关系上的。因此同学们在寻找关系式时并不困难。 而是在 要求同学们用斜率去表示夹角时, 大家陷入了沉默。 显然对高一所学的知 识有所遗忘, 经提醒同学们能较快的接受两角差的正切公式与两直线斜率间的等 式关系。对例题的选择由浅入深, 又简到难。对于这一知识点, 我认为解决两方面的 问题, 一是直线方程求夹角大小问题；二是夹角大小求直线方程问题。首先,在 第一道例题中第 1、2小 题使同学们先熟悉公式,加深公式在头脑中的印象,第3小题是为了让大家意识到公式不是万能的,它是有局限的,比方直线斜率不存在或者两直线斜率为负倒数等,因此还是要求同学们掌握数形结合的思想方法,从根本关系上入手,理解其本质。 其次,第二、三 道例题就为应用夹角公式去解直线方程的类型。应该说公式人人都能记住, 但很多同学在最终的结果上却不能答复完整。这意味着同学们在思维过程