全国自考历年线性代数试题及答案

1、全国2010年1月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题及答案课程代码：04184试题部分说明：本卷中，AT表示矩阵A的转置，T表示向量a的转置，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，A-1表示方阵A的逆矩阵，r（A）表示矩阵A的秩.、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共30分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均xyz2x2y2z1.设行列式403=1,则行列式4一013111111无分。=(B.12A.一3C.2D.832.设A,BA.A-1B-1C-1C为同阶可逆方阵，则（ABC)-1=(_-1-1-1C.C

2、9;a1B1-1-1-1B.CBAD.A-1C-1B-13.设a3,a4是4维列向量，矩阵A=(ai,a4).如果|A|=2,则|-2A|=(B.-4A.-32C.4D.324.设a3,a4是三维实向量，则A.a1a2,a4一定线性无关B.a1C.a122,a4一定线性相关D.a1，定可由a2,a3,a4线性表出a2.1"3一"定线性无关5.向量组a1=(10,0),a2=(10)33=（1,1,1）的秩为（A.1B.2C.3D.4A.1C.36设A是4X6矩阵,（A）=2,则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中所含向量的个数是（B.2D.47.设A是mxn矩阵,已知Ax=0

3、只有零解,则以下结论正确的是（A.m>nB.Ax=b（其中b是m维实向量）必有唯一解C.r(A)=mD.Ax=0存在基础解系8.设矩阵45：6-5213,则以下向量中4A的特征向量的是（A.(1,1,1)TB.(11,C.(1,1,0)D.(10,3)T-3)T19.设矩阵A=11A.4C.610.三元二次型(x1A.3169C.6169二、填空题(本大题共11-1的三个特征值分别为入入3,则入1+入2+入3=(B.5D.7x2,x3)=x；+4x1x2+6x1x3+4x2+12x2x3+9x2的矩阵为(B.03D.一1210小题，每小题2分，共123169310920分)请在每小题的空

4、格中填上正确答案。错填、不填均无分。123459671352021000200111.行列式,贝UA-1=12.设A=110013 .设方阵A满足A3-2A+E=0,则(A2-2E)1=14 .实数向量空间V=(x1,x2,x3)|x1+x2+x3=0的维数是，15 .设a1,a2是非齐次线性方程组Ax=b的解.则A(5a2-4a1)=16 .设A是mXn实矩阵，若r(ATA)=5,则r(A)=.a117.设线性方程组1aJ1-11I2有无穷多个解,a=18 .设n阶矩阵A有一个特征值3,则|-3E+A|=.19 .设向量“二(1,2,-2),3=(2,a,3),且a与3正交，则a=2220.

5、次型f(Xi,x2,x3)=4x2-3x3+4xix2-4x1x3+8x2x3的秩为.2321.计算4阶行列式D=,422,殳A.I3-5-712,3判断A是否可逆，若可逆，求其逆矩阵A-123.设向量&=(3,2),aTa)10124.设向量组“1=(1,2,3,6),a2=(1,-1,2,4),a-F(-1,1,-2,-8),a4=(1,2,3,2).（1）求该向量组的一个极大线性无关组;（2）将其余向量表示为该极大线性无关组的线性组合全国2010年4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184、单项选择题（本大题共20小题，每小题1分，共20分）在每小题列出的四个

6、备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内O错选、多选或未选均无分。1.已知2阶行列式a1b1a2b2二m,bicib2t=n，则c2bib2a1c,a2c2A.m-nB.n-mC.m+nD.-(m+n)2.设A,B,C均为n阶方阵，AB=BAABC=(A.ACBB.CABC.CBAD.BCA|B|二-2,则行列式|B|A|之值为（3.设A为3阶方阵，B为4阶方阵，且行列式|A|=1,aaaya11a12a13a113a12a131001004.已知A=a21a22a23,B=a213a22a23,P=030,Q=31031a32a33313a32a33,001,001A.

