圆锥曲线之轨迹问题例题模拟题(精品)

1、专题：圆锥曲线之轨迹问题一、临阵磨枪1直接法（五部法）：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些 几何条件简单明了且易于表达，我们只须把这种关系“翻译”成含x,y的等式就得到曲线的轨迹方程。这种求轨迹的方法称之为直接法。2定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线 的定义），则可根据定义直接求出动点的轨迹方程。3坐标转移法（代入法）：有些问题中，其动点满足的条件不便于等式列出，但动点是随 着另一动点（称之为相关点）而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的,这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨

2、迹方程，这种求轨迹的方法坐标转移法，也称相关点法或代入法。4.参数法：有时求动点应满足的几何条件不易求出，也无明显的相关点，但却较易发现 （或经分析可发现）这个动点的运动常常受到另一个变量（角度、斜率、比值、截距或时间等）的制约，即动点坐标（x,y）中的x, y分别随另一变量的变化而变化，我们可以把这个变 量设为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫做参数法，如果需要得到轨迹的普通方程， 只要消去参变量即可。5.交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常可通过解方程组得出交点含参数的坐标，再消去参数得出所求轨迹方程，此种方法称为交轨法。二、小试牛刀1.已知 M（-3

3、,0），N（ 3,0） PMPN = 6，则动点P的轨迹方程为 析:；：MN,=|PM PN 点P的轨迹一定是线段MN的延长线。故所求轨迹方程是y = 0(x 亠 3)2.已知圆0的方程为x 2 x y又点M(X0,y°)在椭圆 二 1(a b 0)上a b y2 =2，圆O 的方程为x2 y2 -8x 10 = 0，由动点P向两圆所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程为析：圆O与圆O 外切于点M（2,0）两圆的内公切线上的点向两圆所引的切线长都相等,故动点P的轨迹就是两圆的内公切线，其方程为x=23.已知椭圆2 20丄a2 b2= 1（a b 0） , M是椭圆上一动点,F,为椭圆的

4、左焦点，则线段MF1x0 =2x c.y。=2y的中点P的轨迹方程为析：设P（x,y）M（x°,y0）又F|（-c,0）由中点坐标公式可得:2 2-笃药-1(a b 0) a b因此中点P的轨迹方程为(2x c)2b24.已知A、B、C是不在同一直线上的三点， O是平面 ABC内的 一定点，P是动点，若OP -OA二 (AB BC),0,；,2则点P的轨迹一定过三角形 ABC的 重 心。析：设点D为BC的中点，显然有 OPOA=AP1AB BC = AB BD = AD2所以，轨AP =，AD,八三，0,=：故点P的轨迹是射线 AD，迹一定过三角形的重心。三、大显身手1直接法例1、设

5、过点P(x,y)的直线分别与 x轴的正半轴和y轴的正半轴交于 A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，若BP =2PA且OQ AB =1，则P点的轨迹方程为 解：设 A(a,0), B(0, b)又 P(x, y)所以 BP = (x, y - b),PA = (a - x, -y)3又 BP-2PA 所以 x=2(a-x)= “尹ly -b 一2yb = 3y33A( x,0), B(0,3y). AB=(- x,3y)22而Q点与P点关于y轴对称，.点 Q的坐标为(-x,y)即OQ=(-x,y)3 22又OQAB =1所以2 x 3y这个方程即为所求轨迹方程。变式1、已知两点M (-2,0),

6、 N (2,0),点P满足MNMP +MN 'NP = O,动点P的轨MN=(4,0),帚=(x-2,y).迹方程为解:设 P(x, y)则：MN |=4, MP| = J(x 十2)2 + y2又 MN MP +MN NP =0.,(x 2)2 y2 4( 20化简得所求轨迹方程为：y2=-8x2、定义法例 2、 已知圆 A 的方程为2 2(x3) +y =100,点 B (-3,0), M 为圆 O 上任意一点，BM的中垂线交 AM于点P,求点 P的轨迹方程。解：由题意知：MP|=|BP二 PB +|PA = MP + PA =|AM又圆A的半径为10，所以 AM =10二 |PA

