自动控制理论之频率域稳定判据及稳定裕度探讨ppt课件

1、5-4 频率域稳定判据频率域稳定判据 控制系统的闭环稳定性是系统分析和设计所需控制系统的闭环稳定性是系统分析和设计所需处理的首要问题，奈奎斯特稳定判据和对数频率处理的首要问题，奈奎斯特稳定判据和对数频率稳定判据是常用的两种频域稳定判据。频域稳定稳定判据是常用的两种频域稳定判据。频域稳定判据的特点是根据开环系统频率特性曲线断定闭判据的特点是根据开环系统频率特性曲线断定闭环系统的稳定性，运用方便，易于推行。环系统的稳定性，运用方便，易于推行。 Nyquist稳定判据既可以判别系统能否稳定绝稳定判据既可以判别系统能否稳定绝对稳定性，也可以确定系统的稳定程度相对对稳定性，也可以确定系统的稳定程度相对稳

2、定性，还可以用于分析系统的瞬态性能以及稳定性，还可以用于分析系统的瞬态性能以及指出改善系统性能目的的途径。指出改善系统性能目的的途径。 复变函数实际中的幅角原理是奈氏判据的数学根底，幅角原理用于控制系统稳定性的断定还需选择辅助函数和闭合曲线。 1 1、奈氏判据的数学根底、奈氏判据的数学根底 设S为复数变量，F(S)为S的有理分式函数。对于S平面上恣意一点S，经过复变函数F(S)的映射关系，在F(S)平面上可以确定关于S的象。在S平面上任选一条闭合曲线且不经过F(S)的任何零点与极点，S从闭合曲线上任一一点A起，顺时针沿运动一周，再回到A点，那么相应F(S)平面上也从点F(A)起，到F(A)点止

3、构成一条闭合曲线F。假设F(S)在S平面上指定区域内是非奇特的，那么有如图5-39所示的映射关系。1、幅角原理 图5-39 s平面与F(S)平面的映射关系 对于S平面内的恣意一点d，都可以经过F(S)的映射关系在F平面上找到一个相应的点d d是d的像 ；对于S平面上恣意一条不经过F(S)任何零点极点的闭合曲线，也可以经过映射关系在F(S)平面上找到一条与它相对应的曲线F。 设复变量S沿着闭合曲线运动一周，研讨F(S)相角的变化情况。 S平面上的闭合曲线如图5-40所示。复变函数F (s)右零点极点如下图。当闭合曲线上任一点S1沿顺时针方向转动一圈时，其矢量总的相角增量2)()2()2()()(

4、)()()()()(111111ZPPZpspszszspszssFnPjjPjjnZiiZiinjinii图5-40 映射关系 式中，P和Z分别是被闭合曲线包围的特征方程函数F (s)的极点数和零点数。它阐明，当s平面上的实验点s1沿闭合曲线顺时针方向绕行一圈时，F(s)平面上对应的闭合曲线将按逆时针方向包围坐标原点P-Z圈。 幅角原理：设S平面上不经过F(S)任何零极点的某条封锁曲线，它包围了F(S)在S平面的Z个零点和P个极点。当S以顺时针方向沿封锁曲线挪动一周时，那么在F平面上对应于封锁曲线的像F 将以顺时针的方向围绕原点旋转R圈。R与Z、P的关系为： ZPRR0和R0分别表示F顺时针

5、包围和逆时针包围F(s)平面的原点，R0表示不包围F(S)平面的原点。2、复变函数F(S)的选择 如图5-41所示构造图，其开环传送函数为 图5-41 控制系统构造图)()()()()()(1)()()(1)()()()()()(sHsBsAsBsAsBsGsHsGsGssAsBsHsG那么 B(S)+A(S)和A(S)分别为闭环和开环的特征多项式。引入辅助函数 )()()()()(1)()(1)(sAsBsAsAsBsHsGsF辅助函数也可以表示成零极点的方式 )()()()()(2121nnpspspszszszssF 因此，我们可以看出，辅助函数具有如下特征： 1辅助函数F(S)是闭环特

6、征多项式与开环特征多项式之比，故其零点和极点分别为闭环极点和开环极点。 2由于开环传送函数分母多项式的阶次普通大于或等于分子多项式的阶次，故F(S)零点、极点的个数一样，均为n个。 图5-42 F平面与GH平面的关系图 3F(S)与开环传送函数G(S)H(S)之间只差常量1。 F(S)=1+G(S)H(S)的几何意义为：F平面上的坐标原点就是GH平面上的1，j0点，如图5-42所示。 Nyquist轨迹及其映射 为将映射定理与控制系统稳定性的分析联络起来，适中选择s平面的封锁曲线。如图5-43所示，它是由整个虚轴和半径为的右半圆组成，实验点按顺时针方向挪动一圈，该闭合曲线称为Nyquist轨迹

