信号与系统复习要点

1、第一章知识要点1. 信号的概念与分类按所几有的时间特性划分：确定信号和随机信兮：连续信号和离散信号；周期信号和非周期信号；能帚信号与功率信号；因果信号与反因果信号：正眩信匕是最常用的周期信号，正弦信号组介后在任一対频率(或周期)的比值是冇理分数时才是 周期的。其周期为各个周期的最小公倍数。 连续止弦信号一定是周期信号。 两连续周期信号之和不一定是周期信号。周期信号是功率信号。除了 II何无限能屉及无限功率的信号外，时限的或fTS,的非周期信号就是能量信号,当tTS, /(0* °的非周期信号是功率借号.2. 典型信号 指数信号：f(t) = KeM , aeR 正眩信号:f(t) =

2、 K sin(ftt + 0)复指数信号:f(t) = Ke" , s= <r+ jo)抽样信号:c “、 sinf 盹)=奇异信号(1)(2)单位阶跃信号(0 二?单位冲激信号=1J-CO(r < 0)(f > 0)I 5 (O = 0 (当上工0时)单位冲激信号的性质：£/(r)5(0 = /(o)(1)取样性-co相乘性质:(2)是偶西数呦=5(7)(3)比例性5(m)冷甲)微积分性质J(o =岂® :df -CO<J(r)dr = n(f)(5) 冲激偶= /(O)JXO -广(0)6(0 ;£/aw)dr=-r(o)JA

3、)df=初 :JX-0 = -6f(t)匸 5)df = 0带跳变点的分段信号的导数，必含右冲激函数，其跳变幅度就是冲激两数的强度。止跳变对应 着止冲激：负跳变对应着负冲激。3. 信号的时域运算 移位：八+4),4为常数当4>o时，f(t+t0)相当jv(o波形在£轴上左移4：当4<o时，/(£+妇)相当波形在r轴上右移4。 反褶： /(-0/(-0的波形相当丁将f(t)以£=o为轴反褶。 尺度变换：f(cit), a为常数当a>l时，f(at)的波形时将/C)的波形在时间轴上压缩为原來的丄；a当0“VI时，f(at)的波形在时间轴上扩展为原來的

4、丄。a 微分运算：/(0信号经微分运算后会突出其变化部分。at4. 系统的分类根据具数学模型的差异，可将系统划分为不同的类空：连续时何系统与离散时间系统：线性系 统与非线性系统；时变系统与时不变系统；5. 系统的特性(1) 线性性若同时满足稅加件与均匀性，则称满足线性性。当激励为cje + cjQ g、q分别为常数时),系统的响应为ci(r)+ CM(r)。 线性系统具有分解特性：必)=人(。+人°)零输入响应是初始值的线性函数，零状态响应是输入信号的线性函数，但全响应既不是输 入信号也不是初始值的线性函数。(2) 时不变性：对时不变系统，当激励为f(t-tQ)时，响应为f(t-t0

5、)o(3) 因果性线性非时变系统貝冇微分特性、积分特性。第二章知识要点1. 系统的全响应可按三种方式分解：全响应y(t) =零输入响应儿,(£)+农状态响应儿(£); 全响应y(t)=自由响应yh(t) +强迫响应儿,(r);各响血分最的关系：+不输入响应菇严+盹)年状态响应2. 系统的零输入响应就是解齐次方程，形式由特征根确定，待定系数由°初始状态确定。零输入 响应必然是(由响应的一部分。3. 任意信号可分解为无穷多个冲激旳数的连续和：那么系统的的零状态响应为激励信号与单位冲激响应的卷枳枳分，即儿卫)=T(r)。冬状态 响应可分解为自由响应和強迫响应两部分。4.

6、 单位冲激响应的求解。冲激响应力(°是冲激信号作用系统的冬状态响应。5. 卷积积分(1) 定义 fx(tyf2(0 = J= j ZA(t - r)A(T)dt(2) 卷积代数 交换律 f(0*fQ = fdW(0 分配率 fx(t)*/；(0 + f3(t) = C)*厶(r) + /；(t)* f3(t) 结合律 /1(0*(0*/3(0 = /；(0*/i(0*/3(0券积的图解法(求某一时刻卷积值)卷枳过程可分解为四步：(1) 换元:t换为T 得力(T )，£( T )(2) 反转平移：由无(T)反转f无(-T)右移t f壬(tT)(3) 乘积：yi( T )(t.

