微积分入门的两个热身问题

1、置微积分入门的两个热身问题问题1曲线的切线问题如何作出一条给定曲线在某点处的切线，是引发微积分诞生的问题之一。我们先从一个简单 例子说起。例1已知圆x2 y2二a2上的一点A，OA与x轴的夹角为二。求A点处的圆的切线。For personal use only in study and re本例可以用解解析几何唠法求解se如图所示，设AB是过圆上一点A的切线，那么半径 OA就是过A的圆的法线。根据曲线在一点处的切线与法线的斜率之积等于一1的原理，只须计算出 AB的斜率值，然后用点斜式直线方程不难写出 AB的方程。For personal use only in study and resear

2、ch; not for commercial use这个计算过程留给大家，因为这是中学生可以求解的问题。For personal use only in study and research; not for commercial use当曲线是一般形式时，中学的初等数学关于圆的切线的定 义就成问题了，因为对圆的切线的定义是：与圆只有一个交点的直线。见下图，若用这样的定义就遇到了困惑：A点处的切线与曲线不止一个交点。所以，一般曲线的切线的定义必须另行考虑，研究对象改 变了，定义也应与时俱进地变。高等数学一般用“运动”或“变化”的思想加以考虑，因为高等数学希望致力于寻求普遍地解 决问题的方法，而

3、不是一个一个例子地讨论。考虑左图一个典型问题。设y = f (x)是定义在(a,b)上的函数，它在坐标系 0-xy中为一条曲线。问题：过此曲线上的已知点P)(x0,f(x0)作该曲线的切线。思想：作出过P0点的任意一条割线，使之运动到“极限”位置，这个极限位置的割线就是所求的切线。实现的方法：设所求切线为PT (见图)。考虑曲线上的任一点P(x, f (x)，连接F0P作曲线的割线，显然，这样的割线是任意的。容易知，此割线的斜率等于k f（x） f（Xo）K 二 X - X。现在使P点沿曲线变动，那么割线的位置也随之变动。我们取这样的变动方式：使（+）P点逐步接近P点，则割线RP将接近PT。用

4、极限的思想， P无限接近P0的过程的极限位置，就是所求切k。，用数学式子k0lim k = limP_0Xof(X)- f (Xo)x Xo(*)线F0T。联系到（+）式，也就是说，割线的斜率的极限值就是所求切线的斜率 说，便是于是，利用直线的点斜式方程，不难写出所求的切线方程！这么看来，求切线的关键是计算（* ）式的极限。不过，在上述叙述的过程中，还隐含着许多疑问。比如，割线存在不存在极限位置？也就是极限的存在性。以后我们将会看到，对于相当普遍的函数（包括中学里学过的所有初等函数），当P无限接近F0时，割线F0P确实存在一个极 限位置，所以（*）所示的极限在大多数情况下可以计算出来。当然，存

5、在是一回事，如何计算 又是另一回事。有的同学可能思路很活跃，他会说，我们在中学里学过如何求极限了，因此求切线的问题不 在话下了。需要注意极限式（* ）的特点：它的分母是x-X），分子是f（x）-f（x0），它们在X 、Xo 的过程中都是趋向于 0 （但不是0!），大家想过没有：这样的分子分母相除的结果会是什么呢？这些都是在微积分的发展进程中逐步解决了的问题，但对我们初学者来说，还是问题。有问 题不怕，学习的过程就是逐步前进的过程。有一点很重要，即应带着疑问来学。疑问从何而来， 要在解决问题中提炼出来。也就是说，需要我们学会题的出疑问。只有题的出疑问的学生，才是 有希望的。好！我们就用上面的思想

6、与方法来解决实际问题。2例2求抛物线y = x在点P）（1,1）处的切线方程。解：先写出过P0点的任意割线P0P 的斜率：k(x)f(xo)XXo X2 -1knk再求其极限:X2 _1=limlim（ x 1） = 2x 1 x-1 x 1，至于为什么可以这样算,最后一步极限计算，我们直接用了中学里介绍的计算方法（代入法）将是我们这门课程要研究的。于是，所求的切线方程（用点斜式方程）为y -1 =2（x-1），即y =2x-1。但是，千万不要就这个例子解决得很顺利，就误以为万事大结。比如回到一开始的例1求圆的切线。为了计算（+）的极限，需要找出对应的变量。我们设计2种变量。方法1：设定点A对