7、。 Nyquist轨迹在F(s)平面上的映射也是一条封锁曲线，称为Nyquist曲线。 图5-43 s平面上的 Nyquist轨迹 Nyquist轨迹由两部分组成，一部分沿虚轴由下而上挪动，实验点s=j在整个虚轴上的挪动，在F 平面上的映射就是曲线F(j) (由+)，如图5-44所示。 F(j)=1+G(j)H(j) Nyquist轨迹的另一部分为s平面上半径为的右半圆，映射到F 平面上为 F ()=1+G ()H ()图5-44 F 平面上的Nyquist曲线 式中，Z位于F (s)平面右半部分的零点数，即闭环右极点个数； P位于F(s)平面右半部分的极点数，即开环右极点个数； RNyqui

8、st曲线包围坐标原点的次数。 闭环系统稳定的条件为系统的闭环极点均在s平面的左半平面，即 Z=0 或 R=P。 根据映射定理可得，s平面上的Nyquist轨迹在F平面上的映射F(j)(从) 包围坐标原点的次数R为 R=PZ 例：分析以下图映射关系3、S平面闭合曲线的选择 系统的闭环稳定性取决于系统闭环传送函数FS零点的位置，因此中选择S平面闭合曲线 包围S平面的右半部分时，Z0系统稳定。思索到闭合曲线不经过F(S)任一零极点的条件， 可取两种方式。见P1944、G(S)H(S)曲线的绘制 知S平面闭合曲线关于实轴对称，故闭合曲线GH也关于实轴对称，因此只需画出正虚轴部分的曲线，得GH的半闭合曲

9、线，仍计为GH。 G(S)H(S)右虚轴上极点和 无虚轴上极点时的特性曲线绘制方法见P195。5、闭合曲线包围原点圈数R的计算 根据半闭合曲线GH可得F包围原点的圈数R。设N为GH穿越1，j0点左侧负实轴的次数，N表示正穿越的次数从上往下穿越，N表示负穿越的次数从下往上穿越，那么)(22NNNR见书P1962、Nyquist稳定判据稳定判据 为了确定辅助函数F(S)位于右半s平面内的一切零点、极点数，现将封锁曲线扩展为整个右平面。曲线由三段所组成： 1正虚轴s=j ：频率由0变到； 2半径为无限大的右半圆 S=Rej:R，： 223负虚轴s=j ：频率由变到0。 这种包含了整个右半s平面的闭合

10、曲线称为Nyquist轨迹，如图5-43所示。 设0型系统的传送函数为 ) 1)(1()()(21sTsTKsHsG 在F平面上绘制与相对应的像F如下：当s沿虚轴变化时 )()(1)(jHjGjF 式中，G(j)H(j)为系统的开环频率特性,因此F由下面几段组成： 1和正虚轴对应的是频率特性G(j)H(j)右移一个单位； 2和半径为无穷大的右半圆相对应的辅助函数F (s) 1； 3和负虚轴相对应的是频率特性对称于实轴的镜像。 图5-44 开环频率特性曲线与它在F平面上的对应曲线 对于包含了整个右半s平面的Nyquist途径来说，Z和P分别为闭环传送函数和开环传送函数在右半s平面上的极点数，而R

11、那么存在两种提法：1F平面上F曲线围绕原点的圈数；2GH平面上极坐标频率特性曲线及其镜像围绕1，j0点的圈数。 利用幅角定理判别闭环系统的稳定性，那么闭环系统稳定的充要条件为F(S)函数在s平面右半部的零点数Z=0即 PR 奈氏判据：假设系统的开环不稳定，即开环传奈氏判据：假设系统的开环不稳定，即开环传送函数送函数G(S)H(S)在右半平面上有极点，其个数为在右半平面上有极点，其个数为P，那么闭环系统稳定的充分必要条件是：在那么闭环系统稳定的充分必要条件是：在GH平面平面上的开环频率特性上的开环频率特性 曲线曲线G(j)H(j)及其镜像当及其镜像当从从变化到变化到时，将以逆时针的方向围绕时，将

12、以逆时针的方向围绕1，j0点点P圈；假设系统开环稳定，即圈；假设系统开环稳定，即P=0，那么闭环系统稳定的充要条件是：在那么闭环系统稳定的充要条件是：在GH平面上的平面上的开环频率特性曲线及其镜像不包围开环频率特性曲线及其镜像不包围1，j0点。点。 利用奈氏判据判别闭环系统不稳定，还可求出该系统在右半s平面上的极点的个数 NPRPZ2例5-7 系统开环传送函数为 ) 1)(1()()(21sTsTKsHsG其幅频特性图如图5-44左所示。试利用Nyquist判据判别闭环系统的稳定性。 解 当三个参数取任何正值时，系统的两个开环极点都是负实数，即S平面右半部分无开环极点，P=0。频率特性及其镜像