7、 T )<4)枳分；T从8到8对乘积项积分。/（r）T（m）d（t-t2）=-r?）（4如2为常数）2）妙化）=广（£）3 > /O*© = J_J/（r>/a-r）dr = j_/（r）drll（f） *2/（0 = tll（f）4）鲁加）*从）5）JjZ（r）*/；（r）clr = £/（r）dF*7；（0 = （0*£（r）dr6）；i（t-to*（t-t2）=/（t-tx-t沪力（t） =/i（t）*£（t-ti -t：）=爪-ti-t2）7）两个因果信号的卷积，其积分限是从o到r。8）系统全响应的求解方法过程山纳如卜

8、：a. 根据系统建立微分方程；b. 由特征根求系统的咨输入响应儿（'）;c. 求冲激响应力°）：a.求系统的零状态响应儿e="）讥）：e.求系统的全响应y© =以）+儿,（° o第三章知识要点1. 周期信号的傅里叶级数任一满足狄利克雷条件的周期信号/（£）（7；为其周期）可展开为傅里叶级数。（1）三角函数形式的傅里叶级数f（t） = a0 + cos（nat） + bn sin（nai0 式中 = 为正整数。直流分鼠巧討:坏几）力余眩分吊的幅度 a” = 10+5 / （0 cos（n（tt）dt正眩分吊的幅度bn = 吗f（t） si

9、n（n缈）&Ty几(3)性质5三角函数形式的傅里叶级数的另一种形式为f(t)= %+工4 cos(n®r +他)(2) 指数形式的傅电叶级数式中.为从-S到+S的整数。#利用周期信号的对称性可以简化傅里叶级数中系数的计算。从而可知周期信号所包含的频率成分。有些周期信号的対称性是隐藏的删除宜流分駅后就町以显示贰对称性。 实偶函数的傅里叶级数中不包禽正弦项，只可能包會r流项和余眩项。/(0 = f(rt> 纵轴对称(偶函数)» = 0, = lp+2/(r)C0SnQrT % 实奇数的傅里叶级数中不包含余弦项和直流项，只町能包含正弦项。j T原点对称(奇怖数)an

10、 = 0, bn =-气几)血山泌T's他半周巫叠(偶谐函数)无奇次谐波，只冇直流和偶次谐波 实奇谐函数的傅里叶级数中只可能包禽茲波和奇次谐波的正眩、余弦项，而不包倉偶次谐波项。一几)=“+£),半周镜像(奇谐函数) 无偶次谐波，只有奇次谐波分凰2. 从对周期矩形脉冲信号的分析可知：(1) 信号的持续时间与频带宽度成反比；(2) 周期T越人，谱线越密，离散频谱将变成连续频谱；(3) 周朗信号频谱的三大特点：离散性、谐波性、收敛性。3傅里叶变换傅里叶变换定义为正变换 F(co)= f(t)ejatdt逆变换f(t)=厂“(期=去J：F(e)严畑频i普密度换数F) 般是复换数，可

11、以写作尸(劲=(劲0畑其中|F)|是F(e)的模，它代表信号中个频谱分吊的相对人小，是。的偶函数。刃y)是F(tw) 的相位函数，它表示信号中各频率分杲之间的相位关系，是血的奇两数。常用函数F变换对：11VA 2n $（3）u（f）n J（69）+J 37e %(t)j a)+ asgn©e®eOcT 4 2兀3(co coc)laa2 +(»fcos (Oct o tt5(69+ at) + 8co- o) sin cod <r j<5(69+ coc) - 8a>- ca) 3傅里叶变换的基本性质1)线性特性妙(£) + 切(0 &

12、lt;-> aF(丿期 + bF2(J69)2)对称特性F(jt)3)展缩特性1十3、 yW(i J vf11)H a4)时移特性:-> F(g) 严5)频移特性MW(-Fj(69-©06）时域卷积特性力（小厶C）片（M）迅（皿）7)频域卷积特性fW(0 <-Tf-片(沟)* F2(JO)2才8） 时域微分特性 咯 <->（丿効”/（丿効at9）积分特性» F(jcd) + 才F(0)6(e) )3io濒域微分特性a（d11）奇偶虚实性若 F® = R® + JX® ,贝ij/（0是实偶曲数fS = RS，即/（効

