圆中的动点问题

1、圆中的动态问题【方法点拨】圆中的动态问题实际是圆的分类讨论问题，做这种题型重要的是如何将动点转化为固定的点，从而将题型变为分类讨论【典型例题】题型一：圆中的折叠问题例题一(2012江西南昌12分)已知，纸片O。的半径为2,如图1,沿弦AB折叠操作.(1) 折叠后的AB所在圆的圆心为0时，求0A的长度； 如图2,当折叠后的AB经过圆心为0时，求AOB的长度； 如图3,当弦AB=2时，求圆心0到弦AB的距离；(2)在图1中，再将纸片O0沿弦CD折叠操作.如图4,当AB/CD,折叠后的AB与CD所在圆外切于点P时，设点0到弦AB.CD的距离之和为d,求d的值；如图5,当AB与CD不平行，折叠后的AB

2、与CD所在圆外切于点P时，设点M为AB的中点，点N为CD的中点,31SC、图5【答案】解(1)折叠后的AB所在圆0与O0是等圆，？?？0A=0A=2。当AB经过圆0时，折叠后的AB所在圆0在O0上，如图2所示，连接0A.0A.0B,0B,00。?/A0B=/?00A,00B为等边三角形,A00+/B00=60°+60°=120°。图?A0B的长度120二2_4二180"3。如图3所示，连接0A,0B,?/0A=0B=AB=2,?A0B为等边三角过点0作0E±AB于点E,.0E=0A?sin60°二”3如图4,当折叠后的AB与CD所在圆

3、外切于点P时,过点0作EF，AB交AB于点H、交AEB于点E,交CD于点G、交CD于点F,即点E、H、P、0、G、F在直径EF上。?/AB/CD,?EF垂直平分AB和CD。11根据垂径定理及折叠，可知PH=_PE,PG=PFo22又？?？EF=4,.点0到AB.CD的距离之和d为：111d=PH+PG=PE+PF=(PE+PF)=2。222如图5,当AB与CD不平行时，四边形是0MPN平行四边形。证明如下设0',0为APB和CPD所在圆的圆心，?点0与点0关于AB对称，点0于点0关于CD对称,?点M为的00中点，点N为00的中点。?浙叠后的APB与CPD所在圆外切，?连心线00必过切点

4、P。?浙叠后的APB与CPD所在圆与O0是等圆,11?0P=0P=2,?PM=00=N,PN=00'0M,22?四边形0MPN是平行四边形。【考点】翻折变换(折叠问题)相切两圆的性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定，垂径定理，弧长的计算，解直角三角形，三角形中位线定理。【分析】(1)折叠后的AB所在圆0与O0是等圆，可得0A的长度。如图2,过点0作0E，AB交O0于点E,连接0A.0B.AE、BE,可得0AE、0BE为等边三角形，从而得到A0B的圆心角，再根据弧长公式计算即可。如图3,连接0A.0B,过点0'作0E±AB于点E,可得A0B为等边三角形，根据三

5、角函数的知识可求折叠后求A0B所在圆的圆心0到弦AB的距离。(2)如图4,AEB与CFD所在圆外切于点P时，过点0作EF，AB交AEB于于点E,交CFD于点F,根据垂径定理及折叠，可求点0到AB.CD的距离之和。由三角形中位线定理，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得证。BDC变式一如图是一圆形纸片，AB是直径，BC是弦，将纸片沿弦BC折叠后，劣弧BC与AB交于点D,得到(1)若BD=CD求证:BDC必经过圆心O(2)若AB=8,BD-2CD求BC的长.1变式二如图，ABC内接于OO,AD±BC,0E±BC(2),OE=2BC.求/BAC的度数；将公ACD沿AC折