13、组成的封锁曲线如图544右所示。可见，当从 时，闭合曲线并未包围1，j0点，故N0。因此闭环系统总是稳定的。我们也可以利用劳斯判据进展断定。 例5-8 设系统开环传送函数为 )52)(2(2 . 5)()(2ssssHsG试利用Nyquist判据判别闭环系统的稳定性。 解 绘出该系统的极坐标频率特性曲线如图5-45所示。 知 0P由图知 ，那么2R2)2(0RPZ 所以按Nyquist判据判别该系统是不稳定的，其闭环系统在右半s平面上的极点数为2。 利用Nyquist判据我们还可以讨论开环传送系数K对闭环系统稳定性的影响。当K值改动时，在任一频率下将引起幅频特性成比例地变化，而相频特性不受影响

14、。对图5-45，当频率3时，曲线与负实轴正好相交在2，j0点，假设传送系数K减少一半，即由5.2降为2.6时，曲线恰好经过1，j0点，这是临界稳定形状；假设K值进一步减少，当K2.6时，频率特性将从1，j0点的右边穿过负实轴，整个频率特性曲线将不再包围1，j0点，这时闭环系统那么是稳定的了。 图5-45 例5-8系统的极坐标图及其镜像例5-9 系统构造图如图5-46所示，试判别系统的稳定性并讨论K值对闭环系统稳定性的影响。 图5-46解：图示系统是一个开环不稳定系统，其开环传送函数在S平面右半部分有一个极点P1，频率特性曲线如图547所示。当 0时，曲线从负实轴K，j0出发；当时，曲线以90渐

15、近角趋于坐标原点；当从变化到，频率特性图中实线部分及其镜像虚线部分包围1，j0点的圈数R与K值有关。 图547绘出了K1 和 K1 时，曲线逆时针包围了1，j0点1圈即R=1闭环系统稳定；当K1 和 K1的频率特性曲线3 3、NyquistNyquist判据在判据在型和型和型系统中的运用型系统中的运用 设系统开环传送函数为 ) 1() 1()()(11sTssKsHsGjvnjvimi为利用Nyquist判据分析型和型系统的稳定性，就需求修正s平面上原点附近的Nyquist途径，使它不经过s=0的开环极点又依然能包围整个右半s平面。方法是增补一个以原点为圆心、半径R为无穷小的右半圆。如图5-4

16、8所示图5-48 修正后的Nyquist途径图5-49 极坐标图及其镜像 例5-10 设某型系统的开环频率特性如图5-49所示。开环传送函数在右半s平面上没有极点，试用Nyquist判据判别系统的稳定性。 解 知P=0，由图可知R=0，那么Z0，闭环系统稳定。 例5-11 某型系统在s右半平面无开环极点，知其开环频率特性如图5-50所示。试判别系统的稳定性。 解 知P=0，由图知R=-2，那么PR，闭环系统不稳定。其位于s右半平面的零点数为 2)2(0RPZ图5-50 例5-11系统的极坐标图及其镜像4 4、在、在BodeBode图上判别闭环系统的稳定性图上判别闭环系统的稳定性 在极坐标图上运

17、用奈氏判据时，1,j0点是个关键点，开环频率特性G(j)H(j) 曲线能否围绕它，怎样围绕它，围绕几圈，掌握这些信息后，就可以判别闭环系统能否稳定。 1，j0点表示成幅角方式是 而A()1对应于对数幅频坐标图上L()0的程度线； 那么对应于对数相频坐标图上180的程度线。其实，极坐标图上的整个负实轴均对应于Bode图上的180程度线。1)(1801A，即180)(180)( 在极坐标图上， G(j)H(j) 曲线每包围1,j0点一次，必然是G(j)H(j) 在A() 1的条件下穿越负实轴(1)区段一次。假设G(j)H(j) 曲线逆时针包围1,j0点一圈，意味着G(j)H(j)曲线在(1)区段有

18、一次正穿越；相反，假设G(j)H(j) 曲线顺时针包围1,j0点一圈，意味着有一次负穿越。这种正负穿越在对数坐标图上的对应关系是：在对数坐标图的L() 0dB的范围内，当添加时，相频特性曲线从下向上穿过180相位线为正穿越，反之为负穿越。 图551绘出了对数坐标图上频率特性曲线的正穿越和负穿越。图5-51 在Bode图上的正负穿越 根据对数坐标图上频率特性的穿越情况，可将Nyquist判据陈说如下：设系统开环传送函数G(s)H(s)在右半s平面上的极点数为P，那么闭环系统稳定的充分必要条件为：在开环对数幅频特性 的一切区段内，当频率添加时对数相频特性 相位线的正负穿越次数之差为 。对于闭环不稳