7、-8B.-2C.2D.8，贝IB二（A.PAB.APC.QAD.AQ5 .已知A是一个3X4矩阵，下列命题中正确的是（A.若矩阵A中所有3阶子式都为0,则秩（A）=2B.若A中存在2阶子式不为0,则秩（A）=2C.若秩（A） =2,则A中所有3阶子式都为0D.若秩（A） =2,则A中所有2阶子式都不为6 .下列命题中错误.的是（A.只含有一个零向量的向量组线性相关B.由3个2维向量组成的向量组线性相关C.由一个非零向量组成的向量组线性相关D.两个成比例的向量组成的向量组线性相关B线性相关，则（7 .已知向量组ai,o2,03线性无关，町a2,a3,D. B必能由 町阳03线性表出A.G必能由“

8、2,03,B线性表出B.应必能由典M，B线性表出C.“3必能由町2,B线性表出8 .设A为m刈矩阵，m刊，则齐次线性方程组Ax=0只有零解的充分必要条件是A的秩（A.小于mB.等于mC.小于nD.等于n9 .设A为可逆矩阵，则与A必有相同特征值的矩阵为（A.ATB.A2C.A-1D.A*.一、22210 .二次型f(xi,x2,x3)=x1+x2+x3+2x1x2的正惯性指数为()A.0B.1C.2D.3二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。20072008”11.行列式的值为20092010二 c、2 0 t 则A B=3f、1

9、-1312 .设矩阵A=,B=001J13 .设4维向量值=(3,-1,0,2)T,炉(3,1,-1,4)T,若向量丫满足2o(十丫3&则丫=:14 .设A为n阶可逆矩阵，且A|=_1，则|A-11=.n15 .设A为n阶矩阵，B为n阶非零矩阵，若B的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解，则A|=16 .齐次线性方程组/1+刈+x3=0的基础解系所含解向量的个数为2x1-x2+3x3=017 .设n阶可逆矩阵A的一个特征值是-3,则矩阵“A2j必有一个特征值为318 .设矩阵A=19 .已知A=1 -2-2 x-2 01a .220二次型 f (Xi, x2, x3)-2的特征值

10、为4, 1,-2,则数x=是正交矩阵，则 a+b=-4xiX2+2XiX3+6X2X3 的矩阵是三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)abc21 .计算行列式D=a2b2c2的值。a+a3b+b3c+c322 .已知矩阵B=(2,1,3),C=(1,2,3),求(1)A=BTC;(2)A2。23 .设向量组3=(2,131),，汽2=(120,1)丁,汽3=(-1,1,-3,0)T,%=(1,1,1,1)T,求向量组的秩及一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量。、填空题(本大题共10小题,每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分

11、。-1424 .已知矩阵A=B=.(1)求A1； (2)解矩阵方程 AX = Bo25 .问a为何值时，线性方程组-3X1 2X2 3X3 =42x2 +ax3 =2有惟一解？有无穷多解？并在有解时求出其解(在有无穷多解时，要求用2X12X23X3=6一个特解和导出组的基础解系表示全部解)226.设矩阵A= 000 03 a的三个特征值分别为a 31001,2,5,求正的常数a的值及可逆矩阵P,使P-1AP=020。005四、证明题(本题6分)27.设A,B,A+B均为n阶正交矩阵，证明(A+B)-1=A-1+B-1。全国2010年7月高等教育自学考试试卷说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩

12、阵；A*表示A的伴随矩阵；R(A)表示矩阵A的秩；|A|表示A的行列式；E表示单位矩阵。1 .设3阶方阵A=“1,“2,“3,其中ai(i=1,2,3)为A的列向量,若|B|=|”1+2a2,a2,a3|=6,则|A|=()A.-12B.-6C.6D.1230-2021050=(00-20一23-232 .计算行列式)A.-180 B.-120C.120 D.180一123 .设A=J34则|2A|=()A.-8B.-4C.4D.84 .设a1,a2,a3,a4都是3维向量，则必有A.a1,a2,a3,a4线性无关B.a1,a2,a3,a4线性相关C.a1可由"2,a3,a4线性表不

