利用时间序列进行预测GDP的趋势

1、 存档编号 赣 南 师 范 学 院 学 士 学 位 论 文 利用时间序列进行预测GDP的趋势教学学院 数学与计算机科学学院 届 别 2012届 专 业 信息与计算科学 学 号 080704038 姓 名 熊海梅 指导教师 彭玉兵老师 完成日期 2012-5-10 内容摘要： 本文基于时间序列理论，以我国1978年至2007年三十年的国内生产总值为基础，利用自回归移动平均模型ARIMA(1,2,2)模型对我国20062007年GDP作出预测并与实际值比较，结果表明相对误差均在3%之内，预测模型良好，继续利用ARIMA(1,2,2)模型对我国未来5年的国内生产总值做出预测。关键字：时间序列 自回归

2、移动平均模型 国内生产总值 ARIMA模型 Abstract： Based on the theory of time series, the 1978-2007 New Year's Eve-year gross domestic product (GDP), autoregressive moving average model ARIMA (1,2,2) model to make predictions of China's GDP in 2006-2007 and compared with the actual values, the results show th

3、at the relative error within 3% of the prediction model, to continue to use the ARIMA (1,2,2) model to predict the next five years, gross domestic product (GDP). Key words：Time series autoregressive moving average model Gross domestic product (GDP) ARIMA model 1. 什么时间序列预测法一种历史资料延伸预测，也称历史引伸预测法。是以时间数列

4、所能反映的社会经济现象的发展过程和规律性，进行引伸外推，预测其发展趋势的方法。 时间序列，也叫时间数列、历史复数或动态数列。它是将某种统计指标的数值，按时间先后顺序排到所形成的数列。时间序列预测法就是通过编制和分析时间序列，根据时间序列所反映出来的发展过程、方向和趋势，进行类推或延伸，借以预测下一段时间或以后若干年内可能达到的水平。其内容包括：收集与整理某种社会现象的历史资料；对这些资料进行检查鉴别，排成数列；分析时间数列，从中寻找该社会现象随时间变化而变化的规律，得出一定的模式；以此模式去预测该社会现象将来的情况。2. 时间序列预测法的步骤第一步 收集历史资料，加以整理，编成时间序列，并根据

5、时间序列绘成统计图。时间序列分析通常是把各种可能发生作用的因素进行分类，传统的分类方法是按各种因素的特点或影响效果分为四大类：(1)长期趋势；(2)季节变动；(3)循环变动；(4)不规则变动。 第二步 分析时间序列。时间序列中的每一时期的数值都是由许许多多不同的因素同时发生作用后的综合结果。 第三步 求时间序列的长期趋势(T)季节变动(s)和不规则变动(I)的值，并选定近似的数学模式来代表它们。对于数学模式中的诸未知参数，使用合适的技术方法求出其值。 第四步 利用时间序列资料求出长期趋势、季节变动和不规则变动的数学模型后，就可以利用它来预测未来的长期趋势值T和季节变动值s，在可能的情况下预测不

6、规则变动值I。然后用以下模式计算出未来的时间序列的预测值Y： 加法模式T+S+I=Y 乘法模式T×S×I=Y 如果不规则变动的预测值难以求得，就只求长期趋势和季节变动的预测值，以两者相乘之积或相加之和为时间序列的预测值。如果经济现象本身没有季节变动或不需预测分季分月的资料，则长期趋势的预测值就是时间序列的预测值，即T=Y。但要注意这个预测值只反映现象未来的发展趋势，即使很准确的趋势线在按时间顺序的观察方面所起的作用，本质上也只是一个平均数的作用，实际值将围绕着它上下波动。3. 时间序列分析的特征3.1时间序列分析法是根据过去的变化趋势预测未来的发展,它的前提是假定事物的过去

7、延续到未来。 时间序列分析,正是根据客观事物发展的连续规律性,运用过去的历史数据,通过统计分析,进一步推测未来的发展趋势。事物的过去会延续到未来这个假设前提包含两层含义:一是不会发生突然的跳跃变化,是以相对小的步伐前进;二是过去和当前的现象可能表明现在和将来活动的发展变化趋向。这就决定了在一般情况下,时间序列分析法对于短、近期预测比较显著,但如延伸到更远的将来,就会出现很大的局限性,导致预测值偏离实际较大而使决策失误。 3.2时间序列数据变动存在着规律性与不规律性 时间序列中的每个观察值大小,是影响变化的各种不同因素在同一时刻发生作用的综合结果。从这些影响因素发生作用的大小和方向变化的时间特性

