第20讲数学积分学九2011年新版

1、校：授课+名师答疑+在线模考+，考试通过无忧！ 考试问吧，有问必答！音频、讲义，勿上当，咨询：转 601【例l - 4 - 9 】 幂级数的收敛域是（A）（-1,l ）（B）（-l,1）（C）（-l,l）（D）（-l,1¥¥x - 1 时，级数åæ - 1 ö ，当 x = 1 时，级数å(-1)n-1 1【解 】级数收敛半径R = l ，当çn ÷n=1 èønn=1收敛，故（D ）。（A）条件收敛（B）绝对收敛（C）发散（D）收敛性不能确定¥解 】 由å a (x -1)

2、n 的结构知其收敛区间的中心为 x = 1，已知 x = -1 为此级数的一个收敛点，【nn=1设其收敛半径为 R ，则 R ³(-1) -1 = 2 ，而 x = 2 与收敛区间中心 x 1 的距离为 1 , 1 < R，由幂级数的收敛性（定理）知，此级数在 x = 2 处绝对收敛，故（ B ）。【 例 1 - 4 - 11 】利用逐项求导法求级数的和函数。¥【 解 】幂级数å xn 的和函数是 1 (-1 < x < 1) 即1- xn=0造价工程师 | 监理工程师 | 咨询工程师 |税务师 | 银行从业 | 证券从业 | 期货从业 | 会计

3、证 |师 | 安全工程师 | 会计|会计师 |英语 |师 | 报关员 | 外销员 | 执业药师 | 卫生| 助理医师 |日语 |计算机 | 雅思 | 公共英语 | 自考英语 | 新概念 | BEC | 托福 | 人力资源师 |高考 | 中考 | 司法考试 |1页校：授课+名师答疑+在线模考+，考试通过无忧！ 考试问吧，有问必答！音频、讲义，勿上当，咨询：转 601利用逐项求导公式，得l - 4 12】将函数 1 展开成（xx【 例3）的幂级数。【 解】因为而因此【 例1-4 - 13】 将函数展开成 x的幂级数。解先将有理分式分解成部分分式之和：造价工程师 | 监理工程师 | 咨询工程师 |税

4、务师 | 银行从业 | 证券从业 | 期货从业 |师 | 会计证 |师 | 安全工程师 | 会计|会计师 |英语 |报关员 | 外销员 | 执业药师 | 卫生| 助理医师 |日语 |计算机 | 雅思 | 公共英语 | 自考英语 | 新概念 | BEC | 托福 | 人力资源师 |高考 | 中考 | 司法考试 |2页校：授课+名师答疑+在线模考+，考试通过无忧！ 考试问吧，有问必答！音频、讲义，勿上当，咨询：转 601三、级数（一）级数概念1 系数和级数设 f（x ）是周期为 2 的周期函数，则下面公式中出现的积分都，则系数a0，a1, ,bl叫做函数 f （ x ）的系数，级数叫做函数 f （

5、 x ）的级数。2 收敛定理设f（ x ）是周期为 2 的周期函数，如果它满足条件：（1）在一个周期内连续，或只有有限个第一类间断点；（2）在一个周期内至多只有有限个极值点，则 f （ x ）的级数收敛，且当 x 是 f（x）1+-）的间断点时，级数收敛于 f (x ) + f (x )2的连续点时，级数收敛于 f（ x ） ；当 x 是 f（ x（二）正弦级数和余弦级数1 正弦级数若 f （ x ）是周期为 2 的奇函数，则它的系数为它的级数是只含有正弦项的正弦级数2 余弦级数若 f （ x ）是周期为 2 的偶函数，则它的系数为造价工程师 | 监理工程师 | 咨询工程师 |税务师 | 银行

6、从业 | 证券从业 | 期货从业 |师 | 报关员 | 会计证 |师 | 安全工程师 | 会计|会计师 |英语 |外销员 | 执业药师 | 卫生| 助理医师 |日语 |计算机 | 雅思 | 公共英语 | 自考英语 | 新概念 | BEC | 托福 | 人力资源师 |高考 | 中考 | 司法考试 |3页校：授课+名师答疑+在线模考+，考试通过无忧！ 考试问吧，有问必答！音频、讲义，勿上当，咨询：转 601它的级数是只含有项和余弦项的余弦级数（三）周期为 2l 的周期函数的级数设 f （ x ）是周期为 2l 的周期函数，则它的系数为而它的级数为（四）例题【例 1 - 4 14 】 设 f（ x

