平面向量数量积的坐标表示

1、5.7 平面向量数量积的坐标表示向量数量积的基本计算例 已知 a2,3 ， b1,4 ， c5,6 ，求 a bc 和 ab c 分析 ：运用平面向量数量积的坐标进行计算解： ab213 410,ab c105,650,60 ；bc1 54619,a bc2,31938,57 小结 ：通过本题检验平面向量数量积的运算不具有结合律方程与数量积结合例1、在直角坐标系中，已知两点A( x1, y1 ) ， B( x2 , y2 ) ； x1 ， x2 是一元二次方程2x22axa240两个不等实根，且A 、 B 两点都在直线 yxa 上（1）求 OA OB ；（ 2） a 为何值时 OA 与 OB

2、夹角为3分析： 根据韦达定理知x1x2a24，而 y1x1a ， y2x2a ，则2y1 y2(x1a)(x2 a)x1x2a( x1x2 )a2，从而OA OBx1 x2y1 y2 ， 可 求我们知道OA OBOAOB cos，OA OB2222怎样用 aOA OB.(x1y1 )( x2y2 )3表示呢？由本题意可推导出y1 x2 ， y2x1 ，由此 OA OB 可用 a 表示，进而可得 a 的方程，并解出 a 的值解：（ 1）x1 、 x2 是方程 2 x22axa240 两个不等实根，4a 28(a 24) 0解之 2 2 a 2 2x1x21 (a24) ， x1x2a2又A 、

3、B 两点都在直线yxa 上，y1 y2(x1a)( x2a)x1 x2a( x1x2 ) a21(a24)2OA OBx1 x2y1 y2a24（ 2）由题意设a8 a2a8 a 2x12， x22y1x1 aa8 a2x2 ，同理 y2x12OA OB(x12y12 )( x22y22 )x12x22( x1x2 ) 22 x1 x24当OA与OB夹角为时， OA OBOA OB cos34 1232a24 2解之 a6 (2 2,22 )a6 即为所求小结： 通过本题解答可知，当22a 2 2 时， OA OB4 为定值，且点 A ， B关于直线 yx 对称当 OAOB时，由OA OB0得

4、 a240 a2 ，此时两点坐 标 是 A( 0,2) ， B(2,0) 或A( 0,2)，B( 2,0)，本题也可以得出以下结果，当22a2 或 2a22 时，AOB 是锐角三角形； 当 a2 时，ABC 是直角三角形；当2a2 ，且 a0 时，ABC 钝角三角形利用坐标形式证明向量垂直例 1 已知两个非零向量 a 和 b 满足 a bab ，求证： ab 分析： 将已知条件代数化，通过代数变换得到代数结论，再将代数结论几何化证明： 设 ax1, y1， bx2 , y2，则 a bx1 x22y1y22 ， a bx1x22y1 y22 a b a b ，x12y12x12y12x2y2x

5、2y2 ，化简得 x1x2y1 y20 ，即 ab 小结：本题运用向量的坐标形式来解决垂直问题， 其实并不一定非用这个方法， 而且这个方法还不是最简单的，只是通过本题使学生熟悉这种证明方法利用坐标证明向量相等与垂直例 1如图所示， 四边形 ADCB 是正方形， P 是对角线 DB 上的一点， PFCE 是矩形 试用向量法证明：（1） PAEF ；（ 2） PAEF 分析： 如果我们能用坐标来表示PA 与 EF ，则要证明的两结论，只要分别用两点间的距离公式和两向量垂直的充要条件进行验证即可因此只要建立适当的坐标系，得到点A、B、E、F 的坐标后，就可进行论证证明 ：以点 D 为坐标原点， DC

6、 所在直线为 x 轴建立如图所示的坐标系，设正方形的边长为 lDP，则 A(0,1), P2 ,2,E 1,2, F2,02222于是 PA2,12, EF21,222222222（ 1）PA1221 ，222222EF1221 ，22 PAEF （ 2）PA EF22112222222212200 ，22122 PA EF小结：把几何图形放在适当的坐标系中， 就赋予了有关点与向量具体的坐标， 这样就能进行相应的代数运算和向量运算， 从而使问题得到解决 这种解题方法具有普遍性， 应该把它掌握好，其中坐标系的建立很重要，它关系到运算的简与繁平面向量的坐标形式最值例 1、平面内有向量OA(1,7)

