全国二卷立体几何真题及模拟题(理科)

1、立体几何（理科）立体几何解题中常用的判定定理及性质定理1. 直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行. （线线平行线面 平行）若 a 歹, b?, a/ b , 则 a II .2. 直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行. （线面平行线 线平行）若 a/ , a? B, ? p= b,贝 S a I b.3. 直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直.若 m ? a, n? a, n?n = Q l 丄 m, l 丄 n,贝

2、 S l 丄 a.4. 直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行. 若 a 丄 a, b 丄 a，贝卩 a I b.5. 平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 .（线面平行 面面平行）若 a ,b ,a?b=A, a I ,b I ，贝 S / .6. 平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.若 I , Q 丫 = a, Q 丫 = b，贝卩 a I b.7. 两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.若 I 丄， 1，贝 y 丄.8.

3、 两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 .若 丄， n = I , a , a 丄 I，贝卩 a 丄空间角的计算(1) 两条异面直线所成角的求法设直线 a,b 的方向向量为a,b, 其夹角为 6，则cos ? = |cos e | =| ：? b| (其中 ? 为异面直线 a,b 所成的角 ) .(2) 直线和平面所成角的求法如图所示，设直线 I 的方向向量为 e, 平面 a 的法向量为 n, 直 线 I 与平面 a 所成的角为 ? ，两向量 e 与 n 的夹角为 6，则有 sin(3) 二面角的求法 利用向量求二面角的大小，可以不

4、作出平面角，如图所示，mn即为所求二面角的平面角. 对于易于建立空间直角坐标系的几何体，求二面角的大小时，可以利用这两个平面的法向量的夹角来求 .如图所示，二面角a -l- B, 平面 a 的法向量为 n1, 平面 B 的 法向量为 n,5, neaB的大小为6>= ，则二面有-I-22或 n e.空间距离的计算直线到平面的距离，两平行平面的距离均可转化为点到平面的距离.uuuu rPM n点 P 到平面 a 的距离，（其中n 为 a 的法向量， Mn为 a 内任一点 ）.空间角的范围n（ 1） 异面直线所成的角 （6）: ove 二;（2）n直线与平面所成的角（6）: 0< 6；

5、（3） 二面角 （6 ） : 0< 6 <n.历年高考真题及解析（2013 课标全国 H,理 18）如图，直三棱柱ABC AiBG 中， D,E 分别J2是 AB,BB “的中点， AA = AC = CB = % AB . 2（1）证明： BG / 平面 求二面角 D- Ap E 解： （1）连结 AC 交点.ACD ;的正弦值 .AQ于点F,则F为AG中又 D 是 AB 中点，连结 DF, 则 BG/ DF 因为 DF 平面 ACD BC 平面 AQD所以 BC/ 平面 ACDUUL由 AO CB=2 AB 得， Ad BC2以 C 为坐标原点， CA 的方向为x 轴正方向，立

6、如图所示的空间直角坐标系C xy z .建设 U CA= 2, 则 D 1,1,0)，曰 0,2,1) ,A(2,0,2) ,uuuILWUULTCD = (1,1,0) ,CE = (0,2,1) ,CA = (2,0,2) .(X1,y1,乙 ) 是平面 ACD 的法向量 ,设 n=则 n ULUTCULT0,即 x y1 0,0.n CA 10, 2x 1 2z1可取 n= (1 , 1, 1).同理，设 m 是平面 ACE 的法向量，则m UUU- 0,可取 m= (2,1 ， 2). m CA- I 0,从而 cos n, m>n m|n|m|故 sin即二面角 A AC- E