13、为血的实偶两数。9/(r)是实奇函数/(69)= JX® ,即/(6W)为血的虚命函数。4周期信号的傅里叶变换周期信号f(t)的傅里叶变换是由一些冲激函数组成的，这些冲激位信号的谐频(0,±©,±2期,)处，每个冲激的强度等j- /(f)的傅里叶级数的相应系数耳的2龙倍。即Ff(t)=2nFn3(CD-n(”-005冲激抽样信号的频谱冲激抽样信号£C)的频谱为力(効=丄E F(a)-na)i)T$ n»-co其中耳为抽样周期./(血)为被抽样信号/V)的频谱。上式表明，信号在时域被冲激序列抽样后, 它的频谱£)是连续信兮频谱

14、畑 以抽样频谱为周期等幅地暇复。6对线性非时变系统，若输入为非周期信号，系统的零状态响可用傅里叶变换求得。貝方法为:(1) 求激励f(r)的傅里叶变换FGQ °(2) 求频域系统函数Hg。(3) 求零状态响应归(f)的傅里叶变换Ks(jo).即K,(j®)=F(jo)o(4) 求零状态响应的时域解，即兀二卩.'人(jo)7. 对J：线性|：时变稳定系统，若输入为正弦信号几)= cos(ftV),则稳态响应为X0 = |0o)|cos( + o)其中，円0如卡g)|e""为频域系统曲数。8. 对J：线性II：时变系统，廿输入为IF正弦的周期信号，则

15、系统的稳态响应的频谱为co0Cv(0 = W)*Z-(0= £ Fuh(t)nQt= £ F“Hg)严”-8n»-coJt'ls血是输入信号的频谱，I!卩f(f)的指数傅里叶级数的复系统。HSG)是系统函数，。为联波。人是输出信弓的频谱。时间响应为COW) = X匕严mn=-<o9. 在时域中，无失真传输的条件是在频域屮.无欠真传输系统的特性为io.理想滤波器是指可使通带Z内的输入信号的所仃频率分鼠以相同的增益和延时完全通过，且完全阻止通带Z外的输入信号的所冇频率分斎的滤波器。理想滤波器是卄因果性的，物理上不可实现 的。11. 理想低通滤波器的阶跃响

16、应的上升时间与系统的截止频率（帯宽）成反比。时域取样定理 注意：为恢复原信号.必须满足两个条件：（1）X0必须是带限信号；（2）取样频率不能人低.必须 於鼻的，或者说，取样间隔不能人人，必须TsWl/（»n）；否则将发生混叠。通常把最低允许的取样频率fi=2fin称为奈奎斯特（Nyquist）频率：把址人允许的取样间隔Ts=l/（功n）称为奈奎斯特间隔。第4章知识要点1. m边拉氏变换的定义为陀）訂:几）积分卞限定义为匸=°。因此，单位冲激换数*（'）01,求解微分方程时，初始条件取为£ = 0。2. 拉普拉斯变换收敛域：使得拉氏变换存在的S平面上”的取值

17、范圉称为拉氏变换的收敛域。/（°是冇限长时，收敛域 幣个S平而；/（'）是右边信号时，收敛域”>久的右边区域：/（'）是左边信号时，收敛域°<久的左边区域：/（f）是双边信号时，收敛域是S平面I：一条带状区域。要说明的是，我们讨论单边拉氏 变换，只耍b取得足够人总足满足绝対可枳条件，丙此-般不写收敛域。单边拉氏变换，只耍"取得足够人总是满足绝对可枳条件，因此一般不写收敛域。3. 拉普拉斯正变换求解：常用信号的单边拉氏变换严“（小斗1加(f)亠>4s_s+as_ acos 増 u(f) <sin拉普拉斯变换的性质（1）尺度变换

18、d>0,Res>g。a a(2 )时移性质Hf(t-5)興-5)=矿 F(s)(3) 频域平移性质 Le'Mf(t)= F(s + a) 时域微分性质 £(型0 = sf(s) - /(0-) dt(5) 时域积分性质 川'- J0°s若厶/(切=f(s),则厶匸/业卜乎+广y(6) 时域卷枳定理/!©%© - Fi(s)F?(s)(7) 周期信号，只耍求出第一周期的拉氏变换巧(s), F(s) = #2 频域微分性：<-t 啤(-0V(0 <>d” F(s)ds”频域积分性：型 尸(帀tJs初值定理:f (

