高中数学1.2.2组合教案新人教A版选修2-3

1、11. 2. 2 组合教学目标：知识与技能：理解组合的意义，能写出一些简单问题的所有组合。明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题。过程与方法：了解组合数的意义，理解排列数.-.m 与组合数|cnm之间的联系，掌握组合数公 式，能运用组合数公式进行计算。情感、态度与价值观：能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力。教学重点：组合的概念和组合数公式.教学难点：组合的概念和组合数公式.授课类型：新授课.教 具：多媒体、实物投影仪+第一课时一、复习引入：1 分类加法计数原理： 做一件事情，完成它可以有 n 类办法，在第一类办法中有 种 不同的方法，在第二类办法中有

2、m2种不同的方法，在第 n 类办法中有mn种不同的 方法+那么完成这件事共有N=叶 m2、III mn种不同的方法.2.分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m“种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，做第 n 步有mn种不同的方法，那么完成这 件事有N二mim2 I mn种不同的方法.3排列的概念： 从n个不同元素中，任取m(mn)个元素(这里的被取元素各不 相同)按照一定的顺序.排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列*4.排列数的定义： 从n个不同元素中，任取m(m_n)个元素的所有排列的个数叫 做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号Am表示.

3、5排列数公式：A：=n(n T)(n -2川|(n -m i)(m,n N ,m(n,m N ,且mn)”An5例 5.设x- N ,求Cjl的值+解：由题意可得： /xBAx1，解得2Wx兰4, 、x +1 H2x 3x N,x =2或x=3或x =4,当x = 2时原式值为 7；当X = 3时原式值为 7；当X = 4时原式值为所求值为 4 或 7 或 11 .m 1n -mn!(m 1)!( n - m -1)!m 1n!(m 1)! (n -m)(n - m -1)!n!m!(n _m)!m 1n -mCnm111 .6第三课时例 6. 一位教练的足球队共有17 名初级学员，他们中以前

4、没有一人参加过比赛按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11 人问：(1) 这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种学员上场方案？(2) 如果在选出 11 名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式 做这件事情？分析：对于(1)，根据题意，17 名学员没有角色差异，地位完全一样，因此这是一个 从 17 个不同元素中选出 11 个元素的组合问题；对于(2 ),守门员的位置是特殊的，其 余上场学员的地位没有差异，因此这是一个分步完成的组合问题.解：(1 )由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案有C 手=12 376(种).(2 )教练员可以分两步完成这件事情

5、：11第 1 步，从 17 名学员中选出 n 人组成上场小组，共有 Cn种选法；第 2 步，从选出的 n 人中选出 1 名守门员，共有C种选法.所以教练员做这件事情的方法数有11 1C17C11=136136 (种).例 7. (1)平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端点的线段共有多少条？(2 )平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端点的有向线段共有多少条？解：(1 )以平面内 10 个点中每 2 个点为端点的线段的条数，就是从 10 个不同的元素中取出 2 个元素的组合数，即线段共有点为端点的有向线段的条数，就是从10 个不同元素中取出 2 个元素的排列数，即有向线段共有2A1

6、0= 1 =90（条）例 8.在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品.从这 100 件产品中任意抽出 3 件(1 )有多少种不同的抽法？(2 )抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？(3 )抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？解：(1 )所求的不同抽法的种数，就是从100 件产品中取出 3 件的组合数，所以共有(2 )从 2 件次品中抽出 1 件次品的抽法有C2种，从 98品的抽法有C98种，因此抽出的 3 件中恰好有 1 件次品的抽法有21010 91 2=45（条）(2 )由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点，以平面内 10 个点中每

7、 2 个3100100 99 981 2 3=161700（种）件合格品中抽出 2 件合格71 2 ,C2C98=9506（种）.（3）解法 1 从 100 件产品抽出的 3 件中至少有 1 件是次品，包括有 1 件次品和有 2 件次品两种情况.在第（2）小题中已求得其中 i 件是次品的抽法有c；c9；种，因此根据分 类加法计数原理，抽出的3 件中至少有一件是次品的抽法有12 2 1C2C98+C2C98=9 604（种）解法 2 抽出的 3 件产品中至少有 1 件是次品的抽法的种数， 也就是从 100 件中抽出 3 件的抽法种数减去 3 件中都是合格品的抽法的种数，即33C100-C98=1

8、61 700-152 096 = 9 604（种）.说明：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解。变式：按下列条件，从 12 人中选出 5 人，有多少种不同选法？（1）甲、乙、丙三人必须当选；（2 ）甲、乙、丙三人不能当选；（3）甲必须当选，乙、丙不能当选；（4 ）甲、乙、丙三人只有一人当选；（5）甲、乙、丙三人至多 2 人当选；（6）甲、乙、丙三人至少 1 人当选；例 9. （1） 6 本不同的书分给甲、 乙、丙 3 同学，每人各得 2 本，有多少种不同的分法？解：C2c：C；=90.（2）从 5 个男生和 4 个女生中选出 4 名学生参加一次会议，要求至少有2 名男生和 1名女生