7、 的正弦值为孚(2014 课标全国 H,理 18) 如图，四棱锥P-ABCD ，底面 ABCD 矩形， PAL 平面 ABCDE 为 PD 的中点 .(I) 证明 ：PB/ 平面 AEC(H) 设二面角 D-AE-C 为 60°,AP= , AD= 3 , 求三棱锥E-ACD的体积 .解: (I)设 AC 勺中点为 G,连接 EG在三角形 PBD 中，中位线EG/PB 且 EG 在平面AEC h,所以 PB /平面 AEC(H) 设 CD=m 分别以 ,AB, AD,AP 为 X,Y,Z轴建立坐标系，则3A(O,O,O),D( 、 3,0,0), E2 I0I1),C( . 3,m,

8、0).31? AD = (. 3,0,0), AE = 诂 ,0, 2 ) , AC = ( . 3, m,0).设平面ADE 法向量为ni=( X, %, 乙), 则niAD=0,n i AE= 0, 解得一个山 =(0,1,0).同理设平面ACE 法向量为 n2 = (x 2,y2,z2 ),则 n2AC = 0, n ； AE = 0,解得一个 n2= (m,- . 3,- 3m).冗 I, 一一 7 1 n2?n2 1花1解得 3cos =| cos< n 2, n2 >| 二 - = ,22 二一 ,解得 m= _.3|n 21?| n 2|, m +3+3m22EF 1

9、设F为AD的中点，贝 VPA/EF, 且 PA=,EF 丄面 ACD,2 2即为三棱锥E-ACD 的高 ?二 VE-ACD二 1?S CD?EF = -?-?- 3?-=2-.33 2 283所以，三棱锥E- ACD 的体积为。8(2015 课标全国 II , 理 19) 如图，长方体ABCD A 1B1C1D1, AB 16, BC 10, AA 8, 点 E, F1分别在 AB1,DQ 上,AE D 1F 4.过点 E,F 的 平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形 .( I ) 在图中画出这个正方形，不必说明画法和理由；( II ) 求直线 AF 与平面所成角的正弦值.解： ( I)

10、 交线围成的正方形EHGF 如图：(H) 作 EM AB ，垂足为 M，贝卩 AM A 1E 4 , EM AA 1 8，因为EHGF 为正方形，所以EH EF BC 10 . 于是 MH EH 2 EM 26 ,所以 AH 10 . 以 D 为坐标原点， DA 的方向为 x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz ，贝 S A(10,0,0) ，H (10,10,0) ， E(10,4,8) ，uuuuuurrF(0,4,8) ,FE (10,0,0) ,HE (0, 6,8) . 设n (x, y, z) 是平面EHGF 的法r uuu向量，则 n UUU0,即 10x 0,

11、所以可取n(0,4,3). 又 AF(10,4,8) ,n HE0,6y 8z0,r ujuf,r uuirnAF4J5故 cosn, AF”|UJuT . 所以直线 AF 与平面所成角的正弦值|AF 15为心 .15( 2016 课标全国理 19)( 本小题满分 12 分)如图，菱形 ABCD 勺对角线 AC 与 BD 交于点 O AB 5 ,AC 6 ，点 E, F分别在 AD CD 上,AECF|, EF 交 BD 于点 H 将厶 DEF 沿EF 折到DEF 的位置 OD 帀.(I ) 证明： DH平面 ABCD(II ) 求二面角DA C 的正弦值 .D(I) 证明： T AECF彳，

12、AE CF/.EF IIAC .ADCD，T 四边形 ABCD 为菱形，二 AC BD ,EFBDFFDH ,FFDH .,?/ AC 6,-?.AO3又 AB5 ,AO OB>? OB4 ,AFODDH DH2 2 2OHAO1 ,7111111OHD 'H3 ,ODO/. D'H H又OHIFFH,D'H面 ABCD .(H)建立如图坐标系xyzH.D'A 1 ,uuruuuruuuAB4 ,AD 'AC3, 0,设面 ABD' 法向量 带ur 由 uuunAB4x3y0uuux3y3z5uAD? ur?门 1同理可得面AD'C