19、0+) = lim f (t) = limsF(s) r-»0+co终值定理若/&)当 f f 8时存在，并JI F(s) , Res>on> an<0> 则 f(s) = limsF(s)u u3->0拉氏变换的性质及应用。一般规律；有七和乘时，用频域微分性质。有实指数w"柑乘时，用频移性质。分段克线组成的波形，用时域微分性质。周期信号，只耍求出第一周期的拉氏变换片(s), F(s)二丄哩，1-e山拉氏变换均指单边拉氏变换，对J：非因果倍号，在求其拉氏变换时应当作因来信号处理。134. 拉普拉斯反变换求解：(学握部分分式展开法求解拉普

20、拉斯逆变换的方法)Ku> Ke叫©(1) 单实根时s + q(2) 二重根时一o Kte-M£(t)(s + ay5. 微分方程的拉普拉斯变换分析：卅线性时不变系统用线性常系数微分方程描述时，可对方程取拉氏变换，并代入初始条件，从 而将时域方程转化为S域代数方程，求出响应的彖函数，再对其求反变换得到系统的响应。例 5-106. 动态电路的S域模熨：由时域电路模型能正确画出S域电路模型，是用拉普拉斯变换分析电路的廉础。引入复频域阻抗后，电路泄律的复频域形式与其相磺形式柑似。例 5-137. 系统的零状态响应为乙(s) = H(s)F(s)其屮，Ht)OH(s), H(s

21、)是冲激响应的彖函数，称为系统函数。系统函数定义为FG)习题：5-1 > 54、56、5-7、5-8. 5-12第六章知识要点1. 系统函数的定义2. 系统函数的零、极点分布图3. 系统换数/()与时域响应;:()： LTI连续I大1果系统的/?(t)的旳数形式由H(s)的极点确定。®H(s)在左半平面的极点无论一阶极点或匝极点，它们对应的时域两数都是按指数规律衰减的。结论：极点全部在左半开'F面的系统(因果)是稳定的系统。H(s)在虛轴上的一阶极点対用的时域函数是幅度不随时间变化的阶跃丙数或正弦因数。H(s)在虚轴上的二阶极点或二阶以上极点对应的时域函数随时间的增氏而

22、增人。H(s)在虚轴上的高阶极点或右半 '卜面上的极点，其所对应的响应函数都址递增的。3. 系统的稳定性：稳定系统H(s)的极点都在左半开平而，边界稳定系统H(s)的极点都在虚轴上，且为一阶，不稳定系统k H(s)的极点都在右半开平面或虚轴上二阶以上。H (沪 N(s)=乙“ + 方叶/+ + »$ + %D(s) ansn + + qs + 判断准则：1)多项式的全部系数q符号相同为正数；2)无缺项;3)对三阶系统，D(s) = as3 + as2 + axs + aQ的族项系数全为正，且满足aYa2 > aQa3习题：6-1 > 6-7. 68、6-9第七章知

23、识要点一、常用的典型信号1.单位抽样序列6(n)/? = 0心01J(n)=0,d(n)的延迟形式：= 10, nm推出一般式：x(n)=工x(切5®-灯fc»-oo2. 单位阶跃序列£(")fl, n>0£(n)= <0,n<0 与 J(n)的关系：S(n) = s(n) - c(n -1)延迟的表达式e(n - n?) o3. 矩形序列RnG)-有限长序列fl, 0KN-1< 甘几Rn5) = £(心一 W 一 N)0,其他7?4. 实指数序列一实指数序列anu(n)二、离散系统的时域模拟它的基本单尤是延时器，乘法器，相加器。三、系统的零输入响应儿佝空5才若其特征根均为单根，则其零输入响应为：ZC由初始状态定(相当0-的条件)四、卷积和的定义/W=丈砂朋-g(n)加)*=-00卷积和的性质交换律：力(处£(町胡何*拆(町(2) 分配律：広何*口何*乙何=久何*乙何卜虫(町(3) 结合律川町*乙(町+人何何*厶(町+川町*川町加)* $(n) =/n),金)* 5(n-no)=加-血Xn)*r(n) = /()Jt=-00yi(n - n&#