天津市大学数学竞赛试题(经管类)

1、谢谢观赏谢谢观赏2012年天津市大学数学竞赛试题(经管类)、填空题(共15分，每空3分)1.设f(x)=1f(x)sin2x13xe-1,则极限limf(x)=n.02.设函数f(x)连续切不等于0,又Jxf(x)dx=arcsinx+C,dx3.半径为R的无盖半球形容器中装满了水，然后慢慢地使其倾斜4.设函数f(x)可微，且f(0)=0,f'(0)=1,又设平面区域f(x)lim!t-Dt3.f(.x2y2)d；:5.设函数f(x)在点x=0处二阶可导，且二、单项选择题(共15分，每空1.设函数f(x)有连续导数，f(0)=1,f(A)1(B)e312(1-x2)2+C)3JID:则

2、流出的水量V=limf(x)=2,则f"(0)=x)01-cosx3分)(0)=3,则极限limf(x)2x2/3(C)e2.设函数f(x)在点x=0的一个邻域内有定义,(A)f(x)在点x=0处不一定可导3.33/2(D)e且满足f(x)<x2,则有(B)f(x)在点x=0处可导,y2<t2)(D)(B)f(0)-0(C)f(x)在点x=0处可导，且f'(0)#0(D)f(x)在点x=0处取得极小值3.设连续函数y=-3,-2和2,3上的图形分别是直径为1的上半圆周和下半圆周，在区间f(x)在区间2的下半圆周和上半圆周(如图所示),如果-2,0和0,2上的图形分

3、别是直径为xG(x)=J。f(t)dt,那么函数G(x)非负的范围是().(A)(A)整个33(B)仅为-3,-2U0,2(C)仅为0,3(D)仅为-3,-2U0,3i4.设函数f(x)在区间0,1上连续，且f(x)>0.记Ii=J。f(x)dx,I2=J：f(sinx)dx,I3=J。4f(tanx)dx,则().(B)(A)IaI2AI3(B)I211I3(C)I2AI3AI1(D)13>I2I15.设函数f(x)在区间0,1上有连续的二阶导数，f(0)=1、f'(1)=3,并且满足1J°xf(x)dx=1,则f(1)=().(B)(A)0(B)1(C)2(D

4、)3.、一1,an11.n二、设a。=(nA)2(门=1,2,3,)，a。=s6(o<8),求极限lim4(1-an).2nI2(本题7分)(,其中an=cos)22四、设函数y=f(x)由方程x3-3xy2+2y3+32=0确定，且f(x)可导，试求f(x)的极值.(本题7分)(极大值f(2)=-2,无极小值)五、求不定积分dxx,1-x2、一，、1.1.22,人(本题7分)(一arctanx+-|nx+v1x+C)22六、设F(x)是f(x)的一个原函数,且F(0)=1,1F(x)f(x)=cos2x,求积分fff(x)dx.(本题7分)(2(<2-1),其中F(x)=sinx

5、+cosx)1七、求积分xnlnnxdx,其中n为正整数.-0(本题7分)(-1)nn!(n1)，其中1一n1dxnlnnxdx=xninnxdx-0n1.0八、设曲线C与曲线C1：y=2x2和曲线C2：y=x2的位置如图，P(x,y)是曲线C1上任一点，过点P垂直于x轴的直线与曲线C和C2围成图形记为A,过点P垂直于y轴的直线与曲线C和C1围成图形记为B.若A和B分别绕y轴旋转而得到的旋转体的体积相等，求曲线C的方程.（本题7分）（y=4x2）14九、设函数f（X）满足f=i,并且对于x21有f（X）=2T2（），证明jimf（X）存冗（本题7分）在，且Jimf(x)<1+；.（提示：

6、证明f（x）单调增加有上界，用到xf(x)f(1)=Jf'(x)dx)-1十、设函数f（x）在区间0,a上可导，且f（0）=0,f'（x）单调增加，证明不等式（本题7分）a2aa.0xf(x)dx>0f(x)dx.3一、,2tt一、,(提示：构造函数F(t)=xf(x)dx-f(x)dx,用单调性-03-0H一、一个半径为r（r<1）的小球嵌入一个半径为1的大球中，二球的交线恰好是一个半径为r的圆周（如图），问当r为何值时，位于小球内、大球为的那部分立体体积达到最大？.（本题7分）2.2312（r=，其中V=一即-nf（1-y）dy），531J2十二、设。是以原点和三点（0,1,0）、（1,1,1）、（0,1,1）为顶点的四面体.（1）将三重积分ex十七dxdydz表示为“先z次y后x”的三次积分；（2）试证明Jex"+dxdydz=）（exdx）3（本题7分）6o(仃ex力士dxdydz=jdxfdy，ex十七d