7、, OB(5,1), OP(2,1) ，点 X 为直线 OP 上的一个动点（ 1）当 XAXB 取最小值时，求OX 的坐标；（ 2）当点X 满足（1）的条件和结论时，求cosAXB的值分析： 因为点X 在直线OP上，向量OX与 OP共线，可以得到关于OX坐标的一个关系式；再根据XA XB 的最小值，求得OX，而 cosAXB 是向量XA 与XB夹角的余弦，利用数量积的知识容易解决解：（ 1）设OX(x, y) 点X 在直线OP上，向量OX与 OP共线又OP(2,1)， x1y20 ，即 x 2y OX ( 2y, y) 又XAOA OX ,OA (1,7) ，XA(12 y,7y) 同样XBO

8、BOX(52y,1y) 于是XAXB(1 2y)(52 y)(7y)(1y)4 y212 y 5 y 28 y 75y220 y125( y2)28.由二次函数的知识，可知当y 2时， XAXB 5( y 2) 2 8 有最小值 8 此时OX (4,2) （ 2）当 OX (4,2) 时，即 y2 时，有XA( 3,5), XB(1,1)XA34, XB2,XAXB( 3)1 5( 1)8.XA XB84 17cos AXB34 2XA XB17小结 ：由于 X 是 OP 上的动点，则向量XA, XB 均是不确定的，它们的模和方向均是变化的，于是它们的数量积XA XB 也处在不确定的状态，这个

9、数量积由XA与XB的模 XA与 XB 及它们的夹角三个要素同时决定的，由解题过程即可以看出它们都是变量y 的函数另外，求出XA 与 XB 的坐标后，可直接用坐标公式求这两个向量夹角的余弦值求四边形的顶点例 1、已知四边形ABCD ， A( 1,1) ， B(10,1) ， C(8,10) ， AB / DC ， ACBD ，求： D 点的坐标分 析 ： 由 AB / DC 可 设 D 点 坐 标 为 (a,10) ， 再 由 向 量 坐 标 运 算 公 式 ， 可 求 得AC(9,9) ，BD(a10,9) ，根据 ACBDAC BD0 及坐标公式， 列得关于 a 的方程解之即可解：AB /

10、DC可设 D 点坐标为 (a,10)由 A( 1,1) ， B(10,1) ， C(8,10) 得AC(9,9) ， BD(a10,9)ACBDAC BD09( a10)9 90解之， a1D 点坐标是 (1,10)小结：有了向量数量积的坐标表示， 把向量数量积化为坐标问题， 不需向量的模和向量的夹角，在直角坐标系中解决有关图形和点的坐标等问题，具有一定的优越性思考：已知等边三角形ABC （按顺时针方向排列）的A(1,1) ， B( 2,2) ，求 C 点坐标略解： AB(1,1) ， AB2， ABAC，AB与AC夹角为 60 ，则AB AC( 2)2 cos601.设 C 点坐标 (a,

11、b)AC(a1,b1) ，a 1b 1 a b 3 与 (a 1) 2(b 1)22联立解之 a1 (33) ， b1(3 3)22向量垂直证明及参数确定例 1 已知： a(cos, sin), b(cos,sin)(0) （ 1）求证： ab 与 ab 互相垂直；（ 2）若 kab 与 kab 大小相等，求（其中 kR 且 k0 ）分析： 利用向量垂直的充要条件及向量模的公式解题解：（ 1）依题意知a b(coscos, sinsin), ab(coscos,sinsin) ，又 (ab) (ab)(coscos)(coscos)(sinsin)(sinsin )cos2cos2sin 2s

12、in 20.所以 (a b)(ab) （ 2）由于kab(k coscos, k sinsin) ，所以ka b1k22k cos() 又因为kabkab ，所以2k cos()2k cos()，且 k0，故cos()0又0，所以小结 ：对于（ 1）还有另解：由于2(a b) ( ab)a2b222cos2sin 2(cos2sin2) 11 0，所以ab(a b) ( ab) ；对于（ 2）也有另解：由kabkab 得 (kab) 2(kab) 2 ，进一步有 a b0，由此可得2向量的夹角例 1已知两个非零向量a 和 b 满足 ab2, 8 , ab6, 4 ，求 a 与 b 的夹角的余弦值分析： 要求 a 与 b 的夹角的余弦值，首先要确定向量a 和 b ，由于已知 ab, ab 是向量的坐标形式，所以运用方程的思想确定a 和 b 的坐标形式解：