高中数学平面向量单元同步练习新人教A版必修4

1、1A.玄=boI TC.|ao| |bo23. 已知下列命题中：呻彳(1 )若rR，且kb =0，则k=0或b =0,呻彳呻 呻、呻 呻(2) 若a b =0,则a = 0或b = 0(3)若不平行的两个非零向量a,b， 满足|a|b|， 则(a b) Q -b) =0-I _(4) 若a与b平行，则a =| a | |b|其中真命题的个数是()A.0B.1C.2D.34.下列命题中正确的是()A. 若 a b = 0,贝Ua= 0 或 b = 0B. 若 a b = 0,贝Ua/ bC. 若 a / b,则 a 在 b 上的投影为|a|2D. 若 a 丄 b,贝Ua b = (a b)-44

2、45.已知平面向量a=(3,1),b =(x, -3)，且a _ b，则x =()A.-3B.-1C.1D.3*Fa 6. 已知向量a = (coss in,向量b=(、3,-1)则|2a-b|的最大值，最小值分别是()A.4.2,0B.4,4.2C.16,0D.4,0二、填空题1. 若OA=(2,8),OB=(7,2)，则AB=_3+ Hr4 4-2. 平面向量a,b中，若a =(4, -3),b=1，且a b = 5，则向量b=_。3. 若a1=3,b =2，且a与b的夹角为60，则ab|=_。平面向量一、选择题1.化简AC- BDCDA.AB2 .设a0B.DA分别是与a,b一C1717

3、4.04.0向的单位向量，则下列结论中正确的是(B.D.|aobo|=22324. 把平面上一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是_ 。2335 .已知a=(2,1)与b =(1,2)，要使a+tb最小，则实数t的值为_三、解答题1.如图，LABCD中，E,F分别是BC,DC的中点，G为交点，若AB=a,AD =b,试以；,b为基底表示DE、则点P的坐标为(产面向量b与向量 a =(1, -2)的夹角是180，且| b 3. 5，则 b =()2.已知向量a与b的夹角为60；,|b| = 4,(a 2b).(a _3b)3. 已知点44.已知a(1)k(2)kB 组TT

4、T TB(2, -1)，且原点0分AB的比为-3，又b =(1,3)，求b在AB上的投影。(1,2),b =(-3,2),当k为何值时，b与；-3卫垂直？4-b与a - 3 b平行？平行时它们是同向还是反向?一、选择题1 下列命题中正确的是(A.0OB=ABC.0 AB = 0B.AB坠=tD.AB BC CD二2.设点A(2,0),B(4,2),若点P在直线AB上，且AB =2忒,A.(3,1)C .(3,1)或(1,-1)B.(1,-1)D无数多个A.(-3,6)B .(3, -6)C .(6,-3)D.(-6,3)4.向量a =(2,3),b十1,2)，若ma b与a -2b平行，则m等

5、于A.-2B.25.若a, b是非零向量且满足(a-2b) a,(b-2a) b，则a与b的夹角是(A .636 .设a =(，sin -),5:31r(cos，一)，且a/b，则锐角为(234A.300B.600C.750D.4505、填空题1. 若|a|=1,|b|=2,c =a b，且c_a，则向量a与b的夹角为 _.2. 已知向量a =(1,2),b = (2,3),c = (4,1)，若用a和b表示c,则c=_ 。3. 若I =1, b =2 , a与b的夹角为600，若(3a +5$)丄(m：),则m的值为_5.若a=(2,3),b=(*,7)，则a在b上的投影为_三、解答题= (

6、1,2),石=(2,1)夹角相等的单位向量C的坐标.2试证明：平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和.3.设非零向量a,b爲，满足二噩), (a_b)C，求证:a _ d444.已知a =(cos ,sin t),b =(cos :,sin:)，其中0：-:二求证：a b与a-b互相垂直；(2)若ka b与a-kb的长度相等，求：一的值( (k为非零的常数) ).C 组一、选择题1.若三点A(2,3), B(3,a),C(4,b)共线，则有()A.a=3,b =-5B.ab1=0C.2a-b=32设0：2二，已知两个向量OR二cossin,OP2= 2 sin ,2-COST，则向量P1P