8、来看,这些因素造成的时间序列数据的变动分为四种类型。 (1)趋势性:某个变量随着时间进展或自变量变化,呈现一种比较缓慢而长期的持续上升、下降、停留的同性质变动趋向,但变动幅度可能不相等。 (2)周期性:某因素由于外部影响随着自然季节的交替出现高峰与低谷的规律。 (3)随机性:个别为随机变动,整体呈统计规律。 (4)综合性:实际变化情况是几种变动的叠加或组合。预测时设法过滤除去不规则变动,突出反映趋势性和周期性变动。4. 时间序列预测法的分类时间序列预测法可用于短期预测、中期预测和长期预测。根据对资料分析方法的不同，又可分为：简单序时平均数法、加权序时平均数法、移动平均法、加权移动平均法、趋势预

9、测法、指数平滑法、季节性趋势预测法、市场寿命周期预测法等。 简单序时平均数法 也称算术平均法。即把若干历史时期的统计数值作为观察值，求出算术平均数作为下期预测值。这种方法基于下列假设：“过去这样，今后也将这样”，把近期和远期数据等同化和平均化，因此只能适用于事物变化不大的趋势预测。如果事物呈现某种上升或下降的趋势，就不宜采用此法。 加权序时平均数法 就是把各个时期的历史数据按近期和远期影响程度进行加权，求出平均值，作为下期预测值。 简单移动平均法 就是相继移动计算若干时期的算术平均数作为下期预测值。 加权移动平均法 即将简单移动平均数进行加权计算。在确定权数时，近期观察值的权数应该大些，远期观

10、察值的权数应该小些。 上述几种方法虽然简便，能迅速求出预测值，但由于没有考虑整个社会经济发展的新动向和其他因素的影响，所以准确性较差。应根据新的情况，对预测结果作必要的修正。 指数平滑法 即根据历史资料的上期实际数和预测值，用指数加权的办法进行预测。此法实质是由内加权移动平均法演变而来的一种方法，优点是只要有上期实际数和上期预测值，就可计算下期的预测值，这样可以节省很多数据和处理数据的时间，减少数据的存储量，方法简便。是国外广泛使用的一种短期预测方法。 季节趋势预测法 根据经济事物每年重复出现的周期性季节变动指数，预测其季节性变动趋势。推算季节性指数可采用不同的方法，常用的方法有季(月)别平均

11、法和移动平均法两种：a季(月)别平均法。就是把各年度的数值分季(或月)加以平均，除以各年季(或月)的总平均数，得出各季(月)指数。这种方法可以用来分析生产、销售、原材料储备、预计资金周转需要量等方面的经济事物的季节性变动；b移动平均法。即应用移动平均数计算比例求典型季节指数。 市场寿命周期预测法 就是对产品市场寿命周期的分析研究。例如对处于成长期的产品预测其销售量，最常用的一种方法就是根据统计资料，按时间序列画成曲线图，再将曲线外延，即得到未来销售发展趋势。最简单的外延方法是直线外延法，适用于对耐用消费品的预测。这种方法简单、直观、易于掌握。5. 时间序列主要考虑的因素5.1长期趋势(Long

12、-term trend)  1. 时间序列可能相当稳定或随时间呈现某种趋势。 2. 时间序列趋势一般为线性的(linear)，二次方程式的 (quadratic)或指数函数(exponential function)。 5.2季节性变动(Seasonal variation) 1. 按时间变动，呈现重复性行为的序列。 2. 季节性变动通常和日期或气候有关。 3. 季节性变动通常和年周期有关。 5.3周期性变动(Cyclical variation) 1. 相对于季节性变动，时间序列可能经历“周期性变动”。 2. 周期性变动通常是因为经济变动。 5.4随机影响(Random effec

13、ts) 6. 时间序列分析基本方法6.1 时间序列分析的预处理6.1.1 差分运算一阶差分 阶差分 步差分 差分方法是一种非常简便、有效的确定性信息提取方法，Cramer分解定理在理论上保证了适当阶数的差分一定可以充分提取确定性信息。差分运算的实质是使用自回归的方式提取确定性信息。 差分方式的选择： 序列蕴含着显著的线性趋势，一阶差分就可以实现趋势平稳。 序列蕴含着曲线趋势，通常低阶（二阶或三阶）差分就可以提取出曲线趋势的影响。对于蕴含着固定周期的序列进行步长为周期长度的差分运算，通常可以较好地提取周期信息。6.1.2 平稳性检验平稳性是某些时间序列具有的一种统计特征。对于平稳的序列我们就可以