13、 的法向量器cosCT l?厲 n2957-5跟 5.210252/95-sin25(2016 课标全国皿，理19)如图，四棱锥P-ABC 中， P/U 底面 ABCDAD/BCABAD=AG=3,PA=BG=4,M 为线段 AD 上一点， AM =2MD N 为 PC 的中点 .(I) 证明： M/平面 PAB(H) 求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值 .解：( 】) 由已知得 AM I AD 2，取 BP 的中点 T ' 连接 A",A由 N为 PC中点知 TN/BC ,TN 丄 BC22又 AD/BC ，故 TN 平行且等于AM ，四边形AMNT 为平行四边形

14、 ,于是MN /AT .因为AT 平面 PAB ，MN 平面 PAB ，所以 MN / 平面 PAB .(H) 取 BC 的中点 E，连结 AE ,由AB AC 得 AE BC ，从而AEAEAB2 BE2AB2 (BA5.以 A 为坐标原点， AE 的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz ,由题意知 ,2P(0,0,4) ,M (0,2,0) ,C( 5,2,0) ,N( ,1,2) ,uuuuuur,1, 2) ,uuii(0,2, 4) , PNrPMAN(x, y,z)为平面 PMN 的法2x4z 05，可取 n (0,2,1) ,xy 2z0( 舟,1,2)

15、 ?uuuu0，即PMuuu0PN2r UJIT8.5r I In AN |于是 | cos25n,AN | 片 uuU|n| |AN|高考模拟题1 如图，已知四棱锥P-ABCD 底面 ABC 为菱形， PM 平面 ABCD /ABC=60 ,E, F 分别是 BC PC 的中点 .(1) 证明： AE! PD(2) 若 PA=AB=2 求二面角 E- AF- C 的余弦值 .2. 如图，在四棱锥 P- ABC 冲，底面 ABCD 是菱形， / DAB=60 , PD 丄平面 ABCD PD=AD= 1 点 E, F 分别为 AB 和 PD 中点 .(I) 求证：直线 AF/ 平面 PEC(H

16、) 求 PC 与平面 PAB 所成角的正弦值 .3. 在长方体 ABC - ABGD 中， AB=2 AD=1 AA=1 ，点 E 在棱 AB 上移动.(1) 探求 AE 等于何值时，直线 DE 与平面 AAD.D 成 45 °角；(2) 点 E 移动为棱 AB 中点时，求点 E 到平面 ADC 的距离 .高考模拟题答案1.( 1) 证明： T 四棱锥 P-ABCD 底面 ABCD 为菱形 ,/ABC=60 ,E, F 分别是 BC PC 的中点，? ABC 是等边三角形，? AE! BC 二 AE! ADv PAL 平面 ABCD AE? 平面 ABCD? AE! PAv AE A

17、 AD=A 二 AE!平面 PADv PD? 平面 PAD ? AE! PD( 2) 解：由 ( 1) 知 AE AD AP 两两垂直，?以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，v E, F 分别为 BC PC 的中点 , PA=AB=2?A(0,0,0),B(J；,-1,0),C(二,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(:;,0,0),F(宁),二民（何 Q, Q） ,屁（爭，夕 1）设平面 AEF 的一个法向量为 ,- T| . .,取 Zi= 1, 得 I = ( 0, 2,- 1),v BDL AC BD! PA PAH AC二 A 二 BDL 平面 AFC?为

18、平面 AFC 的一法向量 .又-:：. ，v 二面角 E- AF- C 为锐角 ,. ?. 所求二面角的余弦值为二.2. 解： （I）证明：作FM/ CD 交 PC 于 Mv 点 F 为 PD 中点，二寺v 点 E 为 AB 的中点 .二捷兮扯二 FH ,又 AE/ FM?四边形 AEMI 为平行四边形，? AF/ EMv AF? 平面 PEC EMP 平面 PEC?直线 AF/ 平面 PECB(H) 已知 / DAB=60 ,进一步求得： DEI DC则：建立空间直角坐标系 ,则 P （0, 0, 1）,C（0, 1,0),E (30)2A ( m，o）， B20)所以：肝（- 爭 L 寺, 1）,忑=（0,