反函数求解与性质

1、精品第5讲：反函数【复习要求】1、理解反函数的意义，会求一些函数的反函数。2、经历探索互为反函数的两个函数图像之间关系的过程，掌握利用yf(x)与1yf1(x)的性质解决一些问题.【教学重点】反函数的求法，反函数与原函数的关系.【知识要点】1、反函数的概念：对于函数yf(x),设它的定义域为D，值域为A,对应法则为f,如果对于每一个yA值，都有唯一的xD,满足f(x)y,这样得到的x关于y的函1数叫做yf(x)的反函数，记作yf(x),(xA)。2、求反函数的一般步骤：(1)解出x;(2)互换x、y;(3)写出反函数的定义域(即原函数的值域)。注：求分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数

2、再合成。3、反函数的性质：1一(1) .互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称；即：bf(a)af(b)两个互为反函数的图像如果有交点，它们的交点不一定都在直线y=x上(2) .具有单调性的函数必有反函数，且他们的单调性相同。但反之不一定成立。(3) .互为反函数的两个函数在它们各自的定义域具有相同的单调性.(4) .一般的偶函数一定不存在反函数(但一种特殊的偶函数存在反函数，例f(x)=a(x=0)它的反函数是f(x)=0(x=a)这是一种极特殊的函数)，奇函数不一定存在反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。1一一(5) .函数y=f(x)的定义域是它的反函数yf(x

3、)的值域；函数y=f(x)的值域是它的反函数yf1(x)的定义域.1(6) .右y=f(x)(xCA),yf(x)与(xeC)互为反函数，则有11-f(f(x)x(xC)f(f(x)x(xA)._1.(7) .x=f(y)与yf(x)是同一函数，因为它们的定义域、值域对应相同(都分别是原来函数的值域和定义物)，对应法则相同;(8) . y f (x a)的反函数f 1 (x a) ； f (kx b)的反函数为：y-1f (x) b.k '【典型例题】类型1：判断一个函数是否存在反函数例1、函数yf(x)在定义域上是单调函数”是函数yf(x)有反函数”的充分不必要条件。例2、判断下列说

4、法是否正确，并说明理由。(1)奇函数一定有反函数。(错，反例：三角函数)(2)偶函数一定没有反函数。(错，反例：f(x)=0)1(3)原函数与其反函数交点必在直线yx上。(错反例：y)例3、判断下列函数是否存在反函数:y|x|(无)2(2)yx4x5,x1,3(有)2x,x1y4,x1(无)1,例4、已知函数yf(x)(定义域为D,值域为A)有反函数yf(x),则方程f(x)01,有解xa,且f(x)x(xD)的充要条件是yf(x)满足f1(0)a且f1(x)x(xA)。类型2:怎样求简单函数的反函数例5、求下列函数的反函数：2x1(1x0)yx3x(x1)(2)y.x(0x1)感谢下载载f

5、1(x)2x 1(0 x 1)2x ( 1 x 0)y 9 4x2 x 0,3 2f 1(x) lT-x2(x 3,0)类型3:互为反函数的两个函数的图像的对称性的应用例6、解决下列有关反函数性质的相关问题:(1 )、若函数1.-x a和y bx 2互为反函数，则3(2)、函数y2x 1的反函数的图象关于点(-2 ,-3)对称。(3)、已知函数f(x)1 x( 1x(0 x(4)、函数yg(x)的图像与f (x)ax 1的图像关于直线 yx对称，若yg(x)的图像过点(2, 4),则g(a1)的值为答案：ag( 1)4例7、函数1，、，-,x R)的图象关于y x对称，求 aa的值.解：由ya

6、x(x axx R)得 xf 1(x)1 x (x a(x 1)1)，由题知:-1f(x) f (x)1 xa(x 1)1 ax.i39f1(x)2x4(x2)例8、若(2,1)既在f(x)Vmxn的图象上，又在它反函数图象上，求m,n的值.解：.一(2,1)既在f(x)Jmxn的图象上,又在它反函数图象上，f(1)2mn2m3f(2)1,2mn1n7类型4:怎样求复合函数的反函数一一，x，、一1.,、例9、已知f(x1)，求f(x1)x1xx11111【解】f(x1)f(x)f1(x)(x1)f1(x)x1x1xx例10、设f(x)2x3,函数yg(x)的图像与函数yf1(x1)的图像关于直