7、 +|PB =10即点P的轨迹是以定点A(3,0) B(-3,0)为焦点，10为长轴的椭圆(椭圆与长轴所在的对称轴2 2的两交点除外)其轨迹方程为1(x =二5)25162 2变式2、已知椭圆x- -=1( a b 0)的焦点为a bF1,F2，P是椭圆上的任意一点，如果 M是线段F1P的中点，则动点 M 的轨迹方程是 解：因为M是线段F1P的中点，连接 OM，贝UOMMF1|PF12由椭圆的定义知：PF1 + PF2 = 2a1MF1 + MO = (PR + PF2) = a2即点M到定点O、定点F1的距离和为定值a，故动点M的轨迹是以O、F1为焦点,以a为长轴的椭圆，其方程为(说明：此题

8、也可以用代入法解决)3、坐标转移法(代入法)2 2例3、从双曲线x y =1上一点线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程。Q引直线x+y=2的垂解：设Q(x0,y°)则由'x -y -Xo +y° = 0可得N点坐标X0 _ y0 + 2X =2X0y02y =由中点坐标公式可得:2x = 3x0 - y0 + 2-2 二X。3y02I2所以 4x0 -4y； =4设 P(x,y)'2x0 =3x + y - 22y0 = x +3y _2又点Q(X0, y°)在双曲线x2 - y2 = 1上,代入得(3x y -2)2 - (x 3y - 2

9、)2 = 4AAA化简得(x-) (y )=即为所求轨迹方程。222变式3、自抛物线y2 =2x上任意一点P向其准线I引垂线，垂足为Q，连接顶点O与P的直线和连接焦点 F与Q的直线交于R,求点R的轨迹方程。解：设R(x, y),P(X0，y°) 抛物线的方程是 y2 =2x11- F(,0),Q(-,y°)22所以 直线OP的方程是y0x-x0x二0直线QF的方程是 y0X y - y° =02联立两方程得:X0y。-2x2x-1-2y2x -1所以-2 v 2- 2x(共)(越)化简得:2 22x y -x=0即为所求轨迹方程。4、参数法2例4、设椭圆方程为X2

10、-1，过点M ( 0,1)的直线I交椭圆4于A、B,点P满足OP二一(OA OB)，点N(,-)，当直线I绕点2 2 2M旋转时，求：(1)动点P的轨迹方程；(2) NP的最大、最小值。解：(1)设直线丨的方程为y二kx 1代入椭圆方程得（4 k2）x2 2kx-3 =0-2k4 - k2y1 y2 二 k（x1 x2） 2 二2k24 k2设 A（Xi，yJ,B（X2, y2）则 捲 x?1设动点P的坐标为(x, y)，由OP (OA - OB)可得 2x1x2x =2y1 y244k2消去参数k即得所求轨迹方程为:4x2 y2 _ y = 04 k2当斜率k不存在时，点P的坐标为(0,0

11、)显然在轨迹上,2 2故动点P的轨迹方程为4x y（2） P点的轨迹方程可以化为16x2 4（y -丄）2 = 1211 1 .所以可设点P的坐标为（cos，- si n ：）贝y42 2211 2123211PN =（coso一） +（sina.） = -cos a一cosct+ 4221642（cos2）2163丄122所以当cos时3PNmax.21当 COSO"时 PN min2k消去k得弦AB的中点的轨迹方程为变式4、过抛物线y2 =2x的顶点作互相垂直的两弦 OA、OB.(1)求弦AB的中点的轨迹方程；(2)证明：直线 AB与x轴的交点为定点。解：(1 )由题意知OA的斜

