最大公约数法与最小公倍数法解应用题

1、最大公约数法通过计算出儿个数的最大公约数来解题的方法 , 叫做最大公约数法。例 1中班有 42 名学生，乙班有 48 名学生，现在要把这两个班的学生平均分成 假设 干个小组，并且使每个小组都是同一个班的学生。每个小组最多有多少名学生？解: 要使每个小组都是同一个班的学生 , 并且要使每个小组的人数尽可能多，就要求岀 42和 48的最大公约数 : 2X3=6, 42 和 48的最大公约数是 6。答: 每个小组最多能有 6 名学生。例 2 有一张长 150 厘米、宽 60 厘米的长方形纸板， 要把它分割成假设干个面积 最大， 井已面积相等的正方形。能分割成多少个正方形？解：因为分割成的正方形的面积

2、最大 , 并且面积相等，所以正方形的边长应是 150 和 60 的最大公约数。求出 150和 60 的最大公约数 :2X3X5 二 30150和 60的最大公约数是 30,即正方形的边长是 30 厘米。看上面的短除式中 ，150、60 除以 2之后，再除以 3、5,最后的商是 5和 2。这 说 明，当正方形的边长是 30厘米时，长方形的长 150厘米中含有 5个 30厘米，宽 60 厘米 中含有 2个 30厘米。所以 , 这个长方形能分割成正方形 :5X2 二 10个答: 能分割成 10 个正方形。例 3有一个长方体的方木，长是 3. 25米，宽是 1. 75米，厚是 0. 75米。如果将 这

3、 块方木截成体积相等的小正方体木块 , 并使每个小正方体木块尽可能大。小木块 的棱长 是多少 ?可以截成多少块这样的小木块？解：3. 25米二 325厘米，1. 75米二 175厘米, 0. 75米二 73厘米，此题实际是求 325、 175和 75 的最大公约数。 5X5 二 25325、175和 75的最大公约数是 25,即小正方体木块的棱长是 25厘米。因为 75、175、325除以 5得商 15、35、63,15、33、65再除以 5,最后的商 是 3、7、 13,而小正方体木块的棱长是 25厘米，所以，在 75厘米中包含 3个 25厘 米,在 175厘米 中包含 7个 25厘米，在

4、325厘米中包含 13个 25厘米。可以截成棱长是 25厘米的小木块 :3X7X13 二 273块答: 小正方体木块的棱长是 25 厘米，可以截成这样大的正方体 273块。例 4 有三根绳子，第一根长 45 米，第二根长 60 米，第三根长 75 米。现在要把 三 根长绳截成长度相等的小段。每段最长是多少米 ?一共可以截成多少段？适于六年级程度解 : 此题实际是求三条绳子长度的最大公约数。 3X5=1545、60 和 75的最大公约数是 15,即每一小段绳子最长 15米。因为短除式中最后的商是 3、 4、 5,所以在把绳子截成 15 米这么长时 ,45 米长 的绳 子可以截成 3段, 60米长

5、的绳子可以截成 4段, 75米长的绳子可以截成 5段。 所以有：3+4+5=12 段答 : 每段最长 15 米, 一共可以截成 12 段。例 5 某校有男生 234 人，女生 146 人 , 把男、女生分别分成人数相等的假设干组后，男、女生各剩 3 人。要使组数最少，每组应是多少人 ?能分成多少组？适于六年 级程 度解: 因为男、女生各剩 3人, 所以进入各组的男、女生的人数分别是：要使组数最少，每一组的人数应当是最多的，即每一组的人数应当是231 人和 143人的最大公约数。 231、143 的最大公约数是 11,即每一组是 11人。因为 231、 143除以 11时，商是 21和 13,所

6、以男生可以分为 21组，女生可以 分为13 组。 21+13=34组答: 每一组应是 11人, 能分成 34组。例 6把 330 个红玻璃球和 360个绿玻璃球分别装在小盒子里 ,要使每一个盒 里玻璃 球的个数相同且装得最多。一共要装多少个小盒？适于六年级程度解: 求一共可以装多少个盒子，要知道红、绿各装多少盒。要将红、绿分别装在盒子中，且每个盒子里球的个数相同，装的最多，那么每盒球的个数必定是 330和 360 的最 大公约数。 2X3X5 二 30330和 360的最大公约数是 30,即每盒装 30 个球。3304-30=11盒 . 红球装 11 盒3604-30=12盒 . 绿球装 12

