数列通项公式的求法(较全)

1、名师推荐精心整理学习必备常见数列通项公式的求法公式：1、 定义法若数列是等差数列或等比数列, 求通公式项时, 只需求出a1 与d或 a1 与q ,再代入公式ana1n1 d 或ana1 qn 1 中即可 .例 1、成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2， 5， 13 后成为等比数列bn的 b3, b4 ,b5 ,求数列bn的的通项公式.练习：数列an是 等 差 数 列 , 数 列 bn是 等 比 数 列 , 数 列 cn中 对 于 任 何 nN* 都有cn an bn ,c10, c21 , c32 ,c47 , 分别求出此三个数列的通项公式 .6954名师推荐精心整理学习必

2、备2、 累加法形如 an 1 anfn 已知 a1型的的递推公式均可用累加法求通项公式.（ 1）当 fnd 为常数时，an 为等差数列，则 ana1 n 1 d ；（ 2）当 fn为 n 的函数时，用累加法 .方法如下：由 an 1anf n 得当 n2 时， anan 1f n1 ，an 1an 2fn2，a3a2 f 2 ，a2a1f 1 ，以上n1 个等式累加得an a1f n 1 +f n 2f 2f 1ana1f n 1 +f n 2f 2f 1（ 3）已知 a1 ， an 1 anf n ，其中 fn可以是关于 n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项 .若 fn可以是

3、关于 n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；若 fn可以是关于 n 的二次函数，累加后可分组求和；若 fn可以是关于 n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；若 fn可以是关于 n 的分式函数，累加后可裂项求和求和 .例 2、数列an 中已知 a11, an 1an2n3 , 求 an 的通项公式 .名师推荐精心整理学习必备练习 1：已知数列an 满足 an 1an3n2且a12,求an.练习 2：已知数列an 中， a11,an 1an3n2n , 求an的通项公式 .练习 3：已知数列an 满足 a111的通项公式 ., an 1 ann2, 求求 an2n3、 累乘法an1fn

4、形如 an已知 a1型的的递推公式均可用累乘法求通项公式.给递推公式 an1fn ,n N中的 n 依次取 1,2,3 ， , ， n1, 可得到下面 n1个式子：ana2f 1 , a3f 2 , a4f 3 , , anf n 1 .a1a2a3an 1利用公式 ana1a2a3a4an , an0,n N 可得：a1a2a3an 1ana1f 1f 2f 3f n 1 .名师推荐精心整理学习必备例 3、已知数列an 满足 a12 , an 1nan ,求 an .3n1练习 1：数列an 中已知 a1an 1n 2求 an的通项公式 .1,ann练习 2: 设an 是首项为 1的正项数列

5、，且( n1)an2 1nan2an 1an0 ，求an 的通项公式 .4、 奇偶分析法(1) 对于形如 an 1anf n 型的递推公式求通项公式当 an 1andd为常数 时，则数列为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论 . 当f n为 n 的 函 数 时 ， 由 an 1an f n ， an an 1 f n 1两式相减，得到an+1an 1fnfn 1，分奇偶项来求通项 .例 4、数列 a满足 a1, aa4 ，求 a的通项公式 .n1n 1nn名师推荐精心整理学习必备练习：数列an 满足 a16, an 1an6 ，求an 的通项公式 .例 5、数

6、列an 满足 a10, an 1an2n ，求an 的通项公式 .练习 1:数列 a满足 a1, aan 1，求 an的通项公式 .n1n 1n练习 2：数列an 满足 a12, an 1an3n1 ，求an 的通项公式 .名师推荐精心整理学习必备(2) 对于形如 aanf n 型的递推公式求通项公式n 1当 aad d为常数 时，则数列为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶n 1n数项来讨论 .当 f n为 n 的函数时，由 an 1 anfn， an an 1an+1fnf n 1 两式相除，得到n，分奇偶项an 1 f1来求通项 .例 6、已知数列an满足 a1

7、2, an 1an4，求 an 的通项公式 .练习：已知数列an满足 a12 , an 1 an2 ，求an的通项公式 .3例 7、已知数列an 满足 a13,an 1an12n，求an 的通项公式 .名师推荐精心整理学习必备练习 1:数列an 满足 a12, an 1 an3n ，求an 的通项公式 .练习 2：数列an满足 a 1, aa 2n，求an 的通项公式 .1n 1n5、 待定系数法（构造法）若给出条件直接求an 较难 , 可通过整理变形等从中构造出一个等差或等比数列, 从而根据等差或者等比数列的定义求出通项 . 常见的有 :(1) an 1panq p,q为常数at p at