9、参加，有多少种选法？解：问题可以分成 2 类：第一类 2 名男生和 2 名女生参加，有C；C：=60中选法；31第二类 3 名男生和 1 名女生参加，有C5C4=40中选法.依据分类计数原理，共有 100 种选法”错解：Clc：。；=240种选法*引导学生用直接法检验，可知重复的很多*例 10. 4 名男生和 6 名女生组成至少有 1 个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方 法共有多少种？解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3 男，2 男 1 女，1 男 2 女，分别有c3 ,C4 c6,de；,所以，一共有c：+c；c6+c4c6= 100 种方法.解法二：（间接法）c130-cf?-

10、100*8第四课时组合数的性质 i:cm.一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下n_m个元素因为从n个不同元 素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n -m个元素的每一个组合 对应 ，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出n_m个元素的组合数，即：cm二c；在这里，主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想.n _mn!n!Cn(n -m)!n-(n-m)!m!(n-m)!又cm，二cm =cr.m!(n _m)!说明：规定：c =1；2等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标；3此性质作用：当m时，计算cm可变为计算，能够使运算简化220012002

11、_20011例如C2002=C2002=C2002=2002；C；二cj= X二y或x y二n.2.组合数的性质 2：cn=crm+crmd.般地，从a1, a2,，an 1这n+1 个不同元素中取出m个元素的组合数是，这些组合可以分为两类：一类含有元素a1，一类不含有a1.含有a1的组合是从a?, a3,，an 1这n个元素中取出m -1个元素与a1组成的，共有c；4个；不含有a1的组合是从a2,a3,，a.*这n个元素中取出m个元素组成的，共有得到组合数的另一个性质.在这里，主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想.(n -m 1 m)n! (n 1)!= cmcn 1

12、m! (n -m 1)! m! (n m 1)!说明：公式特征：下标相同而上标差 1 的两个组合数之和， 等于下标比原下标多 1 而上标 与大的相同的一个组合数；证明:C；个.根据分类计数原理，可以证明:n! *n!m!(n -m)! (m -1)!n -(m -1)!n!(n - m 1) n!mm! (n -m 1)!Cmm-1n+Cn9此性质的作用：恒等变形，简化运算10例 11. 一个口袋内装有大小不同的7 个白球和 1 个黑球,解：（1）C；= 56,或C8 =C；+ C；,； （ 2）C；=21； （ 3）C；= 35.例 12.( 1)计算：C3 -C4 C5 - C96；（2）

13、求证：CnC门亠力门二亠小-2Cm-BCm+ 2Cm+Cm解：（1）原式-C5 c； c；=G6）=210；证明：（2）右边=左边*1例13.解方程： （1）站9笄；（2）解方程：C蔦.解：（1）由原方程得x 1 = 2x3或x 1 2x3 = 13，二x =4或x =5,仁x 1叨3I又由1乞2x-3乞13得2_x_8且xN”，.原方程的解为x= 4或x=5+x N上述求解过程中的不等式组可以不解，直接把x = 4和x =5代入检验，这样运算量小得多1（2）原方程可化为C：10. 1 _ 1_120(x -2)!10 x(x -1) (x -2)!2（1） 从口袋内取出3 个球，共有多少种取

14、法?（2） 从口袋内取出3 个球，使其中含有 1 个黑球，有多少种取法?（3） 从口袋内取出3 个球，使其中不含黑球，有多少种取法?十3,(x 3)! _ (x 3)!5!(x-2)!一10 x!11.x -x-12=0，解得x=4或x - -3,经检验：x=4是原方程的解+12第五课时例 14.证明：cmcy二c* cm：。证明：原式左端可看成一个班有m个同学，从中选出n个同学组成兴趣小组，在选出 的n个同学中，p个同学参加数学兴趣小组，余下的n - p个同学参加物理兴趣小组的选法数。原式右端可看成直接在m个同学中选出p个同学参加数学兴趣小组， 在余下的m- p个 同学中选出n-p个同学参加

15、物理兴趣小组的选法数。显然，两种选法是一致的，故左边=右边，等式成立。例 15.证明：c0cm+cicmA+cmcm=cm由(其中nm)。证明：设某班有n个男同学、m个女同学，从中选出m个同学组成兴趣小组， 可分为m 1类：男同学 0 个，1 个，m个，则女同学分别为m个，m-1个，0 个，共 有选法数为c：cmc：cm二c；cm。又由组合定义知选法数为cm.，故等式成立。例 16.证明：C：+2C：+3C；+nC：= n2n，。证明：左边=cn+2C；+3C；+ nCn=c1cn+c2c2+c3c +*cnc；,其中C1cn可表示先在n个元素里选i个，再从i个元素里选一个的组合数。设某班有n