7、应角为 入，且设圆上动点 B对应的。则k严lim到匕込！二lim EE巾 a cost - a cos %: 口 cos t - cos %这个极限我们还不会求！不过对于中学里学过导数的同学，可能 计算，即分子分母同时求导数，可以得到sin J -sin 九 cos ： - cos 厲lim车0 -sin vCot J。至于为什么可以这样计算，则是本课程的重要任务之一。我们不仅要知道怎么做，更需要理解为什么这么做。这才是大学的学习之道！方法2：用动点B的x坐标：2 2 2 2Va -x -Ja -xgk0 = lim J0X _Xq这个极限我们还不会计算。因此，用高等数学的方法，求圆的切线问题

8、反而比求抛物线的切线更困难！这里的困难在于计算极限值。如何计算极限，是微积分的一个重要内容。还是回到式子(+)。大家一定要熟悉这样形式的极限，因为它与微积分课程的一个极其重要 的概念一一导数，发生着关系。而导数的概念，我们将在第2次课上与它亲密接触！也就是说，我们已经不知不觉走进了微积分的第一部分内容一一微分学！回想一下刚才求切线斜率的过程，体会其中的思想精华。用割线代替切线，是一种“倒退”行为，是明显的近似，但这样的“倒退”看似无奈，却是以退求进。“退”是因为我们一下子求不出切线的斜率，但我们可以运用极限这个工具，来逼近切线的斜率，实质上，是用了“近似” 这个“桥梁”到达了精确的彼岸。你看，

9、在近似和精确这一对矛盾之间，看到了辩证法的威力了 吧！这种辩证思想，在下一个积分问题的处理上，更是达到了顶峰。你能找些你熟悉的函数，来试着计算(+)吗？体会体会看！科学就是这样试出来的，牛顿们当初是这样开辟新天地的！你动手吧！问题2曲边四边形的面积问题我们在中学里学会了求一些比较规则的几何图形 的面积，比如正方形，长方形，三角形和圆，在此基础 上，稍复杂些的平行四边形，菱形乃至多边形等也会计 算器面积。现在考虑下面一个曲边梯形的面积问题。所 谓曲边梯形是如图所示的图形，即由直线X二a, X二b，x轴和曲线y二f(x)所围成的图形。怎么计算它的面积大小呢？首先得承认，这样的图形的面积肯定是客观存

10、在着的，它总有占有平面上的一定大小。问题是如何把它计算出来！初等数学是没有办法的。那么，高等数学是按什么思想来计算？也是先做我们能够计算的近似值作为桥梁，再运用极限为工具，达到精确的面积值！我们之所以不能直接计算上述这个曲边梯形的面积S，困难在于有最上面的曲线y二f(x)。绕开它，想办法用我们能计算的近似值来近似！下面来一步一步来分解这个过程。近似的第一步是“构造”有限个小的矩形。因为有限个 矩形的面积我们可以求出来。为此，将区间a,b中任意插入n 一 1个点：为：X2 :： X3 ：川：Xnj，并记 a 二 Xo,b 二 Xn。第二步，在各小区间x，x上（i =1,2,1山n）,记 丄X-

11、X，并取X，Xj，以f （J，作为小矩形的高，这个小矩形的面积为 f（ 1）.喀，那么这n个小矩形面积之和就是n_1Sn = ' f （ i ）：Xii =0第三步，也是最重要的一步，我们取区间a,b上的点越来越多，乃至于 n >:，那么直观上Sn的值将会逼近所要求的曲边梯形的面积，也就是n Alim Sn = lim ' f（ i = S（2.1）nn厂j卫这就是微积分中的第二大部分一一积分学一一的基本框架，其思想和实现方法的内容基本包括在内。当然还存在很多理论上必须解决的问题，比如，（2.1）的极限是否存在的问题。因n -1n-J为一开始s =瓦 MGX只是有限项之和

