华北电力大学硕士研究生课程考试试题(A卷)矩阵论答案

1、精品华北电力大学硕士研究生课程考试试题(A卷)(2013-2014)判断题(每小题2分，10分)1.方阵A的任意一个特征值的代数重数不大于它(X)52页，代数重数指特征多项式中特征值的重数，几何重数指不变子空间的维数，前者加起来为n，后者小于等于n2 .设1,2，L,m是线性无关的向量,则dim(span1,2,L,m)m.正确，线性无关的向量张成一组基3 .如果V1，V2是V的线性子空间，则V1V2也是V的线性子空间.错误，按照线性子空间的定义进行验证。4 .n阶-矩阵A()是可逆的充分必要条件是A()感谢下载载的秩是n.见书60页，需要要求矩阵的行列式是一个非零的数5 .n阶实矩阵A是单纯

2、矩阵的充分且必要条件是A的最小多项式没有重根.见书90页。题12345号答案XXX二、填空题（每小题3分,共27分）210A021,6) 003则Ae的Jordan标准型为e2100e20,00e3Ae然后对于若当标准型要求非对角元部1.3010027) 030Smith标准型为10003000(3)(2)61-63页，将矩阵做变换即得8)设100A0.10.30.200.40.5则100limAn000n000109页，可将A对角化再计算即得。239)45在基1112000000,00,13,21(1,1,2,1)12页，自然基下坐标（2,3,4，-5）T，再写出过渡矩阵A,坐标即A的逆乘以

3、自然基下坐标。对于本题来说。由于第一行实际上只和前两个基有关，第二行只和后两个基有关。因此不用那么麻烦，只需要计算（1,1）x+（1,2）y=（2,3）就可得解为1,1.再解（1，-3)x+(2,1)y=(4,-5)就可以得解为2,1.整理一下即得坐标。(10)设4 23A2435 37,则15o见书100页，计算每行的绝对值的和。(11)sin2xlimln(1x)x01 cosx2xe 12x 3sinx20二03对矩阵中的每个元素求极限。12设ARmn,BRpq,C是已知矩阵，则矩阵方程AXBC的极小范数最小二乘解是uuurX(ABT)+C见书113-115页，将矩阵方程拉直，再用广义逆

4、的定义去算。(12)若n阶方阵A满足A30,则E1A2cosAE2A。见书121页，A30,所以后面的项都为零。(13)方阵A的特征多项式是(2)3(3)3(明最小多项式是(2)2(3)(5),则A的Jordan标准形是diag(J(2,1),J(2,2),3E3,5)特征多项式决定了A的阶数以及各个特征值的重根数，即有3个2,3个3,1个5.最小多项式决定了若当块的大小，如2有1个11 阶的若当块。12 13A 1 71 ,B1022251401个2阶，3和5都200012，C202证明AXXBC有唯一解。见书114页，本题需要验证A和-B没有相同的特征值，具体解法如下。证明：AE3+E3B

5、T非奇异。显然，B的特征值为2,1,2,下证明：2,1,2不是A的特征值：（1）方法1：用圆盘定理。A的三个行圆盘分别是B(12,4),B(7,2),B(8,1),2,1,2都不在B(12,4)B(7,2)B(8,1)A与B没有相同0不是AE3+E3BT的特征值，故AE3+E3BT可逆，从而AXXBC有唯一解。（2）方法2：求出A的特征多项式，再证明2,1,2不是A的特征值。方法3：直接写出AE3+E31BT，再证明它非奇异。四（8分）、设3维内积空间在基1,2,3下的矩阵211A150103。求span1+2+3的正交补空间。28页，内积空间在基按照内积定义给出正交补空间中元素应该满足的条件

6、。然后求解。解：设=x11+x22+x33(span1+2+3)(x1,x2,x3)T满足方程(x1,x2,x3)A(1,1,1)T02x1+6x2+2x3=0它的基础解系为1=(-3,1,0)T,2=(0,1,3)T因此(span1+2+3)=span31+2,233五(10分)、设5阶实对称矩阵A满足(A3E)2(A5E)30,rank(A3E)1,求A的谱半径和Frobenius范aIIfFO注意A满足的方程说明那并不也不是特征A的特征3和-5，再根据后面4个3和1-5.然后根据范数定义得到结果。因为实对称矩阵A是5阶矩阵，且满足(A3E)2(A5E)30,rank(A3E)1,因此存在

7、正交矩阵p，使得PTAPdiag(3,3,3,3,5)由于正交变换不改变矩阵的Frobenius范数)因此IAIF|diag(3,3,3,3,5)|Fa925V6i（10分）、求+502145513305127。184页，首先对矩阵再按广义逆的计算公式计算得到结果。(14分)、P3(t)的线性变换T(a0a1ta2t2a3t3)(a0a2)(a1a3)t(a2a0)t2(a3a1)t31)求R(T)，N(T)的基。(2)求T的一个三维不变子空间。34-37页，要求相空间及零空间的基即对线性变换在自然基下的矩阵做然后观察可得。解：(1)求T在下的矩阵。1,t,t,t，因为232233T(1)1t,T(t)tt,T(t)1t,T(t)1t23T在基1,t,t,t下的矩10100101101001011010101001100101011000000101000023因此1t,tt是叩)的基,231+t,t+t是N(T)的基。3)取Uspan1t2,tt3，1+t2,易见1t2,tt3，1+t2线性无关，因此Uspan1t2,tt3，1+t2是三维的，且T（U）=R（T）U，因此u是T的一个三维不变子空间。八（14分）、已知321A141123,1 ）求A的Jordan标准型。2 ）求lnA.因此首先A的特征多项式，发2和6，然后判即可得到若见书7