8、,构造 ant 为等比数列 .n 1nan 1pantpn 1 t , p为常数两边同时除以 p n 1an 1ant(2)pn 1pn(3) an 1pantq n 1 t , p, q为常数两边同时除以 pn 1an 1p ant ,再参考类型1qn 1q qn(4)an 1panqnr p, q, r是常数an 1n 1p ann(5)an 2pan 1 +qanan 2tan 1p an 1t an, 构造等比数列 an 1t an例 8、已知数列an 中， a11 ， an 12an3，求 an .名师推荐精心整理学习必备an中， a11 且 an 111,则 an _.练习： 已数

9、列an2例 9、已知数列an中， a13, an 13an3n 1, 求 an 的通项公式 .练习 1：已知数列an中， a13,an2an 12n ，则 an_练习 2：已知数列an中， a12 , an 13an4 3n , 求 an的通项公式 .3例 10、已知数列an 满足 an 16an2n 1 ,a11,求 an.练习 1：设数列 an 满足 a11,an 13an2 n ，则 an_名师推荐精心整理学习必备511n 1练习 2：已知数列an 中， a1, an 1，求 an .6an23练习 3：已知数列annN的满足： a113k, an4n 13an 1n2, k1 , k

10、R74n（ 1）判断数列an是否成等比数列；7（ 2）求数列an 的通项公式 .例 11、数列an 中已知 a11, an 12an3n , 求 an 的通项公式 .名师推荐精心整理学习必备练习 1：数列an 中已知 a12,an 13ann2 , 求 an 的通项公式 .练习 2：数列an 中已知 a12,an 13an2n2n2 , 求 an 的通项公式 .例 12、已知数列an 中， a15, a22,an2an 1 +3an 2 n3 ，求 求 an 的通项公式 .名师推荐精心整理学习必备练习 1：已知数列an中， a11,a22, an +22an +1+1an ，求 求 an的通项

11、公式 .33练习 2：在数列 an 中， a11， a23， an 23 an 12 an ，令 bn an 1 an 。553(1) 求证 : 数列 bn 是等比数列，并求 bn 。(2) 求数列 an 的通项公式 。6、利用 an 与 Sn 的关系名师推荐精心整理学习必备如果给出条件是an 与 Sn 的关系式 , 可利用 aa1n1求解 .nSnSn 1, n 2例 13、已知数列an 的前 n 项和为 Sn n 22n3 ，求an的通项公式 .练习 1：已知数列an 的前 n 项和为 Sn1 n2n 3 ，求 an的通项公式 .4练习 2：若数列an 的前 n 项和为 Sn3 an 3,

12、 求 an的通项公式 .2练习 3：已知数列an1, 求 an的通项公式 .前 n 项和 Sn 4 an2n27、 倒数法名师推荐精心整理学习必备pan1qanp1q1是等差数列（ 1） an 1pan 1pan=,构造anqananp(2)pan1qantt 1qan 1tan 1pan=p anpqan例 14、已知数列an满足 a1=1， an12an，求 an 的通项公式 .3an2练习：已知数列an 中， a13,an 1an, 则 an_.12an例 15、已知数列an满足 a1=1， an2an 1，求 an的通项公式 .3an 14练习：已知数列an 中， a122an, 则

13、an_., an 11 an38、 an 1panrp0, an0两边取对数lg an 1lg pr lg an ,转化为 an 1panq型名师推荐精心整理学习必备例 16、已知数列an 中， a1100,an 110 an2 , 求 an练习：已知数列an 中， a12,an 12 an3 , 求 an9、其他例 17、已数列an中， a11， an 1 anan 1 an ，则数列通项 an _.例 18、在数列an中， a1 1， n 2 时， an 、 Sn 、 Sn 1成等比数列 .2（ 1）求 a2 , a3 , a4 ； （ 2）求数列an的通项公式 .例 19、已知在等比数列 an 中， a1，且 a是 a 和 a31的等差中项 .121（ 1）