12、率存在且不为零，设为 k 则直线0A的方程为y二kx与抛物线y2 =2联立可得一 2 2点A的坐标为(2 ,)同理可得点B的坐标为k2 k(2k2,-2k) 设弦AB的中点为M (x,y)则y2 = x 一2(2)直线AB的斜率为kAB所以，其方程为y 2k二k1 k2k22(x -2k2)令 y =0 得 x = 221 -k故直线AB与x轴的焦点为定点(2,0)5、交轨法2y1z 2 2 2 2(X -a ) x aX得：y2 =2又因点M在双曲线上，故牛a2 _ yi _b221,即 yi(/ - a2).2 2代入并整理得 务专=1.此即为P的轨迹方程.a b已知0A丄OB,变式5、设

13、点A、B为抛物线y2 =2px(p 0)上除原点以外的两个动点,OML AB于M求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。解：设OA=y=kx,则OB : y =得A(kAB=2px2p 2pkk書 2pk2k2p 2p) k2 ' k)同理 B(2pk 2, -2pk)1 kk丄_k2k2 kk2AB: y 2pk2(x2pk ) 口1-kk2pk3y 2x-2pk 21-k21-k2而1-k2而 op: yxkk2pk32 x _ 21-k1-kk2pkk (_)2 x22(x 2p).1-k21-k21-k2 M为ABW OM的交点，联立y =kykT(2p).1-k21-k2xk

14、(1) X (2)消去 k,2 2 2y =-(x-2p)x, x +y -2px=0(x 工 0)即为所求.四、享受战果1、已知 M(2,0),N(2,0), PM + PN =4，则动点P的轨迹方程为析：满足条件的点在线段MN上，故轨迹方程是2、经过抛物线y2 =2px焦点的弦的中点的轨迹方程为析：设过焦点的弦AB所在的直线方程为y=k（x-卫）代入抛物线方程消去y的22 2k2(x - P)2 = 2 px= k2x2 -p(k2 2)x P024设 A(xyj, B(X2, y2)AB 的中点为 M(x, y)捲 +X2 _ p(k2 +2)I X =2= k2则2k消去参数k得I%

15、+ y2k |仃丄、i 2 py(捲 X2) - p -I 22 12丿 l ky2=P（x）这就是所求轨迹方程。2 23、与圆x - y -4x =0外切，又与y轴相切的圆的圆心的轨迹方程为析：若与圆x2 y40外切，又与y轴相切的圆在y轴的左侧,则所求轨迹方程为y =0（x ： 0）若与圆x2 y2 -4x=0外切，又与y轴相切的圆在y轴的右侧则动圆圆心到定圆圆心地距离减去定圆半径 2等于动圆圆心到y轴的距离,故所求轨迹方程为y2 =8x.X2 V24、设Ai,A2是椭圆1的左右顶点，R, P2是垂直于长轴的弦的端点， 则直线AR94与A2P2的交点的轨迹方程为、Pi、P 共线， y-y&

16、#176;_ yx -xox 3、P2、P 共线，.yyoyX -xox-322xo=9,yo =3y,代入得 xoyo解析:/ Ai、/ A2、解得xx2 x2 2叫七=1设交点 P(x,y) ,Ai( 3,O),A2(3,O),Pi(xo,yo),P2(xo, yo)25、已知椭圆y1的焦点为Fi,F2, A是椭圆上任意一点，过点Fi向/ F1AF2的外43角平分线作垂线于 D，则点D的轨迹方程为2，则此双曲线的中心的轨迹方解：设FiD的延长线交直线F2A于P，D(x,y),P(xi, yi)由椭圆的定义知：PF2 = AF+ AF2 =2a=8二(Xi -1)2 y； =8Xi i又t

17、2二严-2x 1代入得 址 l yi =2y2x2 y2 =2(y=0)即为点D的轨迹方程。6、过原点的双曲线以 F (4,0)为一个焦点，且实轴长为 程为析：设双曲线的中心为 P(x, y)，则双曲线的另一个焦点为 F(2x-4,2y)又双曲线过原点，且实轴长为2，所以 |OF OF 1 =4 即 4 _ J(2x _4)2 +4, =4化简得：(x-2)2 y2 =16(x = 6).7、在AABC中，已知B (-3,0), C(3,0),AD丄BC于D,也ABC的垂心H分AD所成的比为1o( 1)求点H和点A8的轨迹方程；(2)设P( -1,0)，(1,0)那么 11HP ' P