13、D.a1不可由a2,a3,a4线性表不5 .若A为6阶方阵，齐次线性方程组Ax=0的基础解系中解向量的个数为2,则R(A)=()A.2B3C.4D.56 .设A、B为同阶矩阵，且R(A)=R(B),则()A.A与B相似B.A|=|B|C,A与B等价D.A与B合同7 .设A为3阶方阵，其特征值分别为2,l,0则|A+2E|=()A.0B.2C.3D.248,若A、B相似，则下列说法错误的是()A.A与B等价B.A与B合同C.|A|二|B|D.A与B有相同特征9 .若向量a=(1,-2,1)与3=(2,3,t)正交，则t=()A.-2B.0C.2D.410 .设3阶实对称矩阵A的特征值分别为2,l

14、,0,则()A.A正定B.A半正定C.A负定D.A半负定311.设 A= 0：2-212 ,B=01-11 L 则 AB=012 .设A为3阶方阵，且|A|=3,则13A-l|=.13 .三元方程X1+X2+X3=0的结构解是.14 .设a=(-1,2,2),则与a反方向的单位向量是.15 .设A为5阶方阵，且R(A)=3,则线性空间W=x|Ax=0的维数是.16 .设A为3阶方阵，特征值分别为-2,1,则|5A-1尸.217 .若A、B为同阶方阵，且Bx=0只有零解，若R(A)=3,则R(AB)=18 .二次型f(X1,X2,X3)=x12-2X1X2+x2；-X2X3所对应的矩阵是.19.

15、设3元非齐次线性方程组一11AX=b 有解 a 1= 2一-11a2=2，且R(A)=2，贝UAx=b的通解是J的非零皿是:3j三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)2021 .计算5阶行列式D= 0010 0 02 0 00 2 00 0 20 0 0100 22.设矩阵X满足方程02一20：00-1001-431=201求 X.01-2023 .求非齐次线性方程组广X1x2-3x3-x4=1格X1-x23x3+4x4=4的结构解.1x15x29x38x4=024 .求向量组a1=(1,2,3,4),a2=(0,-1,2,3),a3=(2,3,8,11),“4=(2,3,6,8)

16、的秩.2-1225 .已知A=5a3的一个特征向量膜(1,1,-1)T,求a,b及口所对应的特征值，并写出对应于这个特征值的1b-2全部特征向量22226 .用正交变换化二次型f(X1,X2,X3)=X1+2X2+2X3+4X2X3为标准形，并与出所用的正交变换四、证明题(本大题共1小题，6分)27 .设a1,a2,a3是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系.证明a1,a1+a2,a2+a3也是Ax=0的基础解系全国2010年10月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题课程代码：04184说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式

17、，r（A）表示矩A的秩.、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内O错选、多选或未选均无分。请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1.设A为3阶矩阵，|A|=1，则|-2AT|=（A.-8B.-2C.2D.82 .设矩阵A=：j,B=(1,1)，则 AB=(A.0B.(1,-1)C.D.11I-1 -13 .设A为n阶对称矩阵,B为n阶反对称矩阵，则下列矩阵中为反对称矩阵的是（A.AB-BAB.AB+BAC.ABD.BA4 .设矩阵A的伴随矩阵彳 2、1F 4,WA=(43、2 1-21B.

18、2 -3-2I4C.D.4、35.下列矩阵中不是A.A+B可逆B.AB可逆C.A-B可逆D.AB+BA 可逆101,00i100”100”010B.010C.030D.010©00J<100j、。0I-x2 x3 =0-x2 -x3 =0有非零解，则九为()x2 x3 =00b初等矩阵的是（)A.6 .设A,B均为n阶可逆矩阵，则必有（7 .设向量组"(1,2),2=(0,2),0=(4则),(B.环能由g,21性表示C.阿由的，搀性表示，但表示法不惟一D.B可由小,脸线性表示，且表示法惟一8.设A为3阶实对称矩阵，A的全部特征值为0,1,1，则齐次线性方程组（E-A