7、）是周期为 2的周期函数，它在 -，），上的表为问f （ x ）的级数在 x -处收敛值。【解】所给函数满足收敛定理的条件，x -是函数的间断点，按收敛定理它的级数在x -处收敛于【例 1- 4 15】 将函数展开成级数。解 】 将函数 f (x) = p 2 - x2 在-p ,p 外作周期延拓，注意到 f【（ x ）是偶函数，故造价工程师 | 监理工程师 | 咨询工程师 |税务师 | 银行从业 | 证券从业 | 期货从业 | 会计证 |师 | 安全工程师 | 会计|会计师 |英语 |师 | 报关员 | 外销员 | 执业药师 | 卫生| 助理医师 |日语 |计算机 | 雅思 | 公共英语 |

8、 自考英语 | 新概念 | BEC | 托福 | 人力资源师 |高考 | 中考 | 司法考试 |4页校：授课+名师答疑+在线模考+，考试通过无忧！ 考试问吧，有问必答！音频、讲义，勿上当，咨询：转 601由于 f 在区间-，满足收敛定理的条件，在-，上连续，且 f （）= f -（），因此在区间-，上，有第五节微分方程一、基本概念（一）微分方程表示未知函数及其导数、自变量之间的的方程，称为微分方程。微分方程中所出现的最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶。（二）微分方程的解、通解微分方程的一个函数，把这函数代入微分方程能使该方程成为恒等式。确切地说，对于 n 阶微分方程那么函数 y = j(x)

9、就称为微分方程（ 1 - 5 - l ）在区间 I 上的解。如果二元代数方程F(x, y) = 0 所确定的隐函数是某微分方程的解，那么F(x, y) = 0 称为该微分方程的隐式解。含有 n 个的任意的微分方程的解，称为 n 阶微分方程的通解。（三）初始条件与特解= y0 ；能用来确定通解中的任意的条件称为初始条件。通常一阶微分方程的初始条件为 y |x=x 0¢¢= y ， y |= y 。微分方程的初始条件为 y |x=x x=x0000通解中的任意全都确定后，就得到一个确定的解，称为微分方程的特解。造价工程师 | 监理工程师 | 咨询工程师 |税务师 | 银行从业

10、| 证券从业 | 期货从业 | 会计证 |师 | 安全工程师 | 会计|会计师 |英语 |师 | 报关员 | 外销员 | 执业药师 | 卫生| 助理医师 |日语 |计算机 | 雅思 | 公共英语 | 自考英语 | 新概念 | BEC | 托福 | 人力资源师 |高考 | 中考 | 司法考试 |5页校：授课+名师答疑+在线模考+，考试通过无忧！ 考试问吧，有问必答！音频、讲义，勿上当，咨询：转 601（四）例题【 例 1- 5 - l 】验证函数 y = C e-x + C e2x 是微分方程 y ¢ - y¢ - 2 y = 0 的通解。12【 证 】代入方程有e- xx=

11、 e两个任意，且因e2所给方程是的，所给函数中恰好含Cl、C2，故这两个任意不能合并成一个，即它们是相互的，因此所给函数是所给方程的通解。二、可分离变量的方程一阶微分方程称为可分离变量的方程。把式中的 y 和 dy 归入方程的一端，x 和 dx 归入另一端，成为这一步骤称为分离变量。分离变量后，两端可分别积分设 g （y）、 f （ x ）的原函数依次为 G （y）与 F（x），即得方程（ 1-5 - 2 ）的通解【 例 1- 5-2 】xOy 平面上一条曲线通过点（ 2, 3 ） ，它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分，求它的方程。造价工程师 | 监理工程师 | 咨询工程师 |税务师 |

12、 银行从业 | 证券从业 | 期货从业 | 会计证 |师 | 安全工程师 | 会计|会计师 |英语 |师 | 报关员 | 外销员 | 执业药师 | 卫生| 助理医师 |日语 |计算机 | 雅思 | 公共英语 | 自考英语 | 新概念 | BEC | 托福 | 人力资源师 |高考 | 中考 | 司法考试 |6页校：授课+名师答疑+在线模考+，考试通过无忧！ 考试问吧，有问必答！音频、讲义，勿上当，咨询：转 601【 解 】 设曲线上任一点为（ x ，y），依题意，曲线在点（x，y）的切线在两坐标轴上的截距应为及 2y , （图 1-5-1 ） ，切线斜率为 dy ，因此有dx2x初始条件为 x 2 时 y = 3 。分离变量得积分得以初始条件代入得C1 = 6