微积分基本定理的应用

1、微积分基本定理的应用主编：徐其海 审核：张安永一. 学习目标1能理解导数于定积分的内在联系，掌握微积分基本定理， 根据定积分的值解释其几何意义.2. 会利用牛顿-莱布尼兹公式和求导公式求最基本初等函数的定积分3. 会利用牛顿-莱布尼兹公式和求导公式和定积分的性质求一些简单初等函数的定积分二. 重难点1重点：对于牛顿-莱布尼兹公式的应用和理解 2难点：对于牛顿-莱布尼兹公式的应用和理解 .三. 知识链接.1. 牛顿-莱布尼兹公式的理解.一般的，如果f(x)是区间a,b丨上的连续函数，并且F«x) = f (x),那么bf (x)二F (b) - F (a) 这个结论叫微积分基本定理，又

2、叫做牛顿-莱布尼兹公式aK(1) 计算定积分f (x)dx的关键是找到满足函数F1 (x)二f (x)的函数F (x).L a(2) 通常利用基本初等函数的求导公式和定积分的性质求出F (x).如 n (ax2 bx c)dx二"ax2dx "bxdx n cdx，分成各个简单的函数进行积分较 mmmm简单，求导运算和求 F(x)的运算是互逆的运算.b bb(3) F(b) -F(a)记成 F(x)|b；,即 f (x)dx = F (x)= F (b) - F (a)ab(4) 只有f(x)在区间la, b 1上连续，定积分f (x)dx才存在 a(5) 实际上 F(x)

3、+c(c为常数)的导数和 F(x)的导数相同，故 bf (x)dx可以写成 aF(b)F(a) c，但结果与F(b)-F(a)相同，故省略了 c2. 复合函数的定积分求复合函数的定积分主要依据定积分的性质(1) 有限个函数代数和的积分，等于各个函数积分的代数和.即fi(x) _ f2(x)-b-fn(x)dx ai bb二 fn(x)dxf|(x)dx 二f2(x)dx 二L aL a(2)常数因子课题到积分符号外面，即kf(x)dx=k f (x)dx aL a(3)当积分上限于下限交换时，积分值一定要反号，即bf(x)dx r-ff(x)dxL a1 bbcb(4) 积分的可加性若 c l

4、a,b】,则有 f(x)dx = i f(x)dx f (x)dx L aL aL c四.导学过程1利用微积分基本定理求定积分和求分段函数的积分(1 )求定积分I x(1 x)dxL4(结果为45丄)6nsin x,(0 兰 x 兰一)2(2)已知函数f(x)=打,(兰x2)求这个函数在 0,4】上的定积分.(结果为7)2 2x 1,(2 誉 x 誉4)2利用函数图形的几何意义进行定积分的计算(当原函数不容易求时)求定积分 3.16，6x-x2dx-2点拨：利用f (x)二16 6x2所表示图形的几何意义求解解：设 y .16 6x-x2，即(x -3)2 y2 =25(y -0)3 ,&qu

5、ot;16 6x_x2dx表示在I- 2,3 上的一段与坐标轴所围成的四分之一圆的面积，圆 一2'的半径为5.J3 Jl6 +6x-x2dx =-225jr4变式训练：利用数形结合的思想计算2 ：'4x2 dx (结果为 2兀)-2 '五. 知识归纳、总结1用定积分定义求定积分是一件很麻烦的事用牛顿-莱布尼兹公式求定积分就简单多啦，即b,h要求J f (x)dx，只要找到F (x)= f(x),的一个F (x)，求出F(x)|：,就可以了aK2. 求定积分f(x)dx，当f(x)比较复杂时可根据定积分的性质转化为几个简单函数的定积 a分的和差进行计算，但切记不能转化为定

6、积分的积于商进行运算3. 分段函数的定积分问题，需根据积分上限、积分下限和分段函数的临界点确定被积函数的 解析式后再分别求出定积分 .六. 当堂检测5- x1.(e -sin x)dx =(0)A.e-1B.e-2C. e5-3D.e5-45x2 1dx -()A, 8-In58+ ln5,5,52.B,C,16- lnD,16+ ln3 x333323. 2 (sin 2x - cosx) dx =024. J (ex _ Jx)dx =七.针对性练习兀1. (cosx 1)dx =()0A. 1B.0C.二 1D.二a12若(2x )dx =3 1 n 2 ,则a的值是（)A.6 B.4C. 3 D. 21x12101112133.|x 4|dx =()ABCD 0333314. (ex e)dx =()1A , e -B,2eC ,2D, e 一丄0eee5.若 a 二 2x2dx,b2x3dx,c 二？sin xdx ,贝U a,b,c 的大小关系是()0 0 0A a : c : b b a : b ： c C c : b ： a d c : a ： b16.若 o(2x k)d-2，则 k=7已知函数 f (x) =3x2 2x ,1若 f (x)dx = 2f (a)成立，则 -1a=1 2 28.若 0f(x)dx