14、运用已知的时间序列模型对其进行分析预测。因此对数据进行平稳性检验是时间序列分析法的关键步骤。平稳时间序列有两种定义，根据限制条件的严格程度，分为严平稳时间序列和宽平稳时间序列。 对序列的平稳性有两种检验方法，一种是根据时序图和自相关图显示的特征做出判断的图检验方法；一种是构造检验统计量进行假设检验的方法。通常我们都选用图检验方法检验序列平稳性并用单位根统计检验法加以辅助。(1) 自相关图法自相关函数和偏自相关函数的定义：构成时间序列的每个序列值，之间的简单相关关系称为自相关。自相关程度由自相关系数度量，表示时间序列中相隔期的观测值之间的相关程度。 (6-1)其中，是样本量，为滞后期，代表样本数

15、据的算术平均值。自相系数的取值范围是并且越小，自相关程度越高。偏自相关是指对于时间序列，在给定的条件下，与之间的条件相关关系。其相关程度用偏自相关系数度量，有。 (6-2)其中是滞后期的自相关系数。如果序列的自相关系数很快地(滞后阶数大于2或3时)趋于0，即落入随机区间，时间序列是平稳的，反之时间序列是非平稳。若有更多的自相关系数落在随机区间以外，即与零有显著不同，时间序列就是不平稳的。自相关图法仅从直观的判断平稳时间序列与非平稳时间序列的区别。也可用以下的方法在理论上检验。6.2 时间序列基本模型随机时间序列分析模型分为三种类型：自回归模型(Auto-regressive model，AR)

16、、移动平均模型(Moving Average model，MA)和自回归移动平均模型(Auto-regressive Moving Average model，ARMA)。 自回归滑动平均模型：由自回归和移动平均两部分共同构成的随机过程称为自回归移动平均过程，记为， 其中，别表示自回归和移动平均部分的最大阶数。的一般表达式是 即 或 其中 和 分别表示的，阶特征多项式。6.3 ARIMA模型建模步骤6.3.1 数据平稳化处理首先要对时间序列数据进行平稳性检验。可以通过时间序列的散点图或折线图对序列进行初步的平稳性判断。对非平稳的时间序列，我们可以先对数据进行取对数或进行差分处理，然后判断经处理

17、后序列的平稳性。重复以上过程，直至成为平稳序列。此时差分的次数即为 模型中的阶数。从理论上而言，足够多次的差分运算可以充分地提取序列中的非平稳确定性信息。但应当注意的是，差分运算的阶数并不是越多越好。因为差分运算是一种对信息的提取、加工过程，每次差分都会有信息的损失，所以在实际应用中差分运算的阶数要适当，应当避免过度差分，简称过差分的现象。一般差分次数不超过2次。 数据平稳化处理后，模型即转化为模型。所以我们一般选择模型进行参数估计序列分析。6.3.2 模型识别我们引入自相关系数和偏自相关系数这两个统计量来识别模型的系数特点和模型的阶数。若平稳序列的偏相关函数是截尾的，而自相关函数是拖尾的，可

18、断定序列适合模型；若平稳序列的偏相关函数是拖尾的，而自相关函数是截尾的，则可断定序列适合模型；若平稳序列的偏相关函数和自相关函数均是拖尾的，则序列适合模型。自相关函数成周期规律的序列，可选用季节性乘积模型。自相关函数规律复杂的序列，可能需要作非线性模型拟合。在平稳时间序列自相关函数和偏自相关函数上识别模型阶数和。6.3.3 参数估计确定模型阶数后，应对模型进行参数估计。本文采用最小二乘法OLS进行参数估计，需要注意的是，模型的参数估计相对困难，应尽量避免使用高阶的移动平均模型或包含高阶移动平均项的模型。6.3.4 模型检验完成模型的识别与参数估计后，应对估计结果进行诊断与检验，以求发现所选用的

19、模型是否合适。若不合适，应该知道下一步作何种修改。这一阶段主要检验拟合的模型是否合理。一是检验模型参数的估计值是否具有显著性；二是检验模型的残差序列是否为白噪声。7. 时间序列预测法对GDP的预测分析国内生产总值(GDP)受经济基础、人口增长、资源、科技文化、环境、体制、发展战略等诸多因素的影响，这些因素之间又有着错综复杂的关系，因此，运用结构性的因果模型分析和预测GDP往往比较困难。将历年的GDP 作为时间序列，根据过去的数据得出其变化规律，建立预测模型，用此来预测未来的发展变化，有着重要的意义。下面以我国19782007年国内生产总值数据(见表7-1)为例，介绍用时间序列分析法对数据分析的