19、）x=0的基础解系所含解向量的个数为（）A.0B.1C.2D.3l2x9.设齐次线性方程组x1xA.-1B.0C.1D.210.设二次型f（x）=xTAx正定，则下列结论中正确的是（）A.对任意n维列向量x,xTAx都大于零B.f的标准形的系数都大于或等于零C.A的特征值都大于零D.A的所有子式都大于零二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）0 1 ，一、，11 .行列式的值为1 212 .已知A=1,22,则冏中第一行第二列元素的代数余子式为 3门13 .设矩阵A=I21 1 i,则 ap3=<0 114 .设 A,B 者B是 3 阶矩阵，且 |A|=2,B=-2E,则 |

20、A-1B|=15 .已知向量组 刑二(1,2,3), 2=(3,-1,2), 3=(2,3,k)线性相关，则数k=16 .已知Ax=b为4元线性方程组，r(A)=3,孙 犯，心为该方程组的T、3、3个解，且0(1 =253«1 十口3 =7，则该线性方程组的通解是,4,a则内积(PP» =17.已知P是3阶正交矩21.求行歹U式D二0 -122.设矩阵A= 10d 01、23.若向量组 % = 1尸2-2 10 的秩为2,求k的值.-2kj18.设2是矩阵A的一个特征值，则矩阵3A必有一个特征值为12i19 .与矩阵A=讲目似的对角矩阵为.K力20 .设矩阵A=1-2，若二

21、次型f=xTAx正定,则实数k的取值范围是I2k)三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)120012的值.101210-20'-10求满足矩阵方程XA-B=2E的矩阵X.00,1求A;求解线性方程组Ax=b,并将b用A的列向量组线性表出25 .已知3阶矩阵A的特征值为-1,1,2,设B=A2+2A-E,求矩B人的行列式及A的秩.矩BB的特征值及与B相似的对角矩阵.Xi=2y12y2V326 .求二次型f(xi,X2,X3)=-4x1x2+2X1X3+2X2X3经可逆线性变换取2=2yi2y2十y3所得的标准形X3=2y3四、证明题(本题6分)27 .设n阶矩阵A满足A2=E

22、,证明A的特征值只能是±1.全国2011年1月说明：本卷中，AT表示矩阵A转置，det(A)表示方阵A的行列式，A-1表示方阵A的逆矩阵，(a,P)表示向量a,P的内积，E表示单位矩阵.一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无1.设A是4阶方阵，且det(A)=4,则det(4A)=()A.44B.45C.46D.472,已知A2+A+E=0,则矩阵A-1=()A,A+EB,A-EC.-A-ED.-A+E3 .设矩阵A,B,C,X为同阶方阵，且A,B可逆，AXB=C,

23、则矩阵X=()A.A-1CB-B.CA-1B-1C.B-1A-1CD.CB-1A-14 .设A是s工矩阵(s丰n)则以下关于矩阵A的叙述正确的是()A.ATA是s关对称矩B.ATA=AATC.(ATA)T=AATD.AAT是s>s对称矩阵5 .设«1,支2,口3,«4,口5是四维向量，则()A.otl,口2,口3,口4,口5一定线性无关B.ah口2,«3,«4,口5一定线性相关C,0(5一定可以由«1,口2,口3,«4线性表出D.口1一定可以由«2,«3,口4,1a5线性表出6 .设A是n阶方阵，若对任意的n

24、维向量X均满足AX=0,则()A.A=0B.A=EC.秩(A尸nD,0<秩(A)<n7 .设矩阵A与B相似，则以下结论不正碰.的是()A.秩(A尸秩(B)B.A与B等价C.A与B有相同的特征值D.A与B的特征向量一定相同1390"8 .设4,%,%为矩阵A=045的三个特征值,则%九2%=()A.10B.20C.24D.30©029 .二次型f(X1,X2,X3)=X12+x；+X2+2X1X2+2X1X3+2X2X3的秩为()A.1B.2C.3D.410 .设A,B是正定矩阵，则()A.AB一定是正定矩阵B.A+B一定是正定矩阵C.（AB）T定是正定矩阵D.A

