圆的切点弦方程的九种求法

1、圆的切点弦方程的解法探究在理解概念熟记公式的基础上，如何正确地多角度观察、分析问题，再运用所学知识解决问题，是解题的关键所在。本文仅通过一个例题，圆的部分的基本题型之一，分别从不同角度进行观察，用不同的知识点和九种不同的解法，以达到介绍如何观察、分析、解决关于圆的切点弦的问题。一、预备知识：1、在标准方程(xa)2(yb)2为：(x0a)(xa)(y0b)(yb)2r2下过圆上一点P(x°,y°)的切线方程r2在一般方程x2y2DxP(x0,y°)的切线方程为:xxx0yy0Eyx04F0)下过圆上2、2y两相交圆x2D2XE2y方程为：(D1D2)x过圆x2yF

2、2(E122D1xE1y0(D22E2)y(F1DxEyFFiE22F2)04F20(D，0)o2E22Ei4Fi0)与的公共弦所在的直线4F0)外一点P(x1,y1)作圆的切线，4、过圆x2y2P(x1,y1)作圆的切线,(xia)(xa)(y1xxx1yy1d其切线长公式为：DxEyF2-|PA|xi0(D2E22y1Dx1Ey1F。4F0)外一点切点弦AB所在直线的方程为：2.b)(yb)r(在圆的标准万程下的形式)x1E1一y.1F0(在圆的一般方程下的形式)-22、题目已知圆x2y22x4y40外一点P(-4,-1),过点P作圆的切线PAPB,求过切点A、B的直线方程。三、解法解法一

3、：用判别式法求切线的斜率如图示1,设要求的切线的斜率为-1)即的切线方程为：y(kxy4k1kxy4k11)0kxk(当切线的斜率存在时)，那么过点P(-4,(4)(1令22xyk2)x2(8k(8k2'2x4y消去y并整理得6k解得k0或k6k2)x2)24(1158_2-(16k24kk2)(16k21)24k01)15将k0或k一分别代入解得x1、82817从而可得A(28,58)、B(1,-1),再根据两点式方程得直线AB的方程为：5x3y20。解法二：用圆心到切线的距离等于圆的半径求切线的斜率如图示1,设要求的切线的斜率为-1 )的切线方程为：y即由圆心解得kx y 4k 1

4、C(1,2)到切线kx|k?1 2 4k,k2 ( 1)2k 0 或 k (1) kx 0y 4k 1U 3k (当切线的斜率存在时)(4)0的距离等于圆的半径3,那么过点P (-4,8所以切线PA PB的方程分别为：15x8y 52 0 和 y 1从而可得切点 A( 28,丝)、B(1,-1)再根据两点式方程得直线AB的方程为:解法三：用夹角公式求切线的斜率 如图示1,设要求的切线的斜率为5x 3y 2 0。k ,根据已知条件可得|PC|=1 ( 4)2 2(1)2V34 , r 3kPC1)1 ( 4)在 Rt PAC 中，|PA|二5tg CPA由夹角公式，得解得 k所以切线PA从而可得

5、切点13kI 5 IcT I 150或k 8PB的方程分别为:A(竺,竺)、17 1715x 8y 52B(1,-1)，再根据两点式方程得直线 AB的方程为：5x 3y2 0。2 ( 1)1 ( 4)PH 25HC 9解法四：用定比分点坐标公式求切点弦与连心线的交点如图示1,根据已知条件可得|PC|=并(4)22(1)2图，r3,kPC在RtPAC中，|PA|=5,AHPC,从而可得由定比分点公式，得11H(又因为kAB341kpc,41)3453再根据点斜式方程得直线AB的方程为：5x3y20。解法五：将切点弦转化为两相交圆的公共弦的问题之一如图示2,因为|PA|=|PB|,所以直线AB就是

6、经过以P为圆心|PA|为半径的22圆C'与圆xy2x4y40的交点的直线，由切线长公式得|PA|=7(4)2(1)22?(4)4?(1)45所以圆C'的方程为x2y28x2y80根据两圆的公共弦所在的直线方程，得5x3y20即直线AB的方程为：5x3y20。解法六：将切点弦转化为两相交圆的公共弦的问题之二如图示3,因为PACAPBCB所以P、A、GB四点共圆，根据圆的直径式方程，以P(-4,-1)、C(1,2)为直径端点的圆的方程为x(4)?(x1)y(1)?(y2)0即x2y23xy60根据两圆的公共弦所在的直线方程，得5x3y20即直线AB的方程为：5x3y20。解法七：运

7、用圆的切线公式及直线方程的意义设切点AB的坐标分别为(木,%)、(x2,y2),根据过圆上一点的切线方程,得切线PAPB的方程分别为xx1yy12?-x14-y巴40和22ccXx2,yy2,八xx2yy22?44022因为P(-4,-1)是以上两条切线的交点，将点P的坐标代入并整理，得5X13y1205x23y220由式知，直线5x3y20经过两点A(x1,y1)、B(x2,y2),所以，直线AB的方程为：5x3y20。解法八：直接运用圆的切点弦方程22因为P(-4,-1)是圆xy2x4y40外一点，根据切点弦所在直线的方程xx1yy1D-红E1迎F0得224?x(1)?y2?-44?-4022整理得，直线AB的方程为：5x3y20。解法九：运用参数方程的有关知识22如图4,将圆的普通万程xy2x4y40化为参数方程:x13cos（其中为参数）y23sin设切点A的坐标为(13cos,23sin)，由PACA得(23sin)(D?,23sin)21化简，整理得(13cos)5co