18、Q1 能成等差数列吗?HQ解(1)设H点的坐标为(x,y),对应的A的坐标为(捲，叶)，则D的坐标为(Xi,0),由H分有向线段 1AD所成的比为1知又 BH _ AC?9y故一y81X =为8叱细1x+3x1 -322即x+ y=-19此即点勺的轨迹方程x =%8代入上式,得? =1(厂0),再将<故点A的轨迹方程为64 2扌心=1, ¥ y2 Fy = 0).9812Xi(2)由 (1)可知，P, Q分别为椭圆的左右焦点数列，则211 ,但PQ.2,2X1111'1能成等差,设 H(X, y),且1HP =3 + x, HQ3HP|PQ '|QH|=3- x

19、,故3HQ,化简得x2 =27 -碧0,矛盾!y2PQ但此时'= 13- -x 21 8、已知直线珂与椭圆© x2 + 交于R、S,求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程.解：由已知，直线I不过椭圆的四个顶点，所以设直线I的方程为 y = kx m(k = 0).代入椭圆方程b2x2a2y2a2b2,得b2x2a2(k2x22kmx m2)a2b2.化简后，得关于的一元二次方程(a2k2 b2)x2 2ka2mx a2m2 -a2b2 0.于是其判别式(2ka2m)2 -4(a2k2 b2)(a2m2 -a2b2)由已知，得 =0 即=4l2b2(abkHb

20、-m2).在直线方程y=kx+m中，分别令y=0, x=0,求得 令顶点P的坐标为(x, y)，由已知，得k亠 k x, mi产 y.故丄,丄, =1(a > b > 0)有且仅有一个交点 QQ不可能成等差数列. 且与x轴、y轴分别R(-m ,0),S(0, m).k_ m代入式并整理,x得 _7,2 即为所求顶点勺的轨迹方程9、动点P到直线x=1的距离与它到点 A (4,0)的距离之比为2,则点P的轨迹方程 是2设P(x,y)则(x-4)2 y2x-1化简得：3x2 4y2 _30x 63 = 010、已知A（0,7），B（0，-7）C（ 12,2），以C为一个焦点作过 A、B的

21、椭圆，求椭圆的 另一焦点F的轨迹方程。解：由题意得：AC + AF| =|BC + BF 而 AC =13, BC =15所以 AFBF =2故动点F的轨迹是分别以A、B为焦点，实轴为2的双曲线的下半支，其方程是2y2y j)2 211、已知圆O的方程x y =4，若抛物线过点 A（0，-1）,B（0,1），且以圆的切线为准线，求抛物线的焦点的 轨迹方程。解：首先设焦点为F（x,y）,准线（即圆的切线） 为LA到L的距离为a， B到L的距离为b那么根据抛物线的性质有 a=|AF| b=|BF|于是 |AF|+|BF|=a+b而a+b恰是圆的直径（画个示意图想想为什么）既有 |AF|+|BF|=

22、4故 动焦点F的轨迹是分别以 A,B为焦点的椭圆， 而且半长轴是22 2故所求轨迹方程是-1。432 2 . 2 212、已知圆O的方程x y =2，圆O 的方程x y -8x 10=0，由动点P向圆O和圆o 所引的切线长相等，求动点P的轨迹方程。解:设由动点P向圆O和圆O 所引的的切线的切点分别为 A、B,则由题意有：PA= P B 即PO2 0只=| P"O "Ob 设 P（x, y）3则x2 y2 -2 = （x -4）2 y2 -6= x 即为动点P的轨迹方程。2213、 已知抛物线 y =2px，过顶点的两弦 OA、OB互相垂直，以 OA、OB为直径的两圆的另一交