20、过程，并通过其预测2006及2007两年的国内生产总值与实际的国内生产总值比较，选取最为合理的预测方法对未来5年我国GDP的做出预测。表7-1 我国19782007年国内生产总值（单位：亿元）年份GDP年份GDP年份GDP年份GDP年份GDP19783645.219847208.1199018667.8199671176.62002120332.719794062.619859016199121781.51997789732003135822.819804545.6198610275.2199226923.5199884402.32004159878.319814891.6198712058.

21、6199335333.9199989677.12005183217.419825323.4198815042.8199448197.9200099214.62006211923.519835962.7198916992.3199560793.72001109655.22007249529.97.1 我国GDP时间序列分析在模型中，时间序列是由一个零均值的平稳随机过程产生，过程的随机性质具有时间上的不变性，在图形上表现为所有样本点都在某一水平线上下随机波动。对于非平稳时间序列，需要预先对时间序列进行平稳化处理。7.1.1 平稳性检查首先我们绘制原始GDP的时间序列图, 从图7-1可以看出我国GD

22、P具有很明显的上升趋势，可以看出原始序列显然是非平稳的。为了能够对序列进行分析，要使其平稳化。故将选择两种方法：取对数法和差分法，对序列进行平稳化处理，从而进一步分析预测。 图7-1原始GDP时序图7.1.2 平稳化处理先对我国GDP数据进行对数化处理，绘制时序图7-2： 图7-2时序图显然对数处理后序列仍有明显上升趋势，可知此序列非平稳，通常低阶（二阶或三阶）差分就可以提取出曲线趋势的影响，我们对取对数后数据进行一、二阶差分，并验证其平稳性： 图7-3一阶差分时序图时序图结果表明所以我们可以认定差分后的序列是非平稳的。故还要再次进行差分，二阶差分时序图如图7-4： 图7-4二阶差分时序图由该

23、时序图我们基本可以认为其是平稳的，我们可以确定二阶差分后序列平稳。因此可以确定序列是2阶单整序列，即。故我们选择模型进行参数估计是正确的。7.2我国GDP短期预测及分析 我们利用模型对2006年2007年预测：表7-5 2006年2007年预测与实际值比较年份预测值（亿元）实际值（亿元）相对误差MAEMAPE200612.2337866112.26398064-0.25%0.0227280.184507200712.4425964212.427334030.12%由此可计算得到我国2006年2007年GDP值如下：表7-6 2006年2007年预测值与实际值比较年份预测值（亿元）实际值（亿元）

24、相对误差2006205620.3211923.5-2.97%2007253367.5249529.91.54%由上表可知，预测模型MAE和MAPE值均很小，表明预测模型较好，通过2006年2007年的数据验证，预测相对误差误差均小于3%，预测效果良好。因此，选择最模型对我国未来 5年的GDP作出预测：表7-7 2008年2012年我国预测值年份20082009201020112012Ln（GDP）(亿元)12.57739 12.73388 12.89301 13.05325 13.21393 GDP（亿元）289929.2339041.2397525.3466608.3547944.3图7-8

25、 2008-2012年我国GDP预测图8.结束语本文使用时间序列分析的方法对我国国内生产总值的年度数据序列进行了随机性分析，并运用模型预测方法对我国的国内生产总值进行了小规模的预测。 通过模型识别、比较以及检验，最终选定模型：对20062007年我国GDP作出预测并与实际值比较 ：年份预测值（亿元）实际值（亿元）相对误差2006205620.3211923.5-2.97%2007253367.5249529.91.54% 此预测模型MAE和MAPE值均很小，且预测相对误差误差均小于3%，预测效果良好，故继续选择模型对我国未来5年的GDP做出预测：年份20082009201020112012Ln（GDP）(亿元)12.57739 12.73388 12.89301 13.05325 13.21393 GDP（亿元）289929.2339041.2397525.3466608.3547944.3从该论文随机性分析的方法对时间序列做出分析和预测的结果中可以看出，取对数对数据进行处理，然后适当的差分，选择适当的较低的模型阶数，可取得较为理想的预测结果。 由本文得到的较为