7、 盒11+12=23盒 共装 23 盒答略。例 7 个数除 40 缺乏 2,除 68 也缺乏 2。这个数最大是多少？适于六年级程度解：“一个数除 40缺乏 2,除 68也缺乏 2的意思是 :40被这个数除，不能整除， 要是在 40之上加上 2,才能被这个数整除 ; 68被这个数除，也不能整除，要是在 68之 上加上 2,才能被这个数整除。看来，能被这个数整除的数是： 40+2=42, 68+2二 70。这个数是 42和 70的公约数 , 而 且是最大的公约数。 2X7 二 14答: 这个数最大是 14o例 8 李明昨天卖了三筐白菜，每筐白菜的重量都是整千克。第一筐卖了 1.04 元，第 二筐卖

8、了 1. 95元，第三筐卖了 2. 34元。每 1千克白菜的价钱都是按当地市场 规定的价 格卖的。问三筐白菜各是多少千克？解: 三筐白菜的钱数分别是 104分、 195分、 234分，每千克白菜的价钱一定是 这三 个数的公约数。把 104、195、234 分别分解质因数 :104=23X13195=3X5X13234=2X32X13104、195、 234最大的公有的质因数是 13,所以 104、195、234的最大公约数 是 13, 即每千克白菜的价钱是 0. 13 元。1.044-0. 13=8千克 . 第 一筐1.954-0. 13=15千克 第二筐2. 344-0. 13=18千克 第

9、 三筐答:第一、二、三筐白菜的重量分别是 8千克、 15千克、 18千克。例 9 一个两位数除 472, 余数是 17。这个两位数是多少 ?解：因为这个“两位数除 472,余数是 17，所以, 472-17=455,455 一定能被这 个两位 数整除。455的约数有 1、5、7、13、35、65、91和 455,这些约数中 33、 63和 91大 于 17, 并且是两位数，所以这个两位数可以是 35或 63,也可以是 91o答略。例 10 把图 32-1 的铁板用点焊的方式焊在一个大的铁制部件上，要使每个角 必须有 一个焊点，并且各边焊点间的距离相等。最少要焊多少个点？单位: 厘米解: 要求焊

10、点最少 ,焊点间距就要最大 ;要求每个角有一个焊点，焊点间距离相等，焊点间距离就应是 42厘米、 24厘米、 18厘米、 36厘米的最大公约数。 2X3=6 它们的最大 公约数是 6,即焊点间距离为 6厘米。焊点数为 :7+4+3+6 二 20个按这个算法每个角上的焊点是两个，因为要求每一个角上要有一个焊点 , 所以, 要从 20个焊点中减 4个焊点。 20-4=16个答略。最小公倍数法通过汁算出儿个数的最小公倍数，从而解答出问题的解题方法叫做最小公倍数 法。例 1用长 36厘米，宽 24厘米的长方形瓷砖铺一个正方形地面 , 最少需要多少 块瓷 砖？解：因为求这个正方形地面所需要的长方形瓷砖最

11、少，所以正方形的边长应是36、24 的最小公倍数。 2X2X3X3X2=7236、24的最小公倍数是 72,即正方形的边长是 72 厘米。72 36 二 272 宁 24 二 32 X 3=6 块答: 最少需要 6块瓷砖。水例 2 王光用长 6 厘米、宽 4 厘米、高 3 厘米的长方体木块拼最小的正方体 模型。 这个正方体模型的体积是多大 ?用多少块上面那样的长方体木块？解:此题应先求正方体模型的棱长，这个棱长就是6、4和 3的最小公倍数。2X3X2=126、4和 3 的最小公倍数是 12,即正方体模型的棱长是 12厘米。 正方体模型的体积为： 12 X 12 X 12=1728 立方厘米 长

12、方体木块的块数是 :17284-6X4X3 =17284-72=24 块 答略。例 3有一个缺乏 50人的班级，每 12人分为一组余 1人，每 16人分为一组也 余 1人。 这个班级有多少人？解: 这个班的学生每 12人分为一组余 1人，每 16人分为一组也余 1人, 这说明 这个 班的人数比 12与 16的公倍数 50以内多 1人。所以先求 12与 16的最小公 倍数。2X2X3X4=4812 与 16的最小公倍数是 48。48+1 二 49人4950,正好符合题中全班缺乏 50人的要求。答: 这个班有 49人。例 4 某公共汽车站有三条线路通往不同的地方。笫一条线路每隔 8 分钟发一 次车