6、叠为ACF,将公ABD沿AB折叠为ABG,延长FC和GB相交于点H;求证：四边形AFHG是正方形；(3)若BD=6,CD=4,求AD的长.题型二：圆中的旋转问题例题二(2011湖南常德，25.10分)已知ABC分别以AC和BC为直径作半圆0"0,P是AB的中点。如图8,若公ABC是等腰三角形，且AC=BC在AC、BC上分别取点E、F,使NAOiBOzF,则有结论POwFO2P.四边形PO1CO2是菱形。请给出结论的证明;1)中的两个结论还成立吗？若成立，请给出证明(2)如图9,若(1)中公ABC是任意三角形，其它条件不变，则(3)如图10,若PC是OOi的切线，求证：AB2工BC23

7、AC2A（1 ） T BC是0 02直径，则02是BC的中点又 P是AB的中点.，1P 02是A ABC的中位线二 P 02 = 2 AC1又AC是O01直径？P02=01C=2AC1同理P01=02C=2BC?/AC=BC?P02=01C=P01=02C?四边形P°1C02是菱形(2)结论P01EAAP02F成立，结论不成立证明：在(1)中已证P02=2AC,又01E=2AC?P02=01E同理可得P01=02F?/P02>aABC的中位线?P02/ACP02B=ZACB同理 / P 01A=ZACB即 / P 01E =/ F 02 P、P02B= Z P 01A v/ A

8、01E = Z B02F E01PA A P02F;P 01A+Z A01E = ZP02BVB02F又PC是O01的切线，则/ ACP= 90（3）延长AC交O02于点D,连接BD.?/BC是002的直径，则/D=90?/ACP=/D又/PAC=/BAD?APSABAD又P是AB的中点ACAP1AD一AB2?AC=CD2222?在RtABCD中，BC=CD+BD=AC2+BD222在RtAABD中，AB=ADBDAB2=4AC2BD2二AC2BD23AC2222?AB二BC3AC评析：要证一个四边形是菱形，可证它的四条边相等，也可证明它是有一组邻边相等的平行四边形或对角线互相垂直的平行四边形

9、；要证两三角形全等，可通过SSSSASASA或AAS来加以判断；当待证式中出现多个平方的形式时，应首先考虑勾股定理及等量代换.变式一阅读下列材料，然后解答问题。经过正四边形（即正方形）各顶点的圆叫作这个正四边形的外接圆。圆心是正四边形的对称中心，这个正四边形叫作这个圆的内接正四边形。如图（十三），已知正四边形ABCD的外接圆O0,00的面积为S1,正四边形ABCD的面积为S2,以圆心0为顶点作/M0N使/M0N=90，将/M0N绕点0旋转，0M、0N分别与O0相交于点E、F,分别与正四边形ABCD的边相交于点G、H。设0E、0F、EF及正四边形ABCD的边围成的图形（图中阴影部分）的面积为S（

10、1）当0M经过点A时（如图），贝US、S2之间的关系为：S=（用含S2的代数式表示）；(2) 当0M，AB时(如图)，点G为垂足，则(1)中的结论仍然成立吗？请说明理由(3)当ZMON旋转到任意位置时(如图，)则(1)中的结论仍然成立吗？请说明理由【答案】解：(1)24(2)成立。理由：连OB,可证图中的两个阴影部分的面积之和等于图的阴影部分的面积(3)成立。过点O分别作ABBC的垂线交ABBC于点PQ,交圆于点X、Y,可证直角三角形OPG全等于直角三角形OQH可说明两阴影部分面积之和等于图的阴影部分面积.变式二(2012?杭州)如图，AE切O。于点E,AT交O。于点M,N,线段OE交AT于点

11、C,OB，AT于点B,已知ZEAT=30°AE=八3,MN=2V八?(1)求/COB的度数；(2)求0O的半径R；用(3)点F在OO上一是劣弧)，且EF=5,把OBC经过平移、/八、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E,F重合.在EF的J7同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在OO上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，弁求出这个三角形与公OBC的周长之比.J考点：切线的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理；垂径定理；平移的性质；旋转的性质；相-一一似三角形的判定与性质。专题：计算题。分析：(1)由AE与圆O相切，根据切线的性质得到AE与CE垂直，又OB与A