7、2长度的最大值是()A 一2B.3C.3 2D.2 . 33.下列命题正确的是()A .单位向量都相等B.若a与b是共线向量，b与c是共线向量，则a与c是共线向量(C.|a b| a -b|，则a b =0一一、 彳彳D .若a0与b0是单位向量，则a0b0=14.若菱形ABCD的边长为2，则-CB CD1.求与向量D.a-2b=064. 已知a, b均为单位向量，它们的夹角为60，那么a +3b =7C.,13D.4JI36.若平面向量b与向量a = (2,1)平行，且|b| = 2i5，则b =(A.(4,2)B.(-4,-2)C.(6,-3)D.(4,2)或(-4,-2)二、填空题1.已

8、知向量a=(cosT,sinT)，向量b=(J3,-1)，贝U 2寸一6的最大值是若A(1,2), B(2,3), C (-2,5)，试判断则 ABC 的形状若a =(2, -2)，则与a垂直的单位向量的坐标为若向量|a| = 1,|b| = 2,|a-b|=2,则| a b | =平面向量a,b中，已知a=(4,-3),b =1，且a_b = 5，则向量b =三、解答题1 .已知a,b, c是三个向量，试判断下列各命题的真假.(1 )若a b = a c且a = 0，则b = c(2)向量a在b的方向上的投影是一模等于艮cose(日是a与b的夹角)，方向与a在b相同或相反的一个向量.2.证明

9、：对于任意的a,b,c,d R，恒有不等式(ac bd)(a2b2)(c2d2)2x a (t - 3)b,y - -ka tb,且x_y，试求函数关系式k = f(t)。4.如图，在直角 ABC 中，已知BC =a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问PQ 与 BC的夹角6取何值时BP CQ的值最大？并求出这个最大值。5.已知向量a,b满足a= 1,b =4,且ab=2,则a与b的夹角为A.3.平面向量a=(*3, T),b)，若存在不同时为138选择题因为是单位向量,| a01 = 1,| 0 | = 1若a/b，则a在b上的投影为a或a，平行时分00和1800两种2a-b =(2cos

10、、3,2Sin 1),|2a-b|;(2cos 3)2(2sin 二 1)2填空题tb )2二va22tabt2b2= 5t28t 5，当 t =时即可5三、解答题1.解：DE二AEAD二AB BE AD二abb二a b22TTFTT 呻1彳* 呻14BF =AF -AB =AD DF -AB =b a -a =b a 2 2111G是厶CBD的重心，CG CA AC (a b)1.DAD - BD - ABDB - AB 二2.C3.C(1 )是对的；(2)仅得a _ b； (3)(a b) (a -b)二2=04.D(4)平行时分o0和1800两种，0_b若鼠DC，则A,B,C,D四点构成

11、平行四边形;5.C3x 1 (-3) =0,x =16.D=.84 s i - 4 3 con8s3n (最大值为4，最小值为01. (一3,-2)2-(5VT T TAB= OB- OA( 9 , )；|_ba =5, cosa b，:轴方向相同，5552 ab2b：=9 2 214厂=74.圆以共同的始点为圆心，以单位1为半径的圆45.a tbcosO = a；_ b二ab二0,(2=0a _ b293332.解：(a 2b)ka-3b)二a2-a上-6b2=-72210AO3.解：设A(x, y),3，得AO=3OB，即(_x,-y) =3(2,-1),x =6,y =3OB得A(6,-

12、 3,)起=(42)AB= 20bcos =4.解：ka b =k(1,2)(-3,2) = (k -3,2k2)a 3b =(1,2) -3(-3,2) =(10, V)(1)(ka b) _ (a -3b),得(ka b)L(a -3lb) =10(k一3) -4(2k 2) =2k -38二0,k =191(2)(ka b)/ (a -3b)，得-4(k -3) =10(2k 2),k-10 41此时ka b (, )(10,-4)，所以方向相反。3 33B 组一、选择题T T T1.D 起点相同的向量相减，则取终点，并指向被减向量，OA-OB=BA；T F 呻，它们的和应该为零向量，A