13、 ;笫二条线路每隔 10分钟发一次车 ; 第三条线路每隔 12分钟发一次车。三条线 路的汽车在同一时间发车以后，至少再经过多少分钟乂在同一时间发车？适于六年级程度解 : 求三条线路的汽车在同一时间发车以后，至少再经过多少分钟乂在同一 时间发车，就是要 求出三条线路汽车发车时间间隔的最小公倍数，即8、10、12 的最 小公倍数。2X2X2X5X3=120答: 至少经过 120 分钟乂在同一时间发车。例5有一筐鸡蛋 ,4个 4个地数余 2个,5个5个地数余 3个,6个 6个地数余 4个。这 筐鸡蛋最少有多少个？解: 从题中的条件可以看出 . 不管是 4个 4个地数，还是 5个 5个地数、 6 个

14、6 个 地数，筐中的鸡蛋数都是只差 2个就正好是能被 4、5、6 整除的数。因为要 求这筐鸡蛋 最少是多少个，所以求出 4、5、6 的最小公倍数后再减去 2,就得到鸡蛋 的个数。2X2X5X3=604 、5、6 的最小公倍数是 60。60-2=58个答: 这筐鸡蛋最少有 58个。水例 6文化路小学举行了一次智力竞赛。参加竞赛的人中 ,平均每 15人有 3 个人得 一等奖，每 8人有 2个人得二等奖，每 12 人有 4个人得三等奖。参加这次竞 赛的共有 94 人得奖。求有多少人参加了这次竞赛 ?得一、二、三等奖的各有多少人 ?解：15、8和 12的最小公倍数是 120,参加这次竞赛的人数是 12

15、0人。得一等奖的人数是 ： 3X 1204-15=24 人得二等奖的人数是 ：2X 1204-8 =30人得三等奖的人数是 :4X 1204-12=40人答略。*例 7有一个电子钟， 每到整点响一次铃， 每走 9 分钟亮一次灯。 中午 12点整 时， 电子钟既响铃乂亮灯。求下一次既响铃乂亮灯是儿点钟？解: 每到整点响一次铃，就是每到 60分钟响一次铃。求间隔多长时间后，电子钟既响铃乂亮灯 , 就是求 60与 9 的最小公倍数。60与 9的最小公倍数是 180o 180*60=3小时由于是中午 12点时既响铃乂亮灯， 所以下一次既响铃乂亮灯是下午 3点钟。答略。*例 8 一个植树小组原方案在 9

16、6米长的一段土地上每隔 4米栽一棵树，并且 已经 挖好坑。后来改为每隔 6 米栽一棵树。求重新挖树坑时可以少挖儿个？解: 这一段地全长 96米，从一端每隔 4 米挖一个坑，一共要挖树 坑:96宁 4+1二 25个后来，改为每隔 6米栽一棵树，原来挖的坑有的正好赶在 6米 一 棵的坑位上， 可不重新挖。 由于 4 和 6 的最小公倍数是 12,所以从第一个坑开始， 每 隔 12 米的那个坑不必挖。964-12+1=9个96米中有 8个 12米，有 8个坑是已挖好的，再加上已挖好的第一个坑，一共有 9 个坑不必重新挖。答略。例 9 一项工程，甲队单独做需要 18天，乙队单独做需要 24天。两队合作

17、 8天 后， 余下的工程由甲队单独做，甲队还要做儿天？解：由 18、 24的最小公倍数是 72,可把全工程分为 72 等份。72 4-18=4 份 是甲一天做的份数724-24=3 份 是乙一天做的份数4+3 X8 二 56份 两队 8 天合作的份数72-56=16 份 余下工程的份数164-4=4天 甲还要做的天数答略。*例 10甲、乙两个码头之间的水路长 234千米,某船从甲码头到乙码头需要 9 小时， 从乙码头返回甲码头需要 13 小时。求此船在静水中的速度？解:9、13的最小公倍数是 117,可以把两码头之间的水路 234千米分成 117 等 份。每一份是 :234+117 二 2千米静水中船的速度占总份数的： 13+9 4-2=11 份船在静水中每小时行 :2 X 11二 22 千米答略。*例 11王勇从山脚下登上山顶，再按原路返回。他上山的速度为每小时3 千 米,下山的速度为每小时 5 千米。他上、下山的平均速度是每小时多少千米？适于 六年级 程度解 :设山脚到山顶的距离为 3与 5的最小公倍数。 3X5 二 13千米上山用 ：154-3=5 小时下山用 : 15