7、线yxx4对称，求g(3)的值。【答案】(-10)xx31x例11、(1)已知函数f(一)(x0),求f(一);3x3(2)已知函数f(x)abx1(b>0,b1)的图像经过点1,3，函数f1(xa)(x>0)的图像经过点4,2，试求函数f1(x)的表达式；1,、一一，1x11x【解】(1)先求f(x),再求f1(x),最后求f1()得，f1(一)33-1一一(2)a2,b4,f(x)10g4(x2)1(x>2)类型10:有关反函数的综合问题x12例12、已知f(x)()2(x1),x11 1 一，一恒成乂，求a的取值氾 4 2(1)求f(x)的反函数f1(x);(2)若不等

8、式(17x)f1(x)a(aVx),对一切x围。1一一解：(1)f(x)H,x(0,1)(2)依题意得:11.Vx)对x-,-恒成立42即：(a1).x(a21)12皿/二，贝U(a221)t(a21)02,恒成立设g(t)(a,21)t(a21)1时,g(t)0,舍;1时,g(g)2/.2、g(-2-)得:a(1,二)*例13、已知f(x)a2x11(aR),是R上的奇函数.(1)求a的值;(2)求f(x)的反函数;(3)对任意的k(0,1)解不等式f(x)解(1)由题知f(0)得a1,此日f(x)2x1f(x)2x12x12xn12xx0，12x即f(x)为奇函数.(2)y2x12x22x

9、11)，1(x)1xlog2"-(1x1x1).f1(x)log当0k2时，原不等式的解集x|11当k2时，原不等式的解集x|1x1【课后练习】12xA.C.2.函数12x(xR,且x15）的反函数是(D)12x/(xR,且x12x1x(xR,且x2(1x)2）i)Hx0）的反函数是（B）2B.yxxB.c.y2_3.函数f(x)x2ax12x1(xR,且x)12x21x(xR,且x2(1x)4.A.aC(-8/B.a2,+oc)c.ae1,2D.aC(-oo,1u2,+33在区间1,2上存在反函数的充分必要条件是（D）f（x）是函数yax（a0,且a1）的反函数，且f（2）A.lo

10、g2x16.已知函数f(x)B.2xx24x,4xx2,A.(,1)(2,)i)y1D.1,则f(x)(A)x2C.log1xD.22x02，若f(2a2)f(a),则实数a的取值范围是x0B.(1,2)C(2,1)D(,2)(1,(C)7.设函数f（x）的图象关于点（1,2）对称,且存在反函数_11f(x),f(4)=0，贝Uf(4)=2118 .若f(x)为一次函数，且f1f1(x)25x30，则.xf(x)=f(x)51xRorf(x)2x119 .右f(x)(xa,a-)的反函数为自身，则a=-2xa2-1.1,110 .已知f(x)=7(xv-1),贝Uf(-)=-21x3axb.3

11、x1.11 .已知函数y的反函数是y(xCR,x及)，求a,b,c的值.xcx2a=2,b=1,c=-3y=x对称,.12x112.已知函数f(x),ygx的图象与yf(x1)的图象关于直线1x,1求g的值.2提示:f(x)1 2xf 1(x 1)g 1(x)g 1(x)法2:由题设知f 1(x1 ,1)的反函数g(x),又f (x 1)的反函数为f(x)-1 .-.g(x)=f(x)-11 .知函数f (x)2x 3 , f 1(x)是 f(x)的反函数，若 mn 16(m,n R),则一 1一 1f (m) f (n) l【答案】-22 .若 lga lg b 0 (其中 a 1, b 1

12、),则函数 f xax与g x bx的图像关于对称.【答案】y轴3.设函数y f x的反函数为y.1.一. _1 ， 一f x ,且y f 2x 1的图像经过点一，1 ，则2y f x的反函数的图像必过点(A、2,1, 1-B、1,-C、1,0D、 0,14 .已知函数f x存在反函数f1 ,一，1f -过点2,3 ,则函数f 11 ,-恒过点xA、3,2B、C、D、；,25 .函数2x2x0,是否存在反函数，若存在，请求出来；若不存在,0说明理由.【答案】略6 .求与函数yf(xa)b的图象关于直线yx对称的图象所对应的函数.1【答案】由yf(xa)b可得f(xa)yb,即xaf(yb),即xf1(yb)a所求函数yf1(xb)a7 .已知函数yf1x是yfx的反函数，定义：若对给定的实数aayfxa与y