19、定的系统，其右半s平面上的极点数为 dBL0)(180)(对2P)(2NNPZ例 5-12 某单位反响系统的开环传送函数为 )2 . 01)(02. 01 (160)()(ssssHsG试用Bode图判别其闭环系统能否稳定。 解 开环系统的频率特性为 )2 . 01)(02. 01 (160)()(jjjjHjG 其对数频率特性曲线如图5-52所示。 图5-52 Bode图 知P0，又由图可以得知，在 的频带范围内 dBL0)(2110PNN 故闭环系统不稳定。 5-5 稳定裕度稳定裕度 控制系统稳定与否是绝对稳定性的概念。而对一个稳定的系统而言，还存在一个稳定程度的问题，即相对稳定性。相对稳

20、定性与系统的瞬态呼应目的有着亲密的关系。在设计一个控制系统时，不仅要求它是绝对稳定的，而且还应保证系统具有一定的稳定程度，即具备适当的相对稳定性。只需这样，才干防止因建立数学模型和系统分析计算中的某些简化处置，或参数变化导致系统不稳定。 对于一个开环传送函数中没有虚轴右侧零极点的最小相位系统，G(j)H(j)曲线越接近1，j0点，系统阶跃呼应的振荡就越剧烈，系统的相对稳定性就越差。因此，可用G(j)H(j)曲线对1，j0点的接近程度来表示系统的相对稳定程度。通常，这种接近程度是以相角裕度和幅值裕度来表示的。一、相角裕度一、相角裕度 在在GHGH平面上画一个以原点为圆心的单位圆，如图平面上画一个

21、以原点为圆心的单位圆，如图5 55656。当当 C C时，时， G(j)H(j) G(j)H(j)曲线正好与该单位圆相交，曲线正好与该单位圆相交，即即A ()=1A ()=1。按相角裕度的定义有：。按相角裕度的定义有：)()(180)180()()(ccccjHjGjHjG 相角裕度又叫做相角余量，简称相余量，它是指幅相频率特性G(j)H(j)的 幅值 的向量与负实轴的夹角，常用希腊字母 表示。1)()()(jHjGA 设C为系统的截止频率1)()()(cccjHjGA定义相角裕度为)()(180ccjHjG 由于 ，因此在Bode图中，相角裕度表现为L()=0dB 处的相角 程度线之间的间隔

22、。 01lg20)(lg20)(ccAL180)(与c图553 相角裕度与幅值裕度二、幅值裕度二、幅值裕度 设x为系统的穿越频率， x时G(j)H(j)曲线与负实轴相交，此时特性曲线的幅值为A(x)，如图556。幅值裕度是指1，j0点的幅值与A(x)之比，常用h表示。)()(1)(1jHjGAhx 在对数坐标下，幅值裕度按下式定义： )()(lg20jHjGh 相角裕度表示开环Nyquist图在单位圆上离1，j0点的远近程度。 幅值裕度表示开环Nyquist图在负实轴上离1，j0点的远近程度。 相角裕度的物理意义在于：闭环稳定系统在截止频率 c处假设开环相频特性再滞后一个角度，那么系统处于临界

23、形状；假设开环相频特性滞后大于 ，系统将变成不稳定。 幅值裕度的物理意义在于：闭环稳定系统的开环幅频特性增大h倍，那么 x处的幅值A(x)将等于1，曲线正好经过1，j0点，系统处于临界稳定形状；假设开环幅频特性增大h倍以上，系统将变成不稳定。 对于最小相位系统，欲使系统稳定，就要求相角裕度 0和幅值裕度h1。为保证系统具有一定的相对稳定性，稳定裕度就不能太小。在工程设计中普通取 3060， A(x) 0.5。例5-12 设控制系统如以下图所示，当K=10和K=100时，试求系统的相角裕度和幅值裕度。)5)(1(sssk-)(sR)(sC解：相角裕度和幅值裕度可以从Bode图中求得。dB821当

24、k=10时，开环系统Bode如左所示。这时系统的相角裕度和幅值裕度大约是21度和8dB。因此系统在不稳定之前，增益可以添加8dB.相角裕度和幅值裕度的计算： 相角裕度：先求截止频率c)10(04. 0112| 12 . 0| 1|2 . 0)(22时当 kssskA 在截止频率处， ，所以 解此方程较困难，由于 较小，所以可采用近似解法。1)(cA4)04. 01)(1 (222c25. 1, 112)(2ccccA解得： 截止频率处的相角为：38.1552 . 090)(cccarctgarctg相角裕度为：6 .2438.155180)(180c 幅值裕度：先求穿越频率x在穿越频率x处的相角为：1802 . 090)(xxxarctgarctg902 . 0 xxarctgarctg即：由三角函数关系得：24. 2, 12 . 0 xxx解得：33216. 004. 0112)(22xxxxA所以，幅值裕