13、B - BA=0设P(x,y)，由CAP得忌2，或TB，AB =(2,2), AP =(x-2, y)，即(2,2) = 2(x -2, y),x = 3, y = 1, P(3,1)；(2,2) =-2(x-2,y),x=1,y = -1,P(1,-1)3. A 设b = k：二(k, -2k), k：0，而| b3 5，则5k2二3 5, k -3,b二(一3,6)4. Dm a+ bp 2m 3匕1,為m2 m/31cos60-6b72,供2协- 24 = 0,AB,BA是一对相反向量2.CJ51 0211a-2b =(2,3) -(-2,4) =(4,-1)，则-2m 1=12m 8,

14、m =22 24.4. b b- -B B5 51R = b122.证明：记AB二a, AD = b,贝U AC = a b, DB = ab,_b) = a2_b2= (cos2二1sin2_：i) -(cos2：sin2：) = 03 1o o6.Dsin二cosj,sin2二12二90,二二452 3二、填空题1.120（a b：二o叫aa b= 0,2.(2, -1)设c = Xa y b则(x , 2x )-( 2 ,y3 = )x彳，或画图来做2y2 x 2 y3 ）x - 2 y二4 , 2x亠3y 1 x 2y：- -233.8(3?+ 5需b)=3m：2+(5m 3)扪5詐=

15、03m ( 5m - 3) 2 c os 6-05 =4 m 0 , =82 34.2AB- TBr訐轉口罰135.a cos5b65三、解答题1.解：设c =(x,y)，贝y cos：；,总=cos：b,c ,得x 2y =2x y，即运x =2或丘I3.证明:A2DB-（a b）2（a_b）.AC+DB=2a丫扎=a （a_c）b -（a_b）c=（ajc） （Xb）（ab）na=（;圈（;勺）-（亚）（2上）2b2-04.（ 1）证明： b）ac或（卡）2 2131.4 2：- b = (23,2%i2.直角三角形卡厂）164B ACA月AC.a b与ab互相垂直(2)ka b = (k

16、cos展亠cos ,ksin亠sin)；a-kb =(cos：-kcos :,sin：- ksin：) ka +b = Jk?+2kcos(P-G)a _ k b i = Jk2+1 2kcos(P a)而.k21 2kcos(l沱)=k21 2kcos(cos(- _：) = 0 ,- - ?，2C 组一、选择题T*T I1.CAB =(1,a -3), AC =(2,b -3), AB/AC= b - 3 =2a 6,2a - b =3PP2=(2 +sin日一cosB,2 cos日一sin日),-cos22sin2- 10-8cosG18 =3、23.C 单位向量仅仅长度相等而已，方向也

17、许不同；当b=0时，a与c可以为任意向量;|a b| =|a -b|，即对角线相等，此时为矩形，邻边垂直；还要考虑夹角6.D 设b=(2k,k),，而|b| = 25，则、5k2=2、,5,k二_,b =(4,2),或(-4,-2)二、填空题2.C4.Ca - 3ba260_b 9b26cos6009 = 135.5.C C9 9 s s cocoJrJr一0 01 1 - - 2 2=2 2 - - 4 44 4 a a 4 4 a a14相同或相反的一个向量这是一个假命题因为向量a在b的方向上的投影是个数量，而非向量。2.证明：设；=(a,b), y =(c,d)，则 山4 =ac bd

18、,= Ja2+b2, J = Jc2+d2而廿=丈|cos二x_y.=|xily,cosd 即萄謫彳，得ac + bd|兰Ja2+b2Jc2+ d22 2 2 2 2.(ac bd) (a b )(c d )3.佇日或佇日或(22J 2设所求的向量为(x, y), 2x-2y =0, x y =1,x=y =24.6由平行四边形中对角线的平方和等于四边的平方和得；+bi+b4322435.(匸，)设b =(x,y),4x-3y = 5,x y 1,x ,y =5555三、解答题=2访+2巾| 二a1.解：(1 )若a b a c且a = 0，则b = c，这是一个假命题因为a b =a c,a (b -c) =0，仅得a _ (bc)(2)向量 a 在b的方向上的投影是一模等于2=2 2 4一4二6aCOST(丁是a与b的夹角),方向与a在b15-4k t3-3t =0,k=丄(3t), f(t