23、点Q的轨迹方程。2 2解：设a（比，yJ,B（里，y2）.由OA丄OB可得2p2p.koA koB 二空空-1” y”2 - -4p2.y y2可以求得，以OA为直径的圆的方程为：x（x - x,） y（y - yj = 0.2即 X（X - 芈）y（y _yj =0.2p2同理，以ob为直径的圆的方程为 乂（乂-上） y（y-y2） =0.2p设P（x0, y0），点P为两圆交点，贝V22V2y°(y° -yj =o,xo(x。-) yo(y° -y?) =0.2p2所以，yi,y2可以看作是关于z的方程x°（x0 ） y0（y°-z）=0的

24、两根 2p整理得 x°z2 2py°z -2卩氏 y：） =0.由根与系数的关系，可知沁2吠y2）.x结合式，有xoy2 =2px0即(x°-p)2yl=p2所以P的轨迹方程为（xp）2y2 = p（ x=0）.点P的轨迹是以（p,0）为圆心,p为半径的圆（去掉原点）(另法)；解：设A(Xi,yJ,B(X2,y2)，直线AB的方程为y=kx - b (显然b = 0)ykx “2ykx2221 贝U y =2px 1 = 2px= by =2pxy 2pkx (两边同时除以 x )bb二 b(-)2p(-) 2pk =0/OA 丄OB 贝Uxxyy _ 2pkx,

25、x2b=T二 b = -2pk.代入直线AB的方程：y二k（x-2p）. OP丄AB OP的方程为:、式联立消去k，得到P的轨迹方程y? - _x(x _ 2 p),( x = 0)当AB丄x轴时，斜率k不存在，此时 P点为AB中点，且在x轴上，坐标为(2 p,0)2满足上面的方程，因此 P点的轨迹方程为 y = _x(x2p),(x = 0).14、已知三点 N (0, - 2 - a) ,P (t, -2 - a), F (0, a)，其中 a 0，动点 M 满足 NP PM = 0且 PM| = MF| +2.(1) 求动点M的轨迹方程；(2) 过点F作直线与动点 M的轨迹交于A、B两点

26、，求 AOB的面积的最小值。解：(1 )动点 M 满足 NP =0,且 PM| =|MF| +2.动点M的轨迹是以F(0,a)为焦点，以y=-a为准线的抛物线。2所以点M的轨迹方程是x =4ay.(2)显然直线AB的斜率存在设为k,则直线AB的方程为y =kx a与抛物线方程联立消去 y 得：x2 -4akx - 4a2 = 0 设 A(x1, /(), B(x2, y2)2则 x4ak,x1x -4a而 S迪ob = a 为一X2 =aJ(X1 + X2)2 4x1X2 = 2a2Jk2 +12 2所以 当k =0时，AOB面积的最小值为2a2.15、 已知点Q位于直线x = -3右侧，且到

27、点F (-1,0)与直线x = -3的距离之和为4.(1) 求动点Q的轨迹C的方程；(2) 直线l过点M (1,0)且交曲线C于A、B两点，点P满足FP (FA - FB)，且2EPAB =0,求点E(x0,0)的横坐标X。的取值范围。解：(1)设Q(x,y)(x -3)由题意有x 3 . (x 1)2 y2 二 4= y2 - -4x, x 三3,0 I动点Q的轨迹C为以F (-1,0)为焦点，坐标原点为顶点的抛物线在直线x = -3右侧的部分.(2)由题意可设直线I的方程为y二k(x -1)设 A(Xi,yJ,B(X2,y2)y2 4xy = k(x-1)可得k2x2 (4 -2k )x

28、k三0,. XiX2 =2k2 4牙1.C224(4 2k ) -4k >03由题意 < (为+3)(x2+3) a0 解之得一£k2c1.4(Xj +3) +(x2 +3) > 0i -由FPFAH)可知：点P为线段AB的中点,P(f由EP AB =0可知EP丄ABk2 -23 k整理得X。22 -1.k二x0的取值范围是(，-3)32 216、设双曲线Ci的方程为 务丄 =1(a 0,b 0)，a bA、B为其左、右两个顶点，P是双曲线Ci上的任意一点，弓I QB丄PB, QA丄PA, AQ与BQ交于点Q.(I)求Q点的轨迹方程；()设(I)中所求轨迹为 C2,