25、-B一定是负定矩阵11.13.14.15.17.18.19.20.22.23.填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）设A=10、一一一，-,/I,k为正整数，则Ak=.12,设2阶可逆矩阵A的逆矩阵A1=Q1J设同阶方阵A,B的行列式分别为-3,5,则det（AB）=设向量ot=(6,-2,0,4),=(-3,1,5,7),向量¥满足20t+y=3P,则?=24b则矩阵A=实数向量空间V=（X1,X2,设S，为是齐次线性方程组设方阵A有一个特征值为Xn)|3X1+X2+Ax=0的两个解,0,贝Udet(A3)=Xn=0的维数是鱼30、31702-44一5的秩=.16.矩阵A

26、=贝UA330(1+7ct2)=设P为正交矩阵，若（Px,Py）=8,则（x,y）二222设f(X1,X2,X3)=X1+4X2+2X3+2tX1X2+2X1X3是正7E一次型，则t满足计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）a-b-c2a2a计算行列式判断矩阵A=2b2c4求向量组-1=（1b-a-c2c2bcab是否可逆，若可逆，求其逆矩阵.-1-2),豆2=(2,5,-6,-5),g=(3,1,1,1),口4二(-1-7,-3）的一个最大线性无关组,并将其余向量通过该最大线性无关组表示出来.24.求齐次线性方程组2x1-3x2-x3-5x4-3x1-x22x3-4x4_Xi-2X2

27、'3X3'X4=0=0的一个基础解系及其结构解.=025.求矩阵A=1-28-1422的特征值和特征向量.一力26.写出下列二次型的矩阵,并判断其是否是正定二次型.22f(X1,X2,X3)=x1+3x2-2x1x2+2x1x36x2x3四、证明题（本大题共1小题，6分）27.设方阵A满足（A+E）2=E,且B与A相似，证明：B2+2B=0.全国2011年4月图等教育自学考试说明：AT表示矢I阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式。=10D.1.下列等式中，正确的是（）2.设矩阵A=那么矩阵A的列向量组的秩为（)A.3B.2C.1D.0

28、3.设向量«i=(-1,4),«2=(1,-2),5=(3,-8),若有常数a,b使a5-b%-”=0,则(D.a=1,b=2A.a=-1,b=-2B.a=-1,b=2C.a=1,b=-24.向量组5=(1,2,0),。2=(2,4,0),«3=(3,6,0),口4=(4,9,0)的极大线性无关组为（：-3A.5,%B.5,aC.5,%D.%,5.下列矩阵中，是初等矩阵的为（A.B.120C.D.6.设A、B均为n阶可逆矩阵，且C=0A则C-1是（A.0A”B.7.设A为3阶矩阵,0baA0D.A，00BA的秩r(A)=3,则矩阵A*的秩r(A*)=()A.0B.

29、1C.2D.38.设K=3是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵1-A有一个特征值等于（4)A.4b.3c.3d.43443-19.设矩阵A=02,则A的对应于特征值2,K=0的特征向量为（A.(0,0,0)TB.(0,2,-1)TC.(1,0,-1)TD.(0,1,1)T10.下列矩阵中是正定矩阵的为（10小题，每题2分，共20分)二、填空题(本大题共1 1 111.行列式1 2 31 4 91.12.设矩阵A = 2I31-2,B 二 (1, 2, 3),则 BA =3 01113.行列式0 -153410-20102中第4行各元素的代数余子式之和为14 .设A,B为n阶方阵，且AB=E,A-1

30、B=B-1A=E,则A2+B2=15 .设向量ot=(1,2,3,4),则a的单位化向量为.16 .设3阶方阵A的行列式|A|=i,则|A3|=.217 .已知3维向量a=(1,-3,3),P=(1,0,-1)则a+3P=18.设n阶矩阵A的各行元素之和均为0,且A的秩为n-1,则齐次线性方程组Ax=0的通解为19 .设1,2,，n是n阶矩阵A的n个特征值，则矩阵A的行列式|A|=20 .二次型f(x1,x2,x3)=x1x2+x1x3+x2x3的秩为.三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)121.已知矩阵A = 200，求：(1) ATB； | ATB |.I0222.设 A =