12、T垂直，可得出两直角相等，再由一对对顶角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形AEC与三角形OBC相似，根据相似三角形的对应角相等可得出所求的角与ZA相等，由ZA的度数即可求出所求角的度数；(2)在直角三角形AEC中，由AE及tanA的值，利用锐角三角函数定义求出CE的长，再由OB垂直于MN,由垂径定理得到B为MN的中点，根据MN的长求出MB的长，在直角三角形OBM中，由半径OM=R,及MB的长，利用勾股定理表示出OB的长，在直角三角形OBC中，由表示出OB及cos30°的值，利用锐角三角函数定义表示出OC,用OE-OC=EC列出关于R的方程，求出方程的解得到半径R的值；

13、(3) 把公OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E,F重合.在EF的同一侧，这样的三角形共有6个，如图所示，每小图2个，顶点在圆上的三角形，延长EO与圆交于点D,连接DF,由第二问求出半径，的长直径ED的长，根据ED为直径，利用直径所对的圆周角为直角，得到三角形EFD为直角三角形，由ZFDE为300利用锐角三角函数定义求出DF的长，表示出三角形EFD的周长，再由第二问求出的三角形OBC的三边表示出三角形BOC的周长，即可求出两三角形的周长之比.解答：解：(1)?AE切OO于点E,?AE±CE,又OB±AT,?ZAEC=ZCBO=90°又ZBCO

14、=ZACE,?AECOBC,又ZA=30?ZCOB=ZA=30°(2)vAE=3二,ZA=30°?在RtAAEC中,tanA=tan30AE即EC=AEtan30°3,?/OB±MN,?B为MN的中点，又MN=2RMB=MN=",2连接OM,在'MOB中,OM=R,MB=",在公COB中,/BOC=30/cos/BOC=cos30°-一=J_,?BO='OC,2OC22L OC+EC=OM=R整理得：R+18R - 115=0,即(R+23)(R-5)=0,解得：R= - 23 （舍去）或R=5,则 R=5;

15、（3）在EF同一侧， COB经过平移、旋转和相似变换后，这样的三角形有 如图，每小图2个，顶点在圆上的三角形，如图所示：6个,延长EO交圆O于点D,连接DF,如图所示,?/EF=5,直径ED=10,可得出/FDE=30?FD=5:,则Caefd=5+10+5'=15+5",由（2）可得04cob=3+W3,二Caefd:Cacob=（15+5逅）：（3+丘）=5:1.30°直角三角形的性质，平移及点评：此题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，含旋转的性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握定理及性质是解本题的关键题型三：圆中的动点例题三（201

16、2江苏南京10分）如图，A、B为OO上的两个定点，P是OO上的动点位不与人、B重合），我们称/APB为OO上关于A、B的滑动角。（1）已知/APB是LO上关于点A、B的滑动角。若AB为OO的直径，则/APB=若OO半径为1,AB=.2,求/APB的度数（2）已知。2为L01外一点，以02为圆心作一个圆与L01相交于A、B两点，/APB为LO1AN,试探索/ APB上关于点A、B的滑动角，直线PA、PB分别交L02于点M、N（点M与点A、点N与点B均不重合），连接与/MAN、/ANB之间的数量关系【答案】解:(1)90。如图，连接AB、OA、OB.之间,如图之间,如图之间,如图在公 AOB 中，

17、TOA=OB=1 . AB= 2 , ? OA2+OB2=AB2。?/ AOB=90当点P在优弧 AB上时(如图1) , / APB= 1 / AOB=452当点P在劣弧AB上时(如图2),1/ APB= ( 360 / AOB) =1352(2)根据点P在O Oi上的位置分为以下四种情况.第一种情况：点 P在O O2夕卜，且点A在点P与点M之间，点B在点P与点?/ MAN = ZAPB+ / ANB ,?/ APB= / MAN-/ ANB。第二种情况：点 P在O。2外，且点A在点P与点M之间，点N在点P与点?/ MAN=?/ APB=第三种情况:?/ APB+ / APB+ / ANP=