29、 C1、C2的离心率分别为e“ e2,当© _ 2时，e2的取值范围.(I)解法一：设 P(x°,y0), Q(x ,y )A(a,0), B(a,O),QB _ PB,QA _ PAy。y=-1-(1)X。ax a0y一1.(2)x0'ax - a22由得：亠二典2=1x0 -ax -a2y。2 2Vo _ b22 2=2xo aa代入(3)得b2y2二 x2a2a4即a2x2 -b2y2二 a4经检验点(-a,0),(a,0)不合 因此Q点的轨迹方程为a2x2-b2y2=a4 (除点(a,0) ,(a,0)外)(I)解法二：设 P(X0,y°), Q(

30、x,y), / A( - a, 0), B(a , 0), QB 丄 PB, QA 丄PAy。y 1x。+a x +a(Xy。 . y一 1Jxx。一 a x a由(1) -(2)得 2ax° 二-2ax2-a)x° - yy。= _ax - a (1)2a)x°yy。二 ax _a (2).X0 = x(3)2 2x -ay(4)(X。a)(x a) (x a)(xa)把代入解得:y0yy2 2 2 2 2 2 把(3)(4)代入笃-乌=1得:笃-(x ；a2 ) =1 a ba y b当x = a时,不合题意，.x2 a2 =022. 224ax -by a.

31、Q点轨迹方程为 a2x2 -b2y2 =a4 (除点(-a,0),(a,0)外)(I)解法三：设 P(X0,y0), Q(x,y), / PA丄QA一1(1)x0 -a x -a连接PQ，取PQ中点R11PA _QA,QB _ PB,. | RA| |PQ|,|RB| PQ |22.|RA|=|RB|,. R点在 y轴上Xo X0,即Xo - -X(2)yoy2 -X把(2)代入(1)得:2 a22Xo yo把(3)代入2Xo2 a2-y2 =1, 得b22X2a2 -a/ 2 2、2(x -a) =12, 2 1 y b： a时,不合题意，.X2 整理得：a2x2 -b2y2 =a4 .Q点

32、轨迹方程为a2X2 -b2y22X 2a=a4(除去点(-a,o), (a,o)外)(II )解:由(I)得C2的方程为21 aJ2a2e 二一4 a_ b2=12a2 2c -a=11e2 -1ef ：:： 12e2 (2)2 -1.1 ： e _ - 217、如右图，给出定点 A(a, 0)(a>0)和直线I: x = 1. B是直线I 上的动点，/ BOA的角平分线交AB于C.求点C的轨迹方程，并讨论 方程表示的曲线类型与a值的关系.依题意，记B( 1, b)(b R)，则直线OA和OB的方程分别为y=0 和y= bx.设点C(x，y)，则有0wxv a,由OC平分/ AOB，知点

33、C 到OA、OB距离相等.根据点到直线的距离公式得|y|y_bx|1b2依题设，点C在直线AB上，故有by=门(X 眇由 x a 0得 b=- ° 曲x a将式代入式得-ay2i+(1+a)2y2(x _ a)2 = y -(1 a)xy x a整理得y2(1 a)x2 2ax+ (1 + a)y2 = 0,若 y工0,则(1 a)x2 2ax+ (1 + a)y2=0(0vxva);若y = 0,则b=0，/ AOB =n，点C的坐标为(0, 0),满足上式. 综上得点C的轨迹方程为(1 a)x2 2ax+ (1 + a)y2=0(0 < x v a).(i)当a= 1时，轨迹方程化为y2二x(0<xv 1).此时，方程表示抛物线弧段;(ii)当aM 1时，轨迹方程为a 2(xta)a 2(1-a)2+£a= 1(0< xv a).1 - a2所以，当0v av 1时，方程表示椭圆弧段; 当a> 1时，方程表示双曲线一支的弧段.2 218、已知椭圆 笃 每=1(a>b