31、'I3、20,且满足AXB=C,求矩阵X.23 .求向量组5=(1,2,1,0),«2=(1,1,1,2),%=(3,4,3,4),%=(4,5,6,4)的秩与一个极大线性无关组x1-x2-3x3f4-124 .判断线性方程组2xi-X2-X3+4x4=2是否有解，有解日求出它的解.X1-4x35x4-125 .设向量5=(1,1,0)T,S=(-1,0,1)T,(1)用施密特正交化方法将必，里化为正交的1,E；(2)求良，使也，艮，区两两正交.26 .已知二次型f=x2+x2+x3-2x1x3,经正交变换x=Py化成了标准形f=y2+2y2,求所用的正交矩阵P.四、证明题(

32、本大题共6分)27 .设A为5阶反对称矩阵，证明|A|=0.全国2011年7月高等教育自学考试10-11 .设A=350，则AAT=()A.-49B.-7C.7D.490412 .设A为3阶方阵，且A|=4,则-2A=()A.-32B.-8C.8D.323 .设A,B为n阶方阵，且AT=-A,BT=B,则下列命题正确的是()A.(A+B)T=A+BB.(AB)T=-ABC.A2是对称矩阵D,B2+A是对称阵4 .设A,B,X,Y都是n阶方阵，则下面等式正确的是（）A.若 A2=0,贝U A=0B. (AB)2=A2B2C.若 AX=AY,贝U X=YD,若 A+X=B,贝U X=B-A1 10

33、 25.设矩阵A=0 0g 03 1-1 4 一 ，则秩(A)=(0 50 0)A. 1 B. 2C. 3 D. 4kxz=0I6 .若方程组2x+ky+z=0仅有零解，则k=()A.-2B.-1C.0D.2kx-2yz=07 .实数向量空间 V= (xi, x2, &) |xi +x3=0的维数是 Xi 2x2 -3 = ' -18 .若方程组3x2 - X3 = ' - 2,x2 -x3 = ( -3)( -4) ( -2)A. 0 B. 1C. 2 D. 3有无穷多解，则£ = （） A. 1B. 2C. 3D. 41009.设A=010,则下列矩阵中与

34、A相似的是（）：002_1001A.020 B.0001 _0101一100110 C.01102_J002_1 0 1D.0 2 0：001_22 一 .10 .设实二次型 f (Xi，X,X3)=X2 -X3，则 f (）A .正定B .不定C.负定D .半正定11 .设 A=(-1,1,2)T, B=(0,2,3)t,则 |ABT尸12 .设三阶矩阵 人=卜1,七尸3，其中=1,2,3）为A的列向量，且|A|=2,则 也 2P2,% +% -%=0 113 .设 A= a 0jb 00c ,且秩(A)=3,则a,b,c应满足12 1e _1.14 .矩阵Q= 22的逆矩阵是12 22 一

35、15.三元方程X1+X3=1的通解是.16.已知A相似于A = 1 1 0L则|A-E|二,0 217 .矩阵A=010的特征值是.10012,4n18 .与矩阵A=|相似的对角矩阵是2110019 .设A相似于A=0-10,则A4.00120 .二次型f(X1,X2,X3)=X1X2-X1X3+X2X3的矩阵是.三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分1 22 321 .计算4阶行列式D=3 44 1341241.22.23一1设A= 010 ,而 X 满足 AX+E=A2+X,求 X.123.求向量组：13-1I5的秩，并给出该向量组的一个极大无关组，同时将其余-31-11的向量表

36、示成该极大无关组的线性组合.X12x2-2x3=024 .当人为何值时，齐次方程组12%-x2十九X3=0有非零解？并求其全部非零解II3x1x2-x3=025 .已知1,1,-1是三阶实对称矩阵A的三个特征值，向量%=(1,1,1)T、a2=(2,2,1)T是A的对应于=%=1的特征向量，求A的属于=-1的特征向量.26 .求正交变换Y=PX,化二次型f(X1,X2,X3)=2X1X2+2X1X3-2X2X3为标准形.四、证明题(本大题6分)27 .设%,%,«3线性无关，证明%,«1+2«2,%十3豆3也线性无关.全国2011年10月自学考试线性代数(经管类)

