微积分下册期末试卷及答案[1]

1、微积分（下）试卷及参考答案1、已知,则_。2、已知，则_.3、函数在点取得极值。4、已知,则_.5、以(为任意常数）为通解的微分方程是_.6 知与均收敛，则常数的取值范围是（c )。（A） （B） （C） （D） 7 数在原点间断,是因为该函数（b ).（A） 在原点无定义 （B) 在原点二重极限不存在 （C） 在原点有二重极限，但无定义（D) 在原点二重极限存在，但不等于函数值8、若,，则下列关系式成立的是（a）。（A) （B) (C） （D) 9、方程具有特解（d ）.（A） (B) (C） （D) 10、设收敛，则(d ）.(A） 绝对收敛 （B） 条件收敛 (C） 发散 （D) 不定一

2、、填空题（每小题3分，共15分）1、. 2、。 3、。 4、1。 5、.11、求由,所围图形绕轴旋转的旋转体的体积。解：的函数为.且时，。于是12、求二重极限。解：原式 （3分） (6分）13、由确定，求.解：设,则，, (3分） （6分）14、用拉格朗日乘数法求在条件下的极值。解：令,得，为极小值点。 （3分）故在下的极小值点为，极小值为（6分）15、计算.解： （6分)6、计算二重积分,其中是由轴及圆周所围成的在第一象限内的区域。解： （6分）17、解微分方程.解：令,，方程化为,于是 (3分) （6分)18、判别级数的敛散性.解： （3分）因为19、将函数展开成的幂级数,并求展开式成立的

3、区间。解：由于，已知， （3分)那么,。 （6分20、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告。根据统计资料，销售收入（万元）与电台广告费用(万元）的及报纸广告费用(万元)之间的关系有如下的经验公式：，求最优广告策略解：公司利润为令即得驻点,而 （3分），所以最优广告策略为：电台广告费用（万元)，报纸广告费用（万元). （6分）四、证明题（每小题5分，共10分）21、设,证明:.证：22、若与都收敛，则收敛.证：由于， （3分）并由题设知与都收敛，则收敛,从而收敛。（6分）1、设，则_.2、已知，则_.3、设函数在点取得极值,则常数4、已知，则_5、以（为任意常数）为通解的微分方程是_

4、。6、已知与均收敛，则常数的取值范围是（ ）。（A） (B） (C） (D） 7、对于函数，点( ）.(A) 不是驻点 （B） 是驻点而非极值点（C) 是极大值点 （D) 是极小值8、已知,其中为，则（ ）.(A） （B） (C） (D) 9、方程具有特解( ）。(A) （B) （C) （D) 10、级数收敛,则级数（ ).(A） 条件收敛 （B） 绝对收敛（C） 发散 (D) 敛散性不定11、求，所围图形绕轴旋转的旋转体的体积.12、求二重极限。13、设，求.14、用拉格朗日乘数法求在满足条件下的极值。15、计算。16、计算二重积分，其中是由轴及圆周所围成的在第一象限内的区域。17、解微分方

5、程。18、判别级数的敛散性。19、将函数展开成的幂级数。20、某工厂生产甲、乙两种产品，单位售价分别为40元和60元,若生产单位甲产品，生产单位乙产品的总费用为,试求出甲、乙两种产品各生产多少时该工厂取得最大利润。21、设，证明。22、若与都收敛,则收敛.（可能会有错误大家一定要自己核对）一、填空题（每小题3分，共15分)1、设，且当时,，则。（）2、计算广义积分=.(）3、设，则。(）4、微分方程具有形式的特解。（）5、设,则_。(1)二、选择题(每小题3分，共15分）1、的值为（ A ）A。3 B.0 C。2 D.不存在2、和存在是函数在点可微的( A ）。 A。必要非充分的条件； B。充