18、/ APB+ ( 180 / ANB),/ MAN + / ANB 180°点 P在O 02外，且点M在点P与点A之间，点B在点P与点ANB+ / MAN=180?/ APB=180 / MAN / ANB。第四种情况：点 P在O02内，如图6,/ APB=/ MAN+ / ANB。圆周角定理，勾股定理逆定理，三角形内角和定理和外角性质。(1 根据直径所对的圆周角等于90° 即可得 / APB=90 0oOAB上两种情况讨论即可。根据勾股定理的逆定理可得/AOB=90 ,再分点P在优弧AB上；点P在劣弧(2)根据点P在OOi上的位置分为四种情况得到/APB与/MAN、/AN

19、B之间的数量关系。变式一如图12-1所示，在ABC中，AB=AC=2，/A=90,O为BC的中点，动点E在BA边上自由移动,动点F在AC边上自由移动.(1)点E,F的移动过程中，AOEF是否能成为/EOF=45的等腰三角形？若能，请指出AOEF为等腰三角形时动点E,F的位置.若不能，请说明理由.(2)当/ EOF =45 时，设 BEx , CFy,求y与x之间的函数解析式，写出 x的取值范围.明你的结论.解：如图,A1B(图 12- 1)(1)点E,F移动的过程中，AOEF能成为.EOF=45的等腰三角形.此时点EF的位置分别是：,E是BA的中点，F与A重合.BE二CF=、.2.E与A重合，

20、F是AC的中点(2)在公OEB和公FOC中，NEOB+NFOC=135,AEOB+NOEB=135BEBO?FOC二OEB.又T?B=C,OEBFOC.?COCFTBE二x,CF=y,OB=OC=1-23,当点P运动到CPLAB时，求/ BCD的度数.2212,?八-(1<x<2).2x(3)EF与LO相切.？?OEBFOC,二匹二匹.？匹二匹.即COOFBOOFBEBOOE又TNB=NEOF=45,?BEOOEF.?NBEO=NOEF.?点O到AB和EF的距离相等.TAB与LO相切，？?点O到EF的距离等于LO的半径.二EF与LIO相切.1变式1如图，在O过0上位于直径AB的异侧

21、有定点C和动点P,AC=2AB,点P在半圆弧AB上运动(不与AB两点重PB的垂线一点如防便遭线CD交PB于D点.合)，=1不求证：PCDAABC一、如图一，一，一.图(1)P运动到什么位置时，PCDAABC?请在图2中国出PCD弁说明理由；【课后练习】1、（2012?湘潭）如图，在OO上位于直径AB的异侧有定点C和动点P,AC=AB,点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合），过点C作直线PB的垂线CD交PB于D点.P图1图2(1)如图1,求证：PCDABC;PCD弁说明理由;（2）当点P运动到什么位置时，PCDABC?请在图2中画出如图3,当点P运动到CP±AB时，求/BCD的度

22、数.考点：圆周角定理；全等三角形的性质；垂径定理；相似三角形的判定。专题：几何综合题。分析：（1）由AB是OO的直径，根据直径对的圆周角是直角，即可得/ACB=90°又由PD±CD，可得/D=/ACB,又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得/A=/P,根据有两角对应相等的三角形相似，即可判定：PCDABC;（2）由公PCDABC,可知当PC=AB时，PCDABC,利用相似比等于1的相似三角形全等即可求得；（3）由/ACB=90AC=AB,可求得/ABC的度数，然后利用相似，即可得/PCD的度数，又由垂径定理，求得：=-1，然后利用圆周角定理求得/ACP的度数，继而求得答案.解答：（1）证明：TAB是OO的直径，？?/ACB=90°?/PD±CD,?/D=90°D=/ACB,?/A与/P是对的圆周角，A=/P,.APCDsAABC;(2)解：