37、试题课程代码：04184说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩阵。|A表示方阵A的行列式,r(A)表示矩阵A的秩。一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.设3阶方阵A的行列式为2,则-1A=（）21A.-1B.-4C.1D.142.设 f(x)x 2x-1= 2x2 2x -13x -2 3x -2x-22x-2,则方程f（x）=0的根的个数为（3x-5A.0B.1C.2D.33.设A为n阶方阵，将A的第1列与第2列交换得到方阵

38、B,若A¥B，则必有（）A. A =0B. A+B:0C. A #0D.A-B:04.设A,B是任意的n阶方阵，下列命题中正确的是（222A. (A B)2 = A2 2ABB2B. (AB)(AB)C.( A E )(A E )=( A E)(A E )-22_2D. (AB) = A B5.设 A =abi a2 bl 【a3 bla1b2a2b2a3b2aha2b3，其中 ai #0,h #0,i =1,2,3,则矩阵 A 的秩为（）a3b3A.0B.1C.2D.36 .设6阶方阵A的秩为4,则A的伴随矩阵A*的秩为（）A.0B.2C.3D.47 .设向量炉（1, -2, 3）

39、与芹（2, k, 6）正交，则数卜为（）A.-10B.-4C.3D.10Xi x2 x3 = 48 .已知线性方程组 权1+ax2+x3 =3无解，则数a=()2x1 2ax2 = 4A. -B.02C.1D.129 .设3阶方阵A的特征多项式为|，正人'=（九+2）（%+3）2,则A =（A.-18B.-6C.6D.1810 .若3阶实对称矩阵 A = （aij）是正定矩阵，则 A的3个特征值可能为（）A.-1, -2, -3B.-1 , -2, 3C.-1 , 2, 3D.1 , 2, 3、填空题（本大题共 10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填

40、均无分。11 .设行列式D3 042 22 ,其第3行各元素的代数余子式之和为5 3-212 .设 A =，acab<-b，则AB0 32 0，则 r(AB)=0 3 ,113 .设A是4刈矩阵且r(A)=2,B=0L14 .向量组（1,2）,（2,3）（3,4）的秩为.15 .设线性无关的向量组内,，即可由向量组丸包，用线性表示，则r与s的关系为IxiX2X3=016 .设方程组（九x1+x2+x3=0有非零解，且数九0,则九=.为X2,-X3=017 .设4元线性方程组AX=b的三个解“1,g如已知%=(1,2,3,4)T,口2+a3=(3,5,7,9)T,r(A)=3.则方程组的通

41、解是.18 .设3阶方阵A的秩为2,且A2+5A=0,则A的全部特征值为.£11'U'19 .设矩阵A=0a0有一个特征值九=2,对应的特征向量为x=2，则数a=d13；A20 .设实二次型f（X1,X2,X3）=XTAx,已知A的特征值为-1,1,2,则该二次型的规范形为三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.设矩阵A =(S,2T2,3%), B =1工工)，其中s丫2；3均为3维列向量，且|A =18,| B =2.求|AB.22.解矩阵方程-111723.设向量组"(1, 1, 1 , 3) T,片(-1 , -3, 5, 1) T,

42、好(3, 2,-1, p+2) T,“4= (3, 2, -1, p+2) T 问 p 为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大无关组22x1X2-X3=1一I24.设3元线性方程组X九XiX2+X3=2,4x1.5X2_5X3=_1(1)确定当入取何值时，方程组有惟一解、无解、有无穷多解？(2)当方程组有无穷多解时，求出该方程组的通解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示).1,.225.已知2阶方阵A的特征值为九=1及=，方阵B=A.3(1)求B的特征值；(2)求B的行列式.26 .用配方法化二次型f(X1,X2,X3)=X2-2X2-2X3-4X1X2+12X2X3为标

43、准形，并写出所作的可逆线性变换四、证明题(本题6分)27 .设A是3阶反对称矩阵，证明A=0.全国2012年1月自考线性代数(经管类)»试题课程代码：04184说明：本卷中，A-1表示方阵A的逆矩阵，r(A)表示矩阵A的秩，口|废示向量a的长度，aT表示向量a的转置，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式.、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。a11al2al33a113a123a131.设行列式a21a22a23=2,则31一a32-a33=()a31a32a