6、分非必要的条件；C。充分且必要的条件； D。即非充分又非必要的条件。3、由曲面和及柱面所围的体积是(D).A。 ； B。 ；C、； D。 4、设二阶常系数非齐次线性方程有三个特解,，则其通解为(C ）。 A。； B。； C。； D。5、无穷级数（为任意实数） （D)A、收敛 B、绝对收敛 C、发散 D、无法判断三、计算题（每小题6分,共60分)1、求下列极限：。解:(3分）（6分）2、求由与直线、所围图形绕轴旋转的旋转体的体积。解：(4分)（6分)3、求由所确定的隐函数的偏导数。解：方程两边对求导得：，有（3分）方程两边对求导得：，有（6分）4、求函数的极值。解:，则，,，,求驻点，解方程组得

7、和. （2分）对有，,于是，所以是函数的极大值点，且(4分)对有，于是,不是函数的极值点。6、计算积分，其中是由直线及所围成的闭区域；解:. （4分）（6分)7、已知连续函数满足,且，求.解:关系式两端关于求导得:即（2分)这是关于的一阶线性微分方程,其通解为： =（5分）又，即，故,所以（6分)8、求解微分方程=0 .解:令，则，于是原方程可化为：(3分）即,其通解为（5分)即故原方程通解为:（6分)9、求级数的收敛区间.解：令，幂级数变形为，。（3分)当时，级数为收敛；当时，级数为发散。 故的收敛区间是, （5分）那么的收敛区间为。 （6分)10、判定级数是否收敛，如果是收敛级数,指出其是

8、绝对收敛还是条件收敛.解:因为（2分）由比值判别法知收敛(）,（4分）从而由比较判别法知收敛，所以级数绝对收敛.（6分）四、证明题（每小题5分，共10分）1、设正项级数收敛，证明级数也收敛.证:，(3分)而由已知收敛，故由比较原则，也收敛.（5分）2、设，其中为可导函数， 证明。证明：因为, （2分)（4分)所以. （5分)一、填空题（每小题3分，共15分）1、设,且当时，则。(）2、计算广义积分=。（）3、设，则。（)4、微分方程具有形式的特解。（)5、级数的和为。（)二、选择题（每小题3分,共15分)1、的值为( B )A、0 B、3 C、2 D、不存在2、和在存在且连续是函数在点可微的(

9、 B ） A.必要非充分的条件； B.充分非必要的条件； C.充分且必要的条件; D。即非充分又非必要的条件.3、由曲面和及柱面所围的体积是（ B）A。 ； B. ；C、; D。 4、设二阶常系数非齐次微分方程有三个特解,，则其通解为（D） A、; B、； C、； D、5、无穷级数（为任意实数） （A）A、无法判断 B、绝对收敛 C、收敛 D、发散三、计算题(每小题6分，共60分）1、求下列极限：。解：(3分）(6分)2、求由在区间上，曲线与直线、所围图形绕轴旋转的旋转体的体积。解：(4分）（6分）3、求由所确定的隐函数的偏导数.解:（一)令则,，利用公式,得(3分)（6分）（二）在方程两边同

10、时对x求导，得解出，（3分）同理解出（6分）4、求函数的极值。解:，则，,求驻点，解方程组得和. （2分）对有，于是，所以点不是函数的极值点。 （4分）对有，于是，且，所以函数在点取得极小值，（6分）(5分）6、计算二重积分,其中是由及所围成的闭区域;解：（4分）(6分）7、已知连续函数满足，求.解：关系式两端关于求导得:即(2分）这是关于的一阶线性微分方程，其通解为：(5分)又,即，故，所以(6分）8、求微分方程的通解.解这是一个不明显含有未知函数的方程作变换令，则，于是原方程降阶为（3分)，分离变量，积分得即，从而(5分)再积分一次得原方程的通解 y（6分)9、求级数的收敛区间.解：令，幂级数变形为，。（3分）当时，级数为收敛；当时，级数为发散。 故的收敛区间是, (5分)那么的收敛区间为. （6分）10、判定级数是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条