16、个同学，选出若干人(至少 1 人)组成兴趣小组，并指定一人为组长。把这种选法按取到的人数i分类(i =1,2,n),则选法总数即为原式左边。现换一种选法，先选组长，有n种选法，再决定剩下的n-1人是否参加，每人都有两种可能，所以组员的选法有21种，所以选法总数为n2n种。显然，两种选法是一致的，故左边=右边，等式成立。例 17.证明：cn+22c：+32c3 + + n2C；= n(n +1)2n，。证明：由于i2cn二cfcjcn可表示先在n个元素里选i个，再从i个元素里选两个(可重复)的组合数，所以原式左端可看成在例3 指定一人为组长基础上，再指定一人为副组长(可兼职)的组合数。对原式右端

17、我们可分为组长和副组长是否是同一个人两种情况。若组长和副组长是同一个人，则有n2n4种选法；若组长和副组长不是同一个人，则有n(n- 1)2n种选法。.共有n2n4+n(n -1)2n = n(n 1)2种选法。显然，两种选法是一致的，故左边=右边，等式成立。例 18.第 17 届世界杯足球赛于 2002 年夏季在韩国、日本举办、五大洲共有32 支球队有幸参加，他们先分成 8 个小组循环赛，决出 16 强(每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级 16 强)，这支球队按确定的程序进行淘汰赛，最后决出冠亚军，此外还要决出第三、四名，问这次世界杯总共将进行多少场比赛？答案是：8C28 4 2 6

18、4，这题如果作为习题课应如何分析 +13解：可分为如下几类比赛：小组循环赛：每组有 6 场，8 个小组共有 48 场；八分之一淘汰赛：8 个小组的第一、二名组成16 强，根据抽签规则，每两个队比赛一场，可以决出 8 强，共有 8 场；四分之一淘汰赛：根据抽签规则，8 强中每两个队比赛一场，可以决出4 强，共有 4场；半决赛：根据抽签规则，4 强中每两个队比赛一场，可以决出2 强，共有 2 场；决赛：2 强比赛 1 场确定冠亚军，4 强中的另两队比赛 1 场决出第三、四名共有 2 场综上，共有8C4亠842亠2=64场.四、课堂练习：I 判断下列问题哪个是排列问题，哪个是组合问题：(1 )从 4

19、 个风景点中选出 2 个安排游览，有多少种不同的方法？(2)从 4 个风景点中选出 2 个，并确定这 2 个风景点的游览顺序，有多少种不同的方法？2.7名同学进行乒乓球擂台赛，决出新的擂主，则共需进行的比赛场数为()A.42B.21C.7D.63 如果把两条异面直线看作“一对”，则在五棱锥的棱所在的直线中，异面直线有()A.15对B.25对C.30对D.20对4.设全集Ua,b,c,d?，集合A、B是U的子集，若A有3个元素，B有2个元素，且AB=a!，求集合A、B，则本题的解的个数为()A.42B.21C.7D35.从6位候选人中选出2人分别担任班长和团支部书记，有_种不同的选法6. 从6位

20、同学中选出2人去参加座谈会，有 _种不同的选法+7. 圆上有 10 个点：(1) 过每 2 个点画一条弦，一共可画 _ 条弦；(2)过每 3 个点画一个圆内接三角形，一共可画_个圆内接三角形+& (1)凸五边形有 _条对角线；(2)凸n五边形有_ 条对角线“9计算:(1)c；5； (2)cm10 .A,B,C,D,E5个足球队进行单循环比赛，(1)共需比赛多少场？ ( 2)若各队的得分互不相同，则冠、亚军的可能情况共有多少种？II.空间有 10 个点，其中任何 4 点不共面，(1)过每 3 个点作一个平面，一共可作多少个 平面？ ( 2)以每 4 个点为顶点作一个四面体，一共可作多少个四面体？

21、12 .壹圆、贰圆、伍圆、拾圆的人民币各一张，一共可以组成多少种币值？13 .写出从a,b,c,d,e这5个元素中每次取出4个的所有不同的组合*答案：1.(1)组合,(2)排列 2. B 3. A 4. D 5. 306. 15147. (1) 45(2) 1208.(1) 5 (2)n(n - 3)/2153411C10=120;C10=210.12.C；+C：+C：+C：=241 =15*13.a,b,c,d；a,b,c,e；a,b,d,e；a,c,d,e；b,c,d,e+五、小结：组合的意义与组合数公式；解决实际问题时首先要看是否与顺序有关，从而确 定是排列问题还是组合问题，必要时要利用分类和分步计数原理学生探究过程：（完成如下表格）名称内容分类原理分步原理定 义相同点不同点名称排列组合定义种数符号计算公式关系性质29455；71010; 16六、课后作业：七、板书设计（略） 八、教学反思：排列组合问题联系实际生动有趣， 题型多样新颖且贴近生活， 解法灵活独到但不易掌握， 许