44、33a21a31a22a32a231a33A.-6B.-3C.3D.62.设矩阵A,X为同阶方阵，且A可逆，若A(X-E)=E,则矩阵X=()A.E+A-1B.E-A_-1C. E+AD.E-A3.设矩阵A,B均为可逆方阵，则以下结论正确的是()A.1A可逆，且其逆为A1A1)B.'Ai不可逆IB)<B-1)IB；AC, A 可逆，且其逆为I BJD. fA)可逆，且其逆为A-1IB)<B口 k线性无关的充分必要条件是4 .设cm,口2,，otk是n维列向量，则cti,a2,A.向量组豆1,口2,，口k中任意两个向量线性无关B.存在一组不全为0的数ll,I2,，lk,使得l

45、ia1+120C2+-+lkO(卢0C.向量组豆1,0(2,，口k中存在一个向量不能由其余向量线性表示D.向量组ai,«2,，otk中任意一个向量都不能由其余向量线性表示5 .已知向量2口+P=(1,-2,-2,1)T,3ct+2P=(1,i*,0)T,则ot+P=()(0,-2,-1,1)T(-2,0,-1,1)TC.(1,-1,-2,0)T(2,-6,-5,-1)T6.实数向量空间V=(x,y,z)|3x+2y+5z=0的维数是C.7.设a是非齐次线性方程组Ax=b的解,P是其导出组Ax=0的解，则以下结论正确的是ot + P是Ax= 0的解B.ot+口是Ax=b的解C.B-a是

46、Ax=b的解D.a-P是Ax=0的解8.则A-1的特征值为()11设三阶方阵A的特征值分别为-,3,24C.2,4,131 1,32 4111B，243D.2,4,30 1B . 1 0 21D .-219.设矩阵A=2,则与矩阵A相似的矩阵是()A.112-2C.11310.以下关于正定矩阵叙述正确的是()A.正定矩阵的乘积定是正定矩阵B.正定矩阵的行列式一定小于零C.正定矩阵的行列式一定大于零D.正定矩阵的差一一定是正定矩阵二、填空题(本大题共10小题，每空2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。11.设det(A)=-1,det(B)=2,且A,B为同阶方阵，则

47、det(AB)3)=.12-212,设3阶矩阵A=4t3,B为3阶非零矩阵，且AB=0,则t=.3-1113 .设方阵A满足Ak=E,这里k为正整数，则矩阵A的逆A-1=.14 .实向量空间Rn的维数是.15 .设A是mxn矩阵，r(A尸r,则Ax=0的基础解系中含解向量的个数为.16 .非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是.17 .设a是齐次线性方程组Ax=0的解，而B是非齐次线性方程组Ax=b的解，则A(3a+2p)=.18 .设方阵A有一个特征值为8,则det(-8E+A)=.19 .设P为n阶正交矩阵，x是n维单位长的列向量，则|Px|=.22220 .一次型f(x,X2,X3

48、)=x+5x2+6x3+4x1X22x1X32x2X3的正惯性指数是.三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)1-12计算行列式-1-414-6124222.设矩阵A=3,且矩阵B满足ABA-1=4A-1+BA-1,求矩阵B.523 .设向量组5=(3,123,0(2=(071,3),0(3=(120,1),0(4=(6,943),求其一个极大线性无关组，并将其余向量通过极大线性无关组表示出来.T4324 .设三阶矩阵A=-253,求矩阵A的特征值和特征向量.2T-225 .求下列齐次线性方程组的通解.X1X3-5x4=02x1x2-3x4=0x1x2-X32X4=02-24的秩.30626 .求矩阵A=0301-12四、证明题(本大题共1小题，6分)27.设三阶矩阵A=a”a21%a12a13a22a23a32a33的行列式不等于0,证明:5年1、a21,C(2'a23a22，03103'a23线性无关R32)3/接下来是答案答案部分2010年1月高等教育自学考试全