12、，而到了 lim无fGX，则是无限项的极限，其中 的每一项由于 也为越来越小，趋于 0 （但不等于0），那么极限是否存在，是需要严格论证的，否 则我们在做无聊的游戏。这些问题随着课程的深入，都会明确的解答。好，理解上述积分的思想没有？如果基本有点认识，我们来做一个能求出极限的例子。例3求x=0,x=1，X轴与y=x2所围成的曲边三角形的面积S。解：先将0,1 n等分，得分点我们若取等分数 n那么有理由认为上述极限我们每一位同学可以计算：ol2,3川，口丄川,口=1，n n n n n n n1每个小区间的长度（即小矩形的宽）为 -。n这样就形成了一个由 n个小矩形组成阶梯形的图形, 其中第i个

13、小矩形的面积为(#)1i ti = f（x）十n In丿那么阶梯形的面积则为这些小矩形面积之和:n一nd f 、T =X 1=瓦|丄i =0i =0 5 *nJ i 2S = lim T 二 lim 二 亏。n .；：n .；： y n3s =lim' 厶=lim i2 =lim 丄、k2 Jim1 n(n 1)(2n 1)nqc i 兰 nn i 卫n k 丄n 6lim 口 Dlim(1 丄)(2 丄)J6n .； ： n n 6n .； ： n n 3好，我们用积分的思想和中学介绍的计算极限的方法，得出所求的曲边三角形的面积为1丄。当然3对积极思考的同学而言，这里实际上还存在一个

14、疑问：为什么问得好！为了解决这个疑问，我们还可以用另一种方法值。在上面的(# )中，我们还可以用另一个“大”的小矩形面积来近似第2 2)1 _(i+1)2n nn3显然，第i个曲边小梯形的面积 si是介于ti和ui之间：一 1 fi+1Ui "J丁 t - S - W,所以所有小曲边梯形的面积之和S，.2 1TS汕i =0.我们在上述不等式的两边取我们已经求出左边的极限为S = lim T是成立的？，从两边夹过来的方法，确定i个曲边梯形的面积:i =0,1,2川 I, n-1正好介于两个阶梯形的面积之间:2卩 +1 ) 1i =0nr 的极限：flimU丿n Flim T = lim

15、 'n 厂nn1-,容易求出右边的和式在3nr的极限也是1-，所以有31从而有 S = -。3我们给它一个好听的名字：夹逼原理(两核心还是处理近似与精确针对矛盾的这个从两边夹过来的方法， 将在微积分中经常运用, 面夹原理)。现在大家可以相信我们求出的结果了吧！回顾一下，积分的思想其实与微分的思想有类似之处, 辩证法思想。这里我还想与大家谈一下求和公式n 2 1、k n(n 1)(2n 1) k巧6的来历，没有这个公式，前面的极限还是求不出的。这表面用数学解决实际问题，除了正确的思 想与方法外，必要的武器(手榴弹，步枪，机关枪，大炮，导弹，多多益善)也是要紧的。有同学说，这个恒等式我们在

16、中学里用数学归纳法证明过。对，用数学归纳法证明是没有错 的，但数学归纳法有个“大大”的缺点，那就是必须知道要证明的结论，才能去证。如果不知道 结论，去证什么啊？还有，如果公式忘了，怎么办？所以，最好的办法是能演绎推导！下面我们 来做这样的工作。由恒等式k2 -(k -1)2 =2k -1, k =1,2川I,n，取遍k =1,2,川，n，并把它们加起来:nnnn'、k2 (k -1)2 =2、k'k nk 4k 4 k4k 4左边是n2，所以，' k =1 2 川 n =丄(n2 n) = n(n ' 1k丄22这个是最简单等差数列求和公式，当年年幼的高斯在这个

17、题目上大放异彩，这个故事大家都是知道的，当然高斯不是这么做的。我们用这样的办法则是为了推导更一般的求和式。再由恒等式k3 -(k-1)3 = M2 - & 得1nnn332、 k -(k -1)=3、k -3、k nk=4k 4心左边的和式显然等于nn3，所以把v kk An(n 1)2代入右边，有n、k2k =12n(n 1)(2 n 1)6怎么样？不很困难吧?作为练习，